【第一章 有理数 01讲正数和负数】专项训练暑假小升初衔接2024-2025学年数学七年级上册（新版人教版专用）

第一章 有理数 01讲 正数和负数 知识清单 1、正数和负数 1）正数：像，，+50这样大于的数叫做正数，正数都大于。 2）负数：像，，这样在正数前加上符号“－”（负）号的数叫做负数，负数都小于。 3）符号：一个数前面的“+”，“－”号叫做它的符号。 注：① 正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数；负数前面的“” 号不可省略。 ② 不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。如：不一定表示负数，若为正数，则表示负数；若为负数，则表示正数；若为0，则表示0。 巩固基础 1．下列四个数中，属于负数的是（   ） A．1.2 B．1 C． D．0 【分析】本题考查负数的概念，解题的关键是明确负数的定义，即小于0的数是负数． 明确正数，负数和0的性质，逐一分析选项中的数与0的大小关系． 【详解】A、1.2是正数，A项错误； B、1是正数，B项错误； C、小于0，根据负数的定义：小于0的数是负数，所以是负数，C项正确； D、0既不是正数也不是负数，D项错误． 故选：C． 2．下列四个有理数中，负数的是（   ） A．0 B． C．3 D． 【分析】本题考查了负有理数“负有理数就是小于0的有理数”，熟记负有理数的定义是解题关键．根据负有理数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，则此项不符合题意； B、是负数，则此项符合题意； C、3是正数，则此项不符合题意； D、是正数，则此项不符合题意； 故选：B． 3．下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【分析】本题考查了负数的定义，小于0的数为负数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，，都是负数， ∴负数有个， 故选：C． 4．下列有理数中，，，，，，，，正数的个数为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是有理数中正数的定义，熟练掌握正数的定义是解题关键； 正数指的大于，根据定义逐一分析判断即可． 【详解】解：，，这个数是正数，既不是正数也不是负数； 故选：A 5．在，，0，11，，3这五个数中，正数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查正数和负数，掌握它们的定义是本题的关键．根据正数的定义解答即可． 【详解】解：这五个数中，正数有3个，分别为，11，3． 故选：C． 6．下列说法中，正确的为（        ）． A．一个数不是正数就是负数 B．是最小的数 C．正数都比大 D．是负数 【分析】根据正数、负数的概念对每个选项一一判断即可． 【详解】0既不是负数，也不是正数，故A选项错误； 负数比0小，故B选项错误； 整数都比0大，故C选项正确； 当a≤0时，－a不是负数，故D选项错误． 故选：C． 7．我们知道字母可代表任何数，那么对下列各式的叙述一定正确的是（    ） A．一定是负数 B．一定是负数 C．一定是负数 D．一定是负数 【分析】根据平方、正数和负数即可做出判断． 【详解】解：A、当x为负数时，-x为正数，所以-x不一定是负数，故选项错误； B、当x=0时，-x2=0，所以-x不一定是负数，故选项错误； C、当x为任何数时，-x2-1＜0，所以-x一定是负数，故选项正确； D、因为x不一定是负数，所以选项错误． 故选：C． 8．下列说法中正确的是(    ) A．正数都带“+”号 B．不带“十”号的数都是负数 C．负数一定带“一”号 D．带“一”号的数都是负数 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答，错误的说法只要举一个反例说明就可以了． 【详解】解：A． -（-2）是正数，所以正数都带有“+”号的说法是错误的； B.0不带“+”号，但是它不是负数，所以不带“十”号的数都是负数的说法是错误的； C．负数一定带“一”号，故此选项正确； D．-（-2）是正数，所以带“一”号的数都是负数的说法是错误的． 故选C． 知识清单 2、正数和负数的运用 1）相反意义的量：用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．。 比如：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为－3km。 2）用正负数表示允许偏差： 比如：红双喜的乒乓球产品参数中标注的直径是：40±0.05mm；这表示该乒乓球的标准直径为40mm，偏差为±0.05mm，这就是实际直径最大可以是（40+0.05）mm，最小可以是（40-0.05）mm，直径在这个范围内的乒乓球就是合格的。 巩固基础 1．如果向东走，记作，那么表示（ ） A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走 【分析】此题主要考查正负数的意义，此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：向东走记为正，则向西走就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：如果向东走，记作，那么表示向西走． 故选：B． 2．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若上升5米记作“”，则下降3米记作（    ） A． B． C． D．3 【分析】本题考查正数和负数，用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：若上升5米记作“”，则下降3米记作， 故选：B． 3．中国是世界上最早使用负数的国家，我国战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前300年记作年，那么公元2025年应记作（　　） A．年 B．年 C．2025年 D．2325年 【分析】根据相反意义的量解答即可． 本题考查了相反意义的量，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：公元前300年记作年， 公元前为“”，则公元后为“+”， 而公元2025年就是公元后2025年， 公元2025年应记作2025年． 故选：C． 4．如果零上记作，那么零下记作（   ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查了具有相反意义的量，理解题意是解题的关键． 根据具有相反意义的量分析即可． 【详解】如果零上记作，那么零下记作． 故选：D． 5．下面两个量中，不具有相反意义的是（   ） A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水 C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降 【分析】此题考查了相反意义的量．根据相反意义的量的定义进行判断即可． 【详解】解：A、盈利和亏损元，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； B、浪费水和节约水，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； C、进三个球和输三场比赛，不是互为相反意义的量，故选项符合题意； D、上升和下降，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； 故选：C． 6．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（    ） A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元 【分析】此题主要考查了正负数的意义，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：根据题意，盈利500元记作元， ∴元表示亏损700元， 故选：A． 7．在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 【分析】本题考查了对正负数概念的理解，关键明确正负数是表示一对意义相反的量．根据相反意义的量的概念，逐项判断分析即可解题． 【详解】解：A.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； B.不是一对具有相反意义的量，不符合题意； C.是一对具有相反意义的量，符合题意； D.不是一对具有相反意义的量，不符合题意． 故本题选：C． 8．在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 【分析】本题主要考查相反意义的量，根据相反意义的量的概念，逐一判断选项，即可得到答案，熟练掌握相反意义的量的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、向东走3千米与向北走3千米，不是具有相反意义的量，故A不符合题意； B、收入100元与支出200元，具有相反意义的量，故B符合题意； C、气温上升与上升，不是具有相反意义的量，故C不符合题意； D、5个老人与5个小孩，不是具有相反意义的量，故D不符合题意， 故选：． 9．食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（    ） A． B． C． D． 【分析】净含量，表示这种食品净含量最多是，最少是，据此计算即可． 【详解】解：根据题意可知，净含量，表示这种食品净含量最多是，最少是， 故选：． 10．质检员抽查4袋方便面，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的产品是（   ） A．-2 B．-1 C．0.3 D．1.2 【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】：法一：假设标准质量是10g，那么A选项产品为8g ； B选项产品为9g ；C选项产品为10.3g ；D选项产品为11.2g . ∴ 10.3g最接近10g，也就是0.3最接近标准 法二：∵ ∴0.3最接近标准； 故答案为：C． 11．某种品牌的洗面奶，外包装标明净含量为500±10g，表明了这种洗面奶的净含量x的范围是（　　） A．490＜x＜510 B．490≤x≤510 C．490＜x≤510 D．490≤x＜510 【详解】根据题意得：500﹣10≤x≤500+10，即490≤x≤510. 故选：B. 知识清单 3、“0”的意义 1）0既不是正数，也不是负数； 2）0是正数与负数的分界； 3）0是自然数； 4）0可以表示没有，比如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔； 5）0可以是一个数，比如是一个确定的温度； 6）0有时也作为基准，比如海拔高度为0m表示的是海平面的平均高度。 巩固基础 1．下列语句：①不带“”号的数都是正数；②带“”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④表示没有温度．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：①0不带“”号，但是它不是正数． ②带负号，但是它不是负数． ③0既不是正数也不是负数． ③表示有温度，温度为0度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）． 综上所述，①②③④全部错误． 故选：． 2．下列说法正确的个数是（    ） ①加正号的数是正数，加负号的数是负数； ②任意一个正数，前面加上“－”，就是一个负数； ③0是最小的正数；  ④大于零的数是正数；  ⑤字母a既是正数，又是负数． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据正数、负数的概念逐个判断即可． 【详解】解：对于①：加正号的数不一定是正数，如+(-5)=-5是负数，加负号的数不一定是负数，如-(-5)=5是正数，故①错误； 对于②：任意一个正数，前面加上“-”，就是一个负数，故②正确； 对于③：0既不是正数，也不是负数，故③错误； 对于④：大于0的数是正数，故④正确； 对于⑤：如果a是正数，就必定不是负数，故⑤错误； 所以正确的有：②、④， 故选：C． 3．下列对“0”的说法正确的个数是(　　) ①0是正数和负数的分界点；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0是自然数． A．3个 B．4个 C．5个 D．0个 【分析】根据正负数、自然数的意义进行分析即可. 【详解】①0是正数和负数的分界点；②0不只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0不是正数；⑤0是自然数． 所以，正确的有①③⑤三个. 故选A 4．下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 5．0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 【分析】本题主要考查了有理数，0是有理数中的重要数字等知识点，根据0在不同问题中的实际含义解答即可，熟练掌握有理数0的性质是解决此题的关键． 【详解】A．是一个确定的温度，本选项说法正确，不符合题意； B．海拔表示与海平面一样的高度‌，原选项说法错误，符合题意； C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻，本选项说法正确，不符合题意； D．在二进制中，0是基本的数字表示，本选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 6．下列关于“0”的说法正确的有 个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数； ④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 【详解】0是正数和负数的分界点，故①正确； 0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确； 0是自然数，故③正确； 存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误； 0既是整数也是偶数，故⑤正确； 故答案为：4． 7．有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是 ． 【分析】本题主要考查“0”的意义，熟练掌握“0”的意义是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解． 【详解】解：0是正数和负数的分界，还可以表示其他意义； 故答案为正数和负数的分界（答案不唯一）． 直击考点 题型1：正数、负数、0的辨析 例1．下列结论正确的是（   ） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数 【分析】根据0的概念逐项判断即可得． 【详解】A、既不是正数，也不是负数，则此项错误； B、不是正数，则此项错误； C、整数包括负整数、和正整数，且没有最小的整数，则此项错误； D、既不是正数也不是负数，则此项正确； 故选：D． 例2．下列关于零的说法中，正确的个数是（　　） ①零是正数；②零是负数；③零既不是正数，也不是负数；④零仅表示没有． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了0的意义，难度不大． 根据0既不是正数也不是负数，0的特殊含义，得出结果． 【详解】解：∵0既不是正数也不是负数， 故①②错误，③正确， 在自然数中，0的意义是表示没有，在有理数中，0的意义表示正数与负数的分界，在进行运算时，0还有表示占位的意义等，故④错误； 所以正确的有③，共1个， 故选：A． 变式1．下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义便不难解答． 根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】A．正数是大于0的数，与带不带“”无关，故这种说法不正确； B．0既不是正数，也不是负数，故这种说法不正确； C． a是正数，那么表示a的相反数，一定是负数，正确； D．一个数可以为正数，也可以为0，也可以是负数，故这种说法不正确． 故选：C 变式2．下列说法错误的是（　　） A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数 C．海拔高度是0米表示没有高度 D．0℃是零上温度和零下温度的分界线 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此可以得到正确答案． 【详解】A、0是最小的自然数，正确，故本选项不符合题意， B、0既不是正数，也不是负数，正确，故不符合题意； C、海拔高度为0米表示高度和参考高度相等，故本选项符合题意， D、0℃是零上温度和零下温度的分界线，正确，故本选项不符合题意， 故选C． 变式3．下列说法正确的有（　　） ①不是负数的数一定是正数； ②带“”号的数是正数，带“”号的数是负数； ③任意一个正数，前面加上“”号就是负数； ④大于0的数是正数；⑤一定是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：不是负数的数是正数或0，则①错误； ，它是负数，，它是正数，则②错误； 一个正数前面加上“”号就是负数，则③正确； 正数都大于0，则④正确； 当为负数时，为正数，则⑤错误； 综上，正确的个数为2个， 故选：B． 变式4．下列语句：①不带负号“－”的数都是正数；②正数前面加上“－”号表示的数就是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0℃表示没有温度，其中正确的有(     ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】明确“整数”“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：①0不带“-”号，但是它不是正数； ②正数前面加上“-”号表示的数就是负数，正确，正数前面加上“-”号表示正数的相反数，故是负数； ③0既不是正数也不是负数，故错误； ④0℃表示有温度，温度为0度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）． 综上所述，①③④错误， 故选B 题型2：正数、负数的分类 例1．下列各数是负数的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解答本题的关键． 根据负数的定义解答即可． 【详解】解：是负数的是， 故选：A． 例2．在5.2、、0、10、中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查正数的概念，解题的关键是明确正数的定义，据此判断给定数字中正数的个数． 依据正数的定义，逐一分析所给数字，统计其中正数的数量． 【详解】正数是大于0的数．在5.2、、0、10、中 5.2大于0，所以5.2是正数；小于0，是负数；0既不是正数也不是负数；10大于0，所以10是正数；小于0，是负数． 综上，正数有5.2和10，共2个， 故选：B． 变式1．在，0，，这四个数中，负数的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查了负数“负数就是小于0的（实数）”，化简多重符号，熟练掌握负数的定义是解题关键．先化简多重符号，再根据负数的定义即可得． 【详解】解：是负数， 0既不是正数，也不是负数， ，是负数， ，是正数， 综上，负数的个数是2个， 故选：B． 变式2．给出下列各数：，，，，．其中负数有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查化简多重符号，将各数化简后，根据负数：“小于0的数”，进行判断即可．掌握化简多重符号，正负数的意义，是解题的关键． 【详解】解：，，，，， 则共有3个负数，即，，． 故选：C． 题型3：相反意义的量 例1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若某人前进26步记为步，则他后退15步记为（    ） A．11步 B．步 C．15步 D．步 【分析】本题考查了正负数的意义，根据前进26步记为步，得后退15步记为步，即可作答． 【详解】解：∵前进26步记为步， ∴后退15步记为步， 故选：D． 例2．若盈余2万元记作万元，则万元表示（   ） A．盈余2万元 B．支出2万元 C．亏损万元 D．亏损2万元 【分析】本题考查了正数和负数的意义，正数表示盈余，负数表示亏损，这是解题的关键．根据正数和负数表示具有相反意义的量解答． 【详解】解：若盈余2万元记作万元，则万元表示亏损2万元， 故选：D． 变式1．若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了具有相反意义的量，根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案掌握具有相反意义的量的概念是解题的关键． 【详解】解：∵甲商品涨价可记作， ∴乙商品降价可记作， 故选：A． 变式2．某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示（　　） A．水面低于标准水位 B．水面低于标准水位 C．水面高于标准水位 D．水面水深为 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，根据正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位． 本题主要考查了正数和负数，解题关键是熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【详解】∵用正数表示水面高于标准水位的高度， ∴表示水面低于标准水位． 故选：B． 变式3．下列说法错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃ C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 【分析】根据有理数的概念和性质判断即可． 【详解】∵0既不是正数，也不是负数， ∴A正确，不符合题意； ∵零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃， ∴B正确，不符合题意； ∵正方向可以自主确定， ∴向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示，是错误的， ∴C不正确，符合题意； 故选C． 变式4．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边米处，玩具店位于书店西边米处，小明从书店沿街向东走了米，接着又向西走了米，此时小明的位置在（    ） A．文具店 B．玩具店 C．文具店西边米 D．玩具店西边米 【分析】根据题意以书店为原点，向东方向为正方，10米为单位长度，画出数轴，根据数轴分析即可得出答案． 【详解】如图，根据题意一书店为原点，向东方向为正方，10米为单位长度，画出数轴， 则文具店表式的数是，玩具店所表示的数是，依题意， 故此时小明的位置在文具店。故选A 变式5．下列选项中,具有相反意义的量是(    ) A．胜2局与负3局 B．6个老师与6个学生 C．盈利3万元与支出3万元 D．向东行30米与向北行30米 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案． 【详解】解：胜2局与负3局具有相反意义的量， 故选A． 题型4：正数、负数的应用——允许偏差 例1．神舟上天，嫦娥奔月，天问探火，探秘星辰大海的背后离不开超精密加工技术的保驾护航．某飞行器控制设备中精密机械零件的参数要求为微米，下列零件尺寸符合要求的是（   ） A．6499.02微米 B．6499.20微米 C．6500.02微米 D．6500.20微米 【分析】本题考查正数和负数，结合已知条件求得符合尺寸的范围是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义求得符合尺寸的范围后进行判断即可． 【详解】解：由题意可得符合尺寸的范围是6499.9微米微米， 则符合要求的是6500.02微米， 故选：C． 例2．一种化肥的包装袋上标着净重，那么两袋这种化肥质量的差不可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查正负数的应用，解题的关键是判断选项是否在差值范围内．首先确定每袋化肥的可能质量范围，然后计算两袋化肥质量差的最小值和最大值，最后判断选项是否在该范围内． 【详解】解：化肥的包装袋上标着净重， 每袋化肥的实际质量应在到之间． 质量差的最小可能值为 (当两袋质量相等时)， 最大差值∶． 则两袋质量差的取值范围是差值，选项超过最大值，因此不可能出现． 故选：A 变式1．七年一班某次数学测试的平均成绩是105分，小明得了110分，记作分，小丽的成绩记作分，则小丽本次数学测试的成绩为（    ） A．118分 B．112分 C．108分 D．103分 【分析】本题考查了正负数在实际成绩表示中的应用，解题的关键是理解以平均成绩为基准，高于平均成绩记为正，低于平均成绩记为负． 先根据小明的成绩和记分情况确定记分规则，再依据此规则求出小丽的成绩． 【详解】已知平均成绩是105分，小明得了110分，记作+5分，，说明是以平均成绩105分为基准，高于平均成绩的部分用正数表示． 小丽的成绩记作分，这表示小丽的成绩比平均成绩105分低2分，所以小丽的成绩是分． 故选：D． 变式2．某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，那么在这批合格的产品中随机拿出两个乒乓球，它们的直径最大相差为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法在生活中的应用，有理数减法的实际应用等知识点，深刻理解正负数的含义是解题的关键． 运用有理数的减法解题即可． 【详解】解：它们的直径最大相差：， 故选：C． 变式3．一食品的包装袋上标有克，这种食品一袋的最小重量不低于 克． 【分析】一食品的包装袋上标有“净含量克”，表示这袋食品标准的质量是150克，实际每袋最小重量不低于150-5克． 【详解】解：150-5=145（克）． 所以，这袋食品最小重量不低于145克． 故答案为：145． 题型5：正数、负数的应用——时差、温差 例1．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：由五日气温为得到，，， 则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 故选：A． 例2．第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的意义，熟练掌握正负数的意义是解题关键．根据“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数，先求出北京时间，再求出其他城市时间，即可得出答案． 【详解】解：奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分， 因为，巴黎与北京的时差为， 所以，北京时间为7月26日19时30分小时，即7月27日2时30分，B选项错误； 因为，伦敦与北京的时差为， 所以，伦敦时间为7月27日2时30分小时，即7月26日18时30分，A选项正确； 因为，纽约与北京的时差为， 所以，纽约时间为7月27日2时30分小时，即7月26日13时30分，C选项错误； 因为，首尔与北京的时差为， 所以，首尔时间为7月27日2时30分小时，即7月27日3时30分，D选项错误； 故选：A． 变式1．纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 【分析】由统计表得出：悉尼时间比北京时间早2小时，也就是10月8日17时．纽约比北京时间要晚13个小时，也就是10月8日2时． 【详解】解：悉尼的时间是：10月8日15时+2小时=10月8日17时， 纽约时间是：10月8日15时-13小时=10月8日2时． 故选：B． 变式2．以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（    ） 城市 时差/h 纽约 ﹣13 悉尼 +2 伦敦 ﹣8 罗马 ﹣7 A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京 B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约 C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约 【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：由表格，可知悉尼比北京时差为+2，所以北京时间是16点或18点，推理可得北京时间是16点， 则纽约时间为16﹣13＝3点，悉尼时间16+2＝18点，伦敦时间16﹣8＝8点，罗马时间16﹣7＝9点， 由钟表显示的时间可得对应城市为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京； 故答案为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京． 故选：A． 变式5．下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 【分析】根据正负数的意义，结合表格数据，即可求解． 【详解】解：∵东京与北京的时差是 则如果现在的东京时间时，那么北京时间是 ∵伦敦与北京的时差是， ∴伦敦的时间是前一天的 ∵纽约与北京的时差是 ∴纽约的时间是前一天的 题型6：正数、负数的应用——基准量 例1．为增强学生身体素质，提高学生运动竞技水平，在某校举办的足球比赛中规定：胜一场记作“”分，平局记作“0”分．如果追梦队得到“”分，则追梦队在比赛中（   ） A．与对手打成平局 B．输给对手 C．打赢了对手 D．无法确定 【分析】本题考查了正数和负数的意义，根据正负数的意义，即可得出答案． 【详解】解：因为胜一场记作“”分，平局记作“0”分．追梦队得到“”分，所以追梦队在比赛中输给对手 故选：B． 例2．在中学体育测试中，初一男生引体向上测试的满分标准为13次．在一次引体向上测试中，小明的成绩是12次，记为“”．如果小刚的成绩记为“”，那么小刚的成绩是（    ）次． A．14 B．15 C．16 D．17 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用．正负数是一对具有相反意义的量，若相对于标准次数不足用负数表示，那么相对于标准次数超出用正数表示，据此求解即可． 【详解】解：∵满分标准为13次，小明的成绩是12次，记为“”． ∴如果小刚的成绩记为“”，那么小刚的成绩是（次）． 故选：B． 变式1．排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的标准质量为. 现随机选取8个排球进行质量检测，结果如下表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 275 263 278 270 261 277 282 269 则仅从质量的角度考虑，不符合要求的排球有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据标准质量为（270±10）g，得出小于260g以及大于280g的排球是不合格的，再进行判断即可． 【详解】解：因为排球的标准质量为（270±10）g，即260g≤排球的标准质量≤280g， 故第7个排球不符合要求， 故选：A． 变式2．某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数表示具有相反意义的两种量，再结合题意即可解答； （2）根据（1）中表格数据可得答案． 【详解】（1）解：用正负数表示百货商店的盈亏情况如下： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 （2）解：根据（1）中的百货商店的盈亏情况表可知，四月的营业状况最好，六月的营业状况最差． 变式3．某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正数和负数的实际应用，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列算式即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解： （元）； 即销售后的总额为元； （2）解：， 该店卖出这8套运动服后是盈利， 盈利元． 课后作业 一、单选题 1．（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）下列为负数的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了对正数、负数的理解，注意既不是正数也不是负数． 根据正数大于，负数小于即可得出的答案． 【详解】解：A.不是负数，故此选项不符合题意； B. ，是正数，故此选项不符合题意； C. ，故此选项符合题意； D. 2＞0是正数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级·贵州遵义·阶段练习）给出下列各数：﹣1，0，﹣3.05，﹣π，+2，﹣，4，其中负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据负数是小于0的数找出即可． 【详解】负数有：﹣1，﹣3.05，﹣π，﹣， 故选D． 3．（2025·江苏无锡·一模）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作． 故选：A． 4．（2025·江苏扬州·一模）我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了正负数在现实生活的应用，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此求解即可． 【详解】解：∵气温升高时，气温变化记作， ∴气温下降时，气温变化记作． 故选：B． 5．（2025·河南周口·一模）魏晋时期的数学家刘徽在“正负术的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可记作，则图2应记作（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了正负数的意义，根据“正放表示正数，斜放表示负数”，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：图2应记作 故选：B． 6．（2025·山东滨州·一模）1700多年前，我国数学家刘徽（今山东滨州人）首次明确地提出了正数和负数的概念．他还规定筹算时“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．例 如： 这个记载比国外早了近八百年．根据上述材料，下列选项所示的算筹，表示的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了正负数的意义．根据用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可求解． 【详解】 解：根据题意，表示的是． 故选：D． 7．（2025·甘肃张掖·一模）如图是某用户微信钱包账单，则表示（　　） A．发出10.00元红包 B．收入10.00元 C．余额10.00元 D．抢到10.00元红包 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：表示发出元红包， 故选：A． 8．（20-21七年级上·河北沧州·期末）一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 【分析】用减去前5次各数与8：00的水位和，然后即可做出判断． 【详解】解：0-（0.5-0.8+0-0.2-0.3-0.1）=0.9． 故选：C． 9．（20-21七年级上·福建厦门·期中）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 +2 -13 当北京10月1日23时，悉尼、纽约的时间分别是 （    ） A．9月30日21时；9月30日10时 B．10月1日10时；10月2日10时 C．10月2日1时； 10月1日10时 D．9月30日21时；10月2日12时 【分析】由统计表得出：悉尼时间比北京时间早2小时，也就是10月2日1时．纽约比北京时间要晚13个小时，也就是10月1日10时． 【详解】悉尼的时间是：10月1日23时+2小时，即10月2日1时， 纽约时间是：10月1日23时-13小时，即10月1日10时． 故选：C． 10．（18-19七年级上·陕西西安·期中）纽约、悉尼与北京的时差如下表 城市 悉尼 纽约 时差/时 +2 ﹣13 当北京10月1日23时，悉尼、纽约的时间分别是（　　） A．10月1日21时；10月2日12时 B．10月1日21时；10月1日10时 C．10月2日1时；10月1日10时 D．10月2日1时；10月2日12时 【分析】由统计表得出：悉尼时间比北京时间早2小时，也就是10月2日1时．纽约比北京时间要晚13个小时，也就是10月1日10时 【详解】解：悉尼的时间是：10月1日23时+2小时＝10月2日1时， 纽约时间是：10月1日23时﹣13小时＝10月1日10时． 故选C． 11．（19-20七年级上·山西临汾·阶段练习）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（   ） A．⊕44.93 B．⊕45.02 C．⊕45.00 D．⊕44.99 【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围为44.96⩽零件的直径⩽5.03，后排除不符要求的选项即可． 【详解】∵45+0.03=45.03，45−0.04=44.96， ∴零件的直径的合格范围是：44.96⩽零件的直径⩽5.03. ∵44.93不在该范围之内， ∴不合格的是A. 故选A. 12．（18-19七年级上·北京西城·期末）南水北调工程中线自2014年12月正式通水以来，沿线多座大中城市受益，河南、河北、北京及天津四个省（市）的水资源紧张态势得到缓解，有效促进了地下水资源的涵养和恢复.若与上年同期相比，北京地下水的水位下降记为负，回升记为正，记录从2013年底以来，北京地下水水位的变化得到下表： 时间 2013年底 2014年底 2015年底 2016年底 2017年底 2018年9月底 地下水位与上年同比变化量（单位：） -0.25 -1.14 -0.09 +0.52 +0.26 +2.12 以下关于2013年以来北京地下水水位的说法不正确的是（ ） A．从2014年底开始，北京地下水水位的下降趋势得到缓解 B．从2015年底到2016年底，北京地下水水位首次回升 C．2013年以来，每年年底的地下水位与上年同比的回升量最大的是2018年 D．2018年9月底的地下水位低于2012年底的地下水水位 【分析】根据表中数据解答即可． 【详解】解：A、从2014年底开始，北京地下水水位的下降趋势得到缓解，正确； B、从2015年底到2016年底，北京地下水水位首次回升，正确； C、2013年以来，每年年底的地下水位与上年同比的回升量最大的是2018年，正确； D、∵2018年9月底的地下水水位与2012年底的地下水水位无法比较， ∴2018年9月底的地下水水位低于2012年底的地下水水位错误． 故选D． 二、填空题 13．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各数，，，，，，中，负数有 个． 【分析】本题考查了正负数概念，根据负数的定义判断即可，熟知负数小于是解题的关键． 【详解】解：数，，，，，，中，负数有，，，共个， 故答案为：． 14．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）某日，绥化市的最低气温是零下，记作 ，最高气温是零上，记作 ． 【分析】此题主要考查正负数的意义，根据用正负数来表示具有意义相反的两种量：零上气温记为正，则零下气温就就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：某日，绥化市的最低气温是零下，记作，最高气温是零上，记作． 故答案为：，5． 15．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数和负数是一组相反意义的量即可求得答案，理解正数和负数是一组相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵食品净重记为， ∴食品净重就记为，故答案为：． 16．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，以为分界点，向东为正，向西为负，图上格表示实际距离米．明明从出发先向东走米，再向西走米，此时明明距离芳芳米，若丽丽从“”出发走了米，则此时丽丽与芳芳距离 米． 【分析】本题考查了正负数的意义，根据题意画出图形即可求解，掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：如图，当芳芳在小明东边时，此时丽丽与芳芳距离米， 如图，当芳芳在小明西边时，此时丽丽与芳芳距离米， 故答案为：或． 17．（2025·江西吉安·一模）如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是 ． 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系． 根据题干描述的算筹计数法计数即可． 【详解】 解：根据算筹计数法，“”所表示的数是， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作 个． 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数的意义解答即可，解题的关键是能准确理解正负数的意义和具有相反意义的量． 【详解】解：∵甲队进3个球，记作个， ∴甲队失2个球，记作个， 故答案为：． 19．（22-23七年级上·江苏南通·单元测试）某次数学检测，以分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王宇分，张江分，则他们三人的实际平均得分为 分． 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正数和负数的意义列式计算即可得解，正确理解在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 20．（19-20七年级上·江苏南京·阶段练习）七年级数学兴趣小组在一次数学智力大比拼的竞赛中的平均分数为分，张红得分，记作分，则小明同学得了分，可记为 分. 【分析】根据低于标准记为负，正数和负数表示相反意义的量，可得一个数的表示方法． 【详解】七年级数学兴趣小组在一次数学智力大比拼的竞赛中的平均分数为分，张红得分，记作分，则小明同学得了分，可记为-2分. 故答案为-2. 21．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是 ． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 【分析】此题考查了正数与负数，根据伦敦、悉尼、纽约，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：依题意，得： 标记①②③④的时钟均为12小时制时钟． 标记①时钟表示8:00；②时钟表示3:00；③时钟表示4:00；④时钟表示6:00． （1）若①时钟8:00表示悉尼时间，则北京时间为6:00（能找到④时钟）；进而可知：纽约时间为4:00，伦敦时间为10:00，找不到对应的时钟． ∴标记①的时钟不能表示悉尼时间． （2）若②时钟3:00表示悉尼时间，则北京时间为1:00，①、③、④时钟均找不到． ∴标记②的时钟不能表示悉尼时间． （3）若③时钟4:00表示悉尼时间，则北京时间为2:00，①、②、④时钟均找不到． ∴标记③的时钟不能表示悉尼时间． （4）若④时钟6:00表示悉尼时间，则北京时间为4:00，找到③时钟；纽约时间为3:00，找到②时钟；伦敦时间为8:00，找到①时钟． ∴表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别为①、④、②、③． 故答案为：①④②③． 22．（19-20七年级上·四川成都·期中）如图，下面的5个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，右图给出了国外四个城市与北京的时差，则下图中的时钟对应的城市依次是 .      【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：由时差表可知，纽约与北京的时差是-13，则时钟表里，纽约和北京可能是1和2，或者3和4； 再根据悉尼和北京的时差是+2，在时钟表里，只有3和5是相差两个小时， 则可以断定，3时钟表示的是北京，4时钟表示的是纽约，5时钟表示的是悉尼， 再根据伦敦和罗马与北京的时差分别是-8和-7， 可知1时钟表示的是纽约，2表示的是罗马 故答案为伦敦；罗马；北京；纽约；悉尼． 三、解答题 23．（2025·河北廊坊·一模）初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 最高气温（） 最低气温（） 【分析】本题考查了有理数的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 对周一到周日的气温数据逐一比对，即可得到答案． 【详解】解：根据表格数据得， 周一：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周二：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周三：最高气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周四：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周五：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周六：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周日：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周一到周日佳佳有天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米． 【分析】具有相反意义的量必须是同类量，且只具有相反意义，量不一定相同，所以要先看它们是否是同一类量，再看它们是否意义相反，据此进行逐个分析即可作答．本题考查了正负数的意义． 【详解】解：依题意，具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧． 25．（24-25七年级上·吉林·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据超过的记作正数，不足的记作负数直接加上基础数量即可得到答案； （2）利用达标的人数除以总人数即可得到答案； （3）利用乘以8加上记录的成绩即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， “0”表示的是做了个仰卧起坐， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 3，4， 2，3， 0几个计数的人是达标的，共5人， ∴第一组学生的达标率是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得， （个）， ∴第一组 8 名学生共做了个仰卧起坐． 26．（23-24七年级上·吉林长春·期中）某天一个巡警骑摩托车在条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，， (1)在岗亭哪个方向？距岗亭多远？（列式并计算） (2)离开出发点最远时是多少千米？（直接写出） (3)若摩托车行驶1千米耗油0.5升，从岗亭到处共耗油多少升？ 【分析】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．（1）求出记录数据之和，即可作出判断；（2）找出各个位置离出发点的距离，比较即可；（3）求出各数据绝对值之和，乘以0.5即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：（千米）， 答：A在岗亭南，距岗亭13千米； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 答：离开出发点最远时是15千米； （3）根据题意得： （千米）， ∵摩托车行驶1千米耗油0.5升， ∴（升）， 答：从岗亭到A处共耗油升． 27．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【分析】本题主要考查正负数的实际应用及有理数的混合运算， （1）计算出表格中的和再加上7天每天求出总路程即可； （2）利用（1）中的总路程计算总费用即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：小明家的新能源汽车这7天一共行驶了300千米． （2）解：（元）， （元）， （元）， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数 01讲 正数和负数目录 【知识点1. 正数和负数】…………………………………………………………… 1 【知识点2. 正数和负数的运用】…………………………………………………… 2 【知识点3. “0”的意义】…………………………………………………………… 4 【题型1. 正数、负数、0的辨析】…………………………………………………… 6 【题型2. 正数、负数的分类】………………………………………………………… 6 【题型3. 相反意义的量】……………………………………………………………… 7 【题型4. 正数、负数的应用——允许偏差】………………………………………… 8 【题型5. 正数、负数的应用——时差、温差】……………………………………… 8 【题型6. 正数、负数的应用——基准量】…………………………………………… 10 【课后作业】……………………………………………………………………………… 12 知识清单 1、正数和负数 1）正数：像，，+50这样大于的数叫做正数，正数都大于。 2）负数：像，，这样在正数前加上符号“－”（负）号的数叫做负数，负数都小于。 3）符号：一个数前面的“+”，“－”号叫做它的符号。 注：① 正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数；负数前面的“” 号不可省略。 ② 不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。如：不一定表示负数，若为正数，则表示负数；若为负数，则表示正数；若为0，则表示0。 巩固基础 1．下列四个数中，属于负数的是（   ） A．1.2 B．1 C． D．0 2．下列四个有理数中，负数的是（   ） A．0 B． C．3 D． 3．下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．下列有理数中，，，，，，，，正数的个数为（　　） A． B． C． D． 5．在，，0，11，，3这五个数中，正数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列说法中，正确的为（        ）． A．一个数不是正数就是负数 B．是最小的数 C．正数都比大 D．是负数 7．我们知道字母可代表任何数，那么对下列各式的叙述一定正确的是（    ） A．一定是负数 B．一定是负数 C．一定是负数 D．一定是负数 8．下列说法中正确的是(    ) A．正数都带“+”号 B．不带“十”号的数都是负数 C．负数一定带“一”号 D．带“一”号的数都是负数 知识清单 2、正数和负数的运用 1）相反意义的量：用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．。 比如：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为－3km。 2）用正负数表示允许偏差： 比如：红双喜的乒乓球产品参数中标注的直径是：40±0.05mm；这表示该乒乓球的标准直径为40mm，偏差为±0.05mm，这就是实际直径最大可以是（40+0.05）mm，最小可以是（40-0.05）mm，直径在这个范围内的乒乓球就是合格的。 巩固基础 1．如果向东走，记作，那么表示（ ） A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走 2．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若上升5米记作“”，则下降3米记作（    ） A． B． C． D．3 3．中国是世界上最早使用负数的国家，我国战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前300年记作年，那么公元2025年应记作（　　） A．年 B．年 C．2025年 D．2325年 4．如果零上记作，那么零下记作（   ）． A． B． C． D． 5．下面两个量中，不具有相反意义的是（   ） A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水 C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降 6．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（    ） A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元 7．在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．上升了6米和后退了7米 B．卖出10斤米和盈利10元 C．收入20元与支出30元 D．向东行30米和向北行30米 8．在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 9．食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（    ） A． B． C． D． 10．质检员抽查4袋方便面，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的产品是（   ） A．-2 B．-1 C．0.3 D．1.2 11．某种品牌的洗面奶，外包装标明净含量为500±10g，表明了这种洗面奶的净含量x的范围是（　　） A．490＜x＜510 B．490≤x≤510 C．490＜x≤510 D．490≤x＜510 知识清单 3、“0”的意义 1）0既不是正数，也不是负数； 2）0是正数与负数的分界； 3）0是自然数； 4）0可以表示没有，比如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔； 5）0可以是一个数，比如是一个确定的温度； 6）0有时也作为基准，比如海拔高度为0m表示的是海平面的平均高度。 巩固基础 1．下列语句：①不带“”号的数都是正数；②带“”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④表示没有温度．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列说法正确的个数是（    ） ①加正号的数是正数，加负号的数是负数； ②任意一个正数，前面加上“－”，就是一个负数； ③0是最小的正数；  ④大于零的数是正数；  ⑤字母a既是正数，又是负数． A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列对“0”的说法正确的个数是(　　) ①0是正数和负数的分界点；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0是自然数． A．3个 B．4个 C．5个 D．0个 4．下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 5．0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 6．下列关于“0”的说法正确的有 个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数； ④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 7．有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是 ． 直击考点 题型1：正数、负数、0的辨析 例1．下列结论正确的是（   ） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数 例2．下列关于零的说法中，正确的个数是（　　） ①零是正数；②零是负数；③零既不是正数，也不是负数；④零仅表示没有． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 变式2．下列说法错误的是（　　） A．0是最小的自然数 B．0既不是正数，也不是负数 C．海拔高度是0米表示没有高度 D．0℃是零上温度和零下温度的分界线 变式3．下列说法正确的有（　　） ①不是负数的数一定是正数； ②带“”号的数是正数，带“”号的数是负数； ③任意一个正数，前面加上“”号就是负数； ④大于0的数是正数；⑤一定是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式4．下列语句：①不带负号“－”的数都是正数；②正数前面加上“－”号表示的数就是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④0℃表示没有温度，其中正确的有(     ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型2：正数、负数的分类 例1．下列各数是负数的是（    ） A． B． C． D． 例2．在5.2、、0、10、中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．在，0，，这四个数中，负数的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．给出下列各数：，，，，．其中负数有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3：相反意义的量 例1．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若某人前进26步记为步，则他后退15步记为（    ） A．11步 B．步 C．15步 D．步 例2．若盈余2万元记作万元，则万元表示（   ） A．盈余2万元 B．支出2万元 C．亏损万元 D．亏损2万元 变式1．若规定商品涨价为正，则甲商品涨价可记作，乙商品降价可记作（    ） A． B． C． D． 变式2．某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示（　　） A．水面低于标准水位 B．水面低于标准水位 C．水面高于标准水位 D．水面水深为 变式3．下列说法错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃ C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示 变式4．文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边米处，玩具店位于书店西边米处，小明从书店沿街向东走了米，接着又向西走了米，此时小明的位置在（    ） A．文具店 B．玩具店 C．文具店西边米 D．玩具店西边米 变式5．下列选项中,具有相反意义的量是(    ) A．胜2局与负3局 B．6个老师与6个学生 C．盈利3万元与支出3万元 D．向东行30米与向北行30米 题型4：正数、负数的应用——允许偏差 例1．神舟上天，嫦娥奔月，天问探火，探秘星辰大海的背后离不开超精密加工技术的保驾护航．某飞行器控制设备中精密机械零件的参数要求为微米，下列零件尺寸符合要求的是（   ） A．6499.02微米 B．6499.20微米 C．6500.02微米 D．6500.20微米 例2．一种化肥的包装袋上标着净重，那么两袋这种化肥质量的差不可能是（   ） A． B． C． D． 变式1．七年一班某次数学测试的平均成绩是105分，小明得了110分，记作分，小丽的成绩记作分，则小丽本次数学测试的成绩为（    ） A．118分 B．112分 C．108分 D．103分 变式2．某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，那么在这批合格的产品中随机拿出两个乒乓球，它们的直径最大相差为（   ） A． B． C． D． 变式3．一食品的包装袋上标有克，这种食品一袋的最小重量不低于 克． 题型5：正数、负数的应用——时差、温差 例1．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（　　） A． B． C． D． 例2．第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 变式1．纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）：当北京10月8日时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） 城市 悉尼 纽约 时差/时 A．10月8日时；10月9日时 B．10月8日时；10月8日时 C．10月8日时；10月9日时 D．10月8日时；10月8日时 变式2．以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（    ） 城市 时差/h 纽约 ﹣13 悉尼 +2 伦敦 ﹣8 罗马 ﹣7 A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京 B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约 C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约 变式5．下表列出了国外几个市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的点时数）如果现在的东京时间时8:00，那么北京时间是 ，伦敦的时间是 ，纽约的时间是 ． 城市 纽约 伦敦 东京 巴黎 时差/时 7 题型6：正数、负数的应用——基准量 例1．为增强学生身体素质，提高学生运动竞技水平，在某校举办的足球比赛中规定：胜一场记作“”分，平局记作“0”分．如果追梦队得到“”分，则追梦队在比赛中（   ） A．与对手打成平局 B．输给对手 C．打赢了对手 D．无法确定 例2．在中学体育测试中，初一男生引体向上测试的满分标准为13次．在一次引体向上测试中，小明的成绩是12次，记为“”．如果小刚的成绩记为“”，那么小刚的成绩是（    ）次． A．14 B．15 C．16 D．17 变式1．排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的标准质量为. 现随机选取8个排球进行质量检测，结果如下表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 275 263 278 270 261 277 282 269 则仅从质量的角度考虑，不符合要求的排球有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 变式3．某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 课后作业 一、单选题 1．（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）下列为负数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级·贵州遵义·阶段练习）给出下列各数：﹣1，0，﹣3.05，﹣π，+2，﹣，4，其中负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·江苏无锡·一模）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏扬州·一模）我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河南周口·一模）魏晋时期的数学家刘徽在“正负术的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可记作，则图2应记作（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东滨州·一模）1700多年前，我国数学家刘徽（今山东滨州人）首次明确地提出了正数和负数的概念．他还规定筹算时“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．例 如： 这个记载比国外早了近八百年．根据上述材料，下列选项所示的算筹，表示的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃张掖·一模）如图是某用户微信钱包账单，则表示（　　） A．发出10.00元红包 B．收入10.00元 C．余额10.00元 D．抢到10.00元红包 8．（20-21七年级上·河北沧州·期末）一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 9．（20-21七年级上·福建厦门·期中）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京晚的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 +2 -13 当北京10月1日23时，悉尼、纽约的时间分别是 （    ） A．9月30日21时；9月30日10时 B．10月1日10时；10月2日10时 C．10月2日1时； 10月1日10时 D．9月30日21时；10月2日12时 10．（18-19七年级上·陕西西安·期中）纽约、悉尼与北京的时差如下表 城市 悉尼 纽约 时差/时 +2 ﹣13 当北京10月1日23时，悉尼、纽约的时间分别是（　　） A．10月1日21时；10月2日12时 B．10月1日21时；10月1日10时 C．10月2日1时；10月1日10时 D．10月2日1时；10月2日12时 11．（19-20七年级上·山西临汾·阶段练习）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（   ） A．⊕44.93 B．⊕45.02 C．⊕45.00 D．⊕44.99 12．（18-19七年级上·北京西城·期末）南水北调工程中线自2014年12月正式通水以来，沿线多座大中城市受益，河南、河北、北京及天津四个省（市）的水资源紧张态势得到缓解，有效促进了地下水资源的涵养和恢复.若与上年同期相比，北京地下水的水位下降记为负，回升记为正，记录从2013年底以来，北京地下水水位的变化得到下表： 时间 2013年底 2014年底 2015年底 2016年底 2017年底 2018年9月底 地下水位与上年同比变化量（单位：） -0.25 -1.14 -0.09 +0.52 +0.26 +2.12 以下关于2013年以来北京地下水水位的说法不正确的是（ ） A．从2014年底开始，北京地下水水位的下降趋势得到缓解 B．从2015年底到2016年底，北京地下水水位首次回升 C．2013年以来，每年年底的地下水位与上年同比的回升量最大的是2018年 D．2018年9月底的地下水位低于2012年底的地下水水位 二、填空题 13．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各数，，，，，，中，负数有 个． 14．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）某日，绥化市的最低气温是零下，记作 ，最高气温是零上，记作 ． 15．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 16．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，以为分界点，向东为正，向西为负，图上格表示实际距离米．明明从出发先向东走米，再向西走米，此时明明距离芳芳米，若丽丽从“”出发走了米，则此时丽丽与芳芳距离 米． 17．（2025·江西吉安·一模）如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是 ． 18．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作个，那么甲队失2个球，记作 个． 19．（22-23七年级上·江苏南通·单元测试）某次数学检测，以分为基准，老师公布的成绩如下：周扬分，王宇分，张江分，则他们三人的实际平均得分为 分． 20．（19-20七年级上·江苏南京·阶段练习）七年级数学兴趣小组在一次数学智力大比拼的竞赛中的平均分数为分，张红得分，记作分，则小明同学得了分，可记为 分. 21．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出伦敦悉尼、纽约与北京的时差（“”表示同一时刻比北京早的时间，“”表示同一时间比北京晚的时间），表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是 ． 城市 伦敦 悉尼 纽约 时差 22．（19-20七年级上·四川成都·期中）如图，下面的5个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，右图给出了国外四个城市与北京的时差，则下图中的时钟对应的城市依次是 .      三、解答题 23．（2025·河北廊坊·一模）初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 最高气温（） 最低气温（） 24．（2024七年级上·全国·专题练习）找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米． 25．（24-25七年级上·吉林·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 26．（23-24七年级上·吉林长春·期中）某天一个巡警骑摩托车在条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，， (1)在岗亭哪个方向？距岗亭多远？（列式并计算） (2)离开出发点最远时是多少千米？（直接写出） (3)若摩托车行驶1千米耗油0.5升，从岗亭到处共耗油多少升？ 27．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅度增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“＋”，不足的记为“－”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） (1)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？ (2)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价为元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$