09 二项式定理的创新考法-《中学生数理化》高二数学2024年6月刊

■安徽省安庆市第一中学洪汪宝名师工作室 洪汪宝 在“三新”(即新课标、新教材、新高考)背 景下,各级各类考试中对二项式定理的考查 出现了一些创新考法,比如多项选择题、结构 不良题、开放性问题、综合交汇题、定义创新 题、数学文化题等,对同学们的思维能力及数 学核心素养提出了更高的要求。 一、多项选择题 例 1 (多 选)若(2x-3)12=a0+ a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a11(x-1)11+ a12(x-1)12,则( )。 A.a9=5 120 B.a0-a1+a2+…-a9+a10-a11+ a12=312 C.a1+a2+…+a12=-2 D. a1 2+ a2 22 +…+ a10 210 + a11 211 + a12 212 =-1 解析:令 x-1=t,则 原 等 式 可 化 为 (2t-1)12=a0+a1t+a2t2+…+a11t11+ a12t12。 对于选项A,a9t9=C312(2t)9·(-1)3= -112 640t9,故a9=-112 640,A错误。 对于选项 B,令t=-1,得a0-a1+ a2+…-a9+a10-a11+a12=312,故B正确。 对于选项C,令t=1,得a0+a1+a2+… +a11+a12=1。令t=0,则a0=1。所以 a1+a2+…+a12=1-1=0,故C错误。 对于 选 项 D,令t= 1 2 ,得 a0+ a1 2 + a2 22 +…+ a10 210 + a11 211 + a12 212 =0,故 a1 2+ a2 22 +…+ a10 210 + a11 211 + a12 212 =-a0=-1,D正确。 故选BD。 点评:相比单项选择题,多项选择题要求 同学们的知识更扎实、能力更灵活、素养更全 面。例1围绕一个主题设置多个选项,从多 个方面进行考查,有利于检测同学们的掌握 程度。 二、结构不良题 例 2 在下面两个条件中任选一个条 件,补充在后面问题中的横线上,并解答。 条件①:前三项的二项式系数的和等于 46; 条件②:第4项与第7项的二项式系数 相等。 问题:在二项式(1-2x)n 的展开式中, 已知 。 (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求(1-2x)5(1+3x)n-5 的展开式中, 按x 的升幂排列的前三项。 解析:选择①,已知C0n+C1n+C2n=46,即 1+n+ n(n-1) 2 =46 ,解得n=9。 选择②,因为C3n=C6n,所以n=9。 (1)(1-2x)9 的展开式的通项为Tr+1= Cr9·19-r·(-2x)r=(-2)rCr9·xr,其二项 式系 数 最 大 的 项 有 两 项,分 别 为 T5 = (-2)4C49·x4=2 016x4,T6=(-2)5C59· x5=-4 032x5。 (2)在(1-2x)5(1+3x)4 的展开式中, 常数项为1,含x 的项为1×C14×3x+C15× (-2x)×1=2x,含x2 的项为1×C24×(3x)2 +C15×(-2x)×C14×(3x)+C25×(-2x)2× 1=-26x2。 所以在(1-2x)5(1+3x)n-5 的展开式 中,按x 的升幂排列的前三项分别为1,2x, 23 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年6月 -26x2。 点评:同学们解这样的条件结构不良题 时,要灵活选择自己有能力解决的条件,千万 不可选自己不能解决的条件。 三、开放性问题 例 3 已知 x-1 x3 n (n∈N*,3≤n≤ 16)的展开式中含有常数项,则n的一个可能 取值是 。 解析:展开式的通项为 Tr+1=Crnxn-r· - 1 x3 r =(-1)rCrn·xn-4r。因为展开式中 含有常数项,所以n-4r=0有解,即n=4r 有解。由此可得n 为4的倍数,即可满足题 意。又因为3≤n≤16,所以n 可取4,8,12, 16。(只需填一个即可) 点评:本题是一道典型的结论开放性问 题,根据展开式中含有常数项即可得到方程 n-4r=0有解,注意到r=0,1,2,…,n,所以 只需n是4的正整数倍,结合n 的取值范围 即可求出。 四、综合交汇题 例 4 已知等差数列{an},对任意n∈ N*都有a1C0n+a2C1n+a3C2n+…+an+1Cnn= n·2n+1 成立,则数列 1an+1an+2 的前n 项和 Tn= 。 解析:kCkn =k· n! (n-k)!k! =n · (n-1)! [(n-1)-(k-1)]! (k-1)!=nC k-1 n-1。 设等差数列的公差为 d,则an=a1+ (n-1)d。所以a1C0n+a2C1n+a3C2n+…+ an+1Cnn=n·2n+1=a1(C0n+C1n+…+Cnn)+ d(C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn)=a1·2n+ nd(C0n-1+C1n-1+…+Cn-1n-1)=a1·2n+nd· 2n-1,即a1·2n+nd·2n-1=n·2n+1,也即 2a1+n(d-4)=0对n∈N*恒成立。 于是a1=0,d=4,等差数列{an}的通项 公式an=4(n-1)。 所 以 1 an+1·an+2 = 1 4n×4(n+1)= 1 16 1 n- 1 n+1 ,故数列 1an+1an+2 的前n 项 和Tn= 1 161- 1 n+1 = n16(n+1)。 例 5 已知 m,n 为正整数,f(x)= (1+x)m+(1+x)n 的展开式中x 的系数为 19,则f(x)的展开式中x2 的系数的最小值 为 。 解析:由 题 意 可 知 m +n=19,所 以 f(x)的展开式中 x2 的系数为 C2m +C2n= m(m-1) 2 + n(n-1) 2 = (19-n)(18-n) 2 + n(n-1) 2 = n- 19 2 2 + 323 4 。 又 因 为 n ∈ N*,所 以 当 n=9, m=10 或 n=10, m=9 时,x2 的系数的最小值为81。 点评:本题将二次函数的最值与二项式 定理进行综合,基础性与综合性并举,要求同 学们具备较好的逻辑推理能力和运算求解能 力。 五、定义创新题 例 6 二项式定理,又称牛顿二项式定 理,由艾萨克·牛顿提出。二项式定理可以 推广到任意实数次幂,即广义二项式定理:对 于任意 实 数 α,(1+x)α =1+ α 1! ·x+ α(α-1) 2! ·x2+…+ α(α-1)…(α-k+1) k! · xk+…。当|x|比较小的时候,取广义二项 式定理展开式的前两项可得:(1+x)α≈1+ α·x,并且|x|的值越小,所得结果就越接近 真实数据。用这个方法计算 5的近似值,可 以这样操作:5= 4+1= 41+ 1 4 = 2 1+ 1 4 ≈2× 1+ 1 2× 1 4 =2.25。 用这样的方法,估计 325的近似值约为 ( )。 A.2.922 B.2.926 C.2.928 D.2.930 33 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年6月 解析:由 条 件 可 知,325= 327-2= 3 271- 2 27 = 3 × 3 1- 2 27 = 3 × 1+ - 2 27 1 3 ≈3× 1+ 1 3× - 2 27 ≈ 2.926,故选B。 例 7 (x2+x+1)n=D0nx2n+D1nx2n-1 +D2nx2n-2+…+D2n-1n x+D2nn 的展开式中,把 D0n,D1n,D2n,…,D2nn 叫作三项式的n 次系数 列。 (1)求D03+D23+D43+D63 的值。 (2)根据二项式定理,将等式(1+x)2n= (1+x)n(1+x)n 的两边分别展开可得左右 两边的系数对应相等,如Cn2n=(C0n)2+(C1n)2 +(C2n)2+…+(Cnn)2。理解上述思想方法, 利用方程1-x3=(1-x)(1+x+x2),请化 简:D02 022C02 022-D12 022C12 022+D22 022C22 022-…+ (-1)k·Dk2 022Ck2 022+…+D2 022 2 022C2 022 2 022。 解析:(1)当n=3时,(x2+x+1)3= D03x6+D13x5+D23x4+…+D53x+D63。 令x=1,则 D03+D13+D23+D33+D43+ D53+D63=33;令x=-1,则 D03-D13+D23- D33+D43-D53+D63=1。 两式相加,得2(D03+D23+D43+D63)=28, 所以D03+D23+D43+D63=14。 (2)因为(x2+x+1)2 022=D02 022x4 044+ D12 022x4 043+D22 022x4 042+…+D4 043 2 022x+D4 044 2 022, (1-x)2 022=C02 022-C12 022x+C22 022x2-C32 022x3 +…-C2 021 2 022x2 021+C2 022 2 022x2 022,所以(x2+x+ 1)2 022(1-x)2 022 展开式中 x4 044 的系数为 D02 022C02 022 - D12 022C12 022 + D22 022C22 022 - … + (-1)k·Dk2 022Ck2 022+…+D2 022 2 022C2 022 2 022。 已知(1-x3)2 022 展开式的通项公式为 Tr + 1 = Cr2 022(-x3)r = Cr2 022(-1)rx3r,令 3r=4 044,得r=1 348。 所以(1-x3)2 022 的展开式中x4 044 的系 数为C1 348 2 022。 因为(x2+x+1)2 022(1-x)2 022=(1- x3)2 022,所 以 D02 022C02 022 - D12 022C12 022 + D22 022C22 022-…+(-1)k·Dk2 022Ck2 022+…+ D2 022 2 022C2 022 2 022=C1 348 2 022。 点评:例6和例7都是定义创新题,正确 理解定义是解题的关键。 六、数学文化题 例 8 (多选)“杨辉三角”是二项式系 数在三角形中的一种几何排列,在南宋数学 家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书 中就有出现。如图1所示,在“杨辉三角”中, 除每行两边的数都是1外,其余每个数都是 其“肩上”的两个数之和,例如第4行的6为 第3行中两个3的和。则下列命题中正确的 是( )。 图1 A.C23+C24+C25+…+C210=164 B.在第2 022行中第1 011个数最大 C.记“杨辉三角”第n 行的第i个数为 ai,则∑ n+1 i=1 (2i-1ai)=3n D.第34行中第15个数与第16个数之 比为2∶3 解析:对于A选项,C23+ C24+ C25+ …+ C210 = C23+ C33+ C24+ C25+ …+ C210-C33= C34+ C24+ C25+ …+ C210-C33= C311-C33= 164,所以A正确。 对于B选项,第2 022行是二项式(a+ b)2 022 的展开式的系数,故第2 022行中第 2 022 2 +1=1 012个数最大,所以B不正确。 对于C选项,“杨辉三角”第n 行是二项 式(a+b)n 的展开式系数,所以ai = Ci-1n , ∑ n + 1 i = 1 (2i-1ai ) = ∑ n + 1 i = 1 (2i-1·Ci-1n ) = ∑ n + 1 i = 1 (Ci-1n · 1n-i + 1·2i-1) = (1 + 2)n = 3n。C正确。 对于D选项,第34行是二项式(a+b)34 的展开式系数,所以第15个数与第16个数 之比为C1434∶C1534=3∶4,D不正确。 故选AC。 (责任编辑 徐利杰) 43 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年6月