08 新高考视角下与马尔科夫链相关的概率递推问题-《中学生数理化》高二数学2024年6月刊

■河南省信阳市固始县高级中学教育集团 胡云兵 全概率公式以及全概率推出的马尔科夫 链问题最近备受命题人的青睐! 比如2023 年新高考Ⅰ卷第21题,再往前的热点模考卷 中,2023年杭州二模第21题的赌徒输光问 题,2023年茂名二模的摸球问题,再往更前 的2019年全国Ⅰ卷药物试验问题等都是马 尔科夫链问题。在新人教A版《选择性必修 第三册》第91页拓广探索中的第10题传球 问题,也是马尔科夫链的典型模型。全概率 公式是新教材引入的内容,可想而知越来越 多的递推型概率难题将会出现在高考和模考 试卷中! 因此,同学们在学习时要对全概率 等系列内容格外关注。马尔科夫链在题中的 体现可以简单地概括为:全概率公式+数列 递推。下面主要介绍马尔科夫链和一维随机 游走模型,以及马尔科夫链在高考和模考中 的几种具体的应用情形,希望对同学们的学 习有一些帮助。 一、马尔科夫链是什么 (一)定义 马尔科夫链是由数学家安德雷·马尔科 夫提出的,它是概率论和数理统计中的一个 重要模型,在自然科学、技术科学、管理科学、 经济科学以至人文科学中都有广泛应用。数 学定义为:考虑一个随机变量的序列 X= {X0,X1,…,Xt,…},这里 Xt 表示时刻t的 随机变量,t=0,1,2,…。每个随机变量 Xt (t=0,1,2,…)的取值集合相同,称为状态空 间S。随机变量可以是离散的,也可以是连 续的。 假设在时刻0的随机变量 X0 遵循概率 分布P(X0)=p0, 称为初始状态分布。在某 个时刻t>1的随机变量Xt 与前一个时刻的 随 机 变 量 Xt-1 之 间 有 条 件 分 布 P(Xt|Xt-1), 如果 Xt 只依赖于Xt-1,而不 依赖于过去的随机变量{X0,X1,…,Xt-2}, 这一性质称为马尔科夫性,即 P(Xt|X0, X1,…Xt-1)=P(Xt|Xt-1), t=0,1,2,…。 具有马尔科夫性的随机序列 X={X0,X1, …,Xt,…} 称为马尔科夫链(Markov chain) 或马尔科夫过程。 (二)解题策略 依据高中学生的认知水平,马尔科夫链 可以概括为:某一时刻状态转移的概率只依 赖于它的前一个状态。在实际应用中,常见 的有赌徒模型和传球模型等,其一般解题步 骤可以归纳如下。 方法 一:(1)先 求 出 P(X0)=p0 或 P(X1)=p1;(2)根据马尔科夫链定义,列出 第t时刻的条件概率的递推关系式;(3)根据 数列递推公式的配凑法求出第t时刻概率的 通项公式Pt。 方法二:从高观点的角度,对学有余力 的同学,可以引导他们利用n 步转移概率 矩阵进行求解, 以培养同学们的数学综合 能力,提高数学关键能力,为不同类型的高 校选拔人才。 二、马尔科夫链为什么这么热 《普通高中数学课程标准 (2017年版 2020年修订)》增加了数列递推公式、全概率 72 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年6月 公式等内容。另外,在新教材中也可以找到 答案。 1.【新人教A版《选择性必修第三册》第 50页】例4中就存在马尔科夫链的影子,原 题如下。 某学校有A,B 两家餐厅,王同学第一天 午餐时随机地选择一家餐厅用餐。如果第一 天去A 餐厅,那么第二天去A 餐厅的概率为 0.6;如果第一天去B 餐厅,那么第二天去A 餐厅的概率为0.8。 计算王同学第二天去A 餐厅用餐的概率。 2.【新人教A版《选择性必修第三册》第 81 页】复习巩固中的第3题就是典型的一维 随机游走问题,原题如下。 如图1,一个质点在随机外力的作用下, 从原点0出发,每隔1 s等可能地向左或向右 移动一个单位,共移动6次。求下列事件的 概率。 图1 (1)质点回到原点; (2)质点位于4的位置。 3.【新人教A版《选择性必修第三册》第 91 页】拓广探索中的第10题是传球问题,也 是马尔科夫链的典型模型,原题如下。 甲、乙、丙三人相互做传球训练,第1次 由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能 地将球传给另外两个人中的任何一人。求n 次传球后球在甲手中的概率。 解析:记第n 次传球后球在甲手中的概 率为Pn,则第n-1次传球后球在甲手中的 概率为Pn-1。开始时球在甲手中,则P1=0。 若第n次传球后球在甲手中,则第n-1 次传球后球不在甲手中,即第n-1次传球后 球在乙或丙手中,所以第n-1次传球后球不 在甲手中的概率为1-Pn-1。 又乙或丙在第n次把球传到甲手上的概 率为 1 2 ,于是有1 2 (1-Pn-1)=Pn。 整理可得 Pn- 1 3=- 1 2 Pn-1- 1 3 , n≥1。 于是数列 Pn- 1 3 是首项为P1-13= - 1 3 ,公比为- 1 2 的等比数列。 因此,Pn - 1 3=- 1 3× - 1 2 n-1 ,即 Pn=- 1 3× - 1 2 n-1 + 1 3 (n∈N*)。 教材中的这三道题进一步佐证了以马尔 科夫链为背景的全概率公式问题可以通过简 单事件表示复杂事件来解决。利用概率的性 质及概率公式简化概率的计算过程,不仅表 达简洁且条理清晰,而且能够帮助同学们梳 理解决问题的思路。这种抽象思想方法具有 一般性,能有效提升数学抽象、数学建模和数 据分析等素养。因此,同学们在学习时要对 全概率等系列内容格外关注。 三、高考和模考试卷中的马尔科夫链问 题 角度1 与体育赛事有关的马尔科夫链 问题 例 1 (2023年新高考Ⅰ卷第21题) 甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则 如下:若命中,则此人继续投篮;若未命中,则 换为对方投篮。无论之前投篮情况如何,甲 每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的 命中率均为0.8。由抽签确定第1次投篮的 人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5。 (1)求第2次投篮的人是乙的概率。 (2)求第i次投篮的人是甲的概率。 (3)已知:若随机变量Xi 服从两点分布, 且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2, …,n,则E(∑ n i=1 Xi)=∑ n i=1 qi。记前n次(即从第 1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求 E(Y)。 解析:(1)记“第i次投篮的人是甲”为事 件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi。 所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)= P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)= 0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6。 (2)设P(Ai)=pi,依题可知,P(Bi)= 82 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年6月 1-pi,则 P (Ai+1)= P (AiAi+1)+ P(BiAi+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)· P(Ai+1|Bi),即pi+1=0.6pi+(1-0.8)× (1-pi)=0.4pi+0.2。 构造等比数列 pi+λ ,设 pi+1+λ= 2 5 (pi+λ),解得λ=- 1 3 ,则 pi+1- 1 3= 2 5 pi- 1 3 。 因 为 p1 = 1 2 ,p1 - 1 3 = 1 6 ,所 以 pi- 1 3 是首项为16,公比为25的等比数列, 即pi- 1 3= 1 6× 2 5 i-1 。 故pi= 1 6× 2 5 i-1 + 1 3 。 (3)因为pi= 1 6× 2 5 i-1 + 1 3 ,i=1,2, …,n,所以当n∈N*时,E(Y)=p1+p2+… + pn = 1 6 × 1- 25 n 1- 2 5 + n 3 = 5 181- 2 5 n +n3。 故E(Y)= 5 181- 2 5 n +n3。 点评:本题以条件概率为背景知识抽象 出数列递推关系式, 考查全概率公式和数列 递推公式等知识, 体现化难为易的数学转化 思想。第一问设置第2次投篮情况, 面向全 体考生,引导同学们利用条件概率和互斥事 件概率知识求解。第二问比较抽象,以马尔 科夫链为背景,需要同学们从全概率公式角 度,运用数列递推关系式,推导出第i次投篮 概率的递推公式,考查一般与特殊思想,涉及 推理论证能力,数据分析能力和运算求解能 力。第三问以两点分布的期望知识为载体, 考查数列求和公式,体现对条件概率与数列 递推关系等相关必备知识的要求,对高中概 率统计的学习有引导作用。 角度2 与生物医学有关的马尔科夫链 问题 例 2 (2019年全国Ⅰ卷理科第21 题)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药, 希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试 验。试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对 药效进行对比试验,对于两只白鼠,随机选一 只施以甲药,另一只施以乙药,一轮的治疗结 果得出后,再安排下一轮试验,当其中一种药 治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只 时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有 效。为了方便描述问题,约定:对于每轮试 验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白 鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若 施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治 愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈 或都未治愈,则两种药均得0分。甲、乙两种 药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药 的得分记为X。 (1)求X 的分布列。 (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分 为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概 率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1 (i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b= P(X=0),c=P(X=1)。假设α=0.5,β= 0.8。 (i)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为 等比数列; (i)求p4,并根据p4 的值解释这种试验 方案的合理性。 解析:(1)X 的所有可能取值为-1,0,1。 P(X=-1)=(1-α)β; P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β); P(X=1)=α(1-β)。 所以X 的分布列如表1所示。 表1 X -1 0 1 P (1-α)β αβ+(1-α)(1-β) α(1-β) (2)(i)因为α=0.5,β=0.8,所以由(1) 得,a=0.4,b=0.5,c=0.1。 因此,pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1 (i=1,2,…,7),故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi -pi-1),即(pi+1-pi)=4(pi-pi-1)。 因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi} 92 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年6月 (i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p1 的等 比数列。 (i)由(i)可得,p8=(p8-p7)+(p7- p6)+…+(p1-p0)+p0= p1(1-48) 1-4 = 48-1 3 p1 。 因为p8=1,所以p1= 3 48-1 。 故p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2- p1)+(p1-p0)+p0= 44-1 3 p1= 1 257 。 p4 表示最终认为甲药更有效的概率。 由计算结果可以看出,当甲药治愈率为0.5, 乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概 率p4= 1 257≈0.003 9,此时得出错误结论的 概率非常小,说明这种试验方案合理。 点评:本题是概率与数列的综合题,主要 考查数列和概率的应用,第二问是典型的马 尔科夫链问题,根据条件推出数列的递推关 系是解决本题的关键。本题综合性较强,有 一定的难度。 角度3 与赌徒有关的马尔科夫链问题 例 3 (2023年杭州二模第21题)马 尔科夫链是概率统计中的一个重要模型,也 是机器学习和人工智能的基石,在强化学习、 自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都 有着极其广泛的应用。其数学定义为:假设 我们的序列状态是:…,Xt-2,Xt-1,Xt,Xt+1, …,那么Xt+1 时刻的状态的条件概率仅依赖 前一状态Xt,即P(Xt+1|…,Xt-2,Xt-1,Xt) =P(Xt+1|Xt)。 现实生活中也存在着许多马尔科夫链, 例如著名的赌徒模型。 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游 戏,每一局赌徒赌赢的概率为50%,且每局 赌赢可以赢得1元,每一局赌徒赌输的概率 为50%,且赌输就要输掉1元。赌徒会一直 玩下去,直到遇到如下两种情况才会结束赌 博游戏:一种是手中赌金为0元,即赌徒输 光;一种是赌金达到预期的B 元,赌徒停止 赌博。记赌徒的本金为A(A∈N*,A<B), 赌博过程如图2所示的数轴。 图2 当赌徒手中有n元(0≤n≤B,n∈N)时,最 终输光的概率为P(n),请回答下列问题: (1)请直接写出P(0)与P(B)的数值; (2)证明{P(n)}是一个等差数列,并写 出公差d; (3)当 A=100时,分别计算 B=200, B=1 000时,P(A)的数值,并结合实际,解 释当B→+∞时,P(A)的统计含义。 解析:(1)当n=0时,赌徒已经输光了, 因此,P(0)=1。 当n=B 时,赌徒到了终止赌博的条件, 不再赌了,因此输光的概率P(B)=0。 (2)记 M 为“赌徒有n元最后输光”的事 件,N 为“赌徒有n元下一场赢”的事件。 则P(M)=P(N)P(M|N)+P(􀭿N)· P(M|􀭿N),即P(n)= 1 2P (n-1)+ 1 2P (n+1)。 所以P(n)-P(n-1)=P(n+1)- P(n),即{P(n)}是一个等差数列。 设P(n)-P(n-1)=d,则P(n-1)- P(n-2)=d,…,P(1)-P(0)=d。累加得 P(n)-P(0)=nd,故P(B)-P(0)=Bd, 得d=- 1 B 。 (3)A=100,由 P(n)-P(0)=nd,得 P(A)-P(0)=Ad,即P(A)=1- A B 。 当B=200时,P(A)=50%。 当B=1 000时,P(A)=90%。 当B→+∞时,P(A)→1,因此可知久赌 无赢家,即便是一个这样看似公平的游戏,只 要赌徒一直玩下去就会100%输光。 点评:此题很新颖,题目的背景设置虽然 较为陌生复杂,但解答并不困难。该题将概 率和数列知识综合到了一起,解答的关键是 要弄明白题目的含义,即审清楚题意,明确 P(n)= 1 2P (n-1)+ 1 2P (n+1),即可求解。 03 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年6月 角度4 与摸球有关的马尔科夫链问题 例 4 (2023年茂名二模第22题)马 尔科夫链因俄国数学家安德雷·马尔科夫得 名,其过程具备“无记忆”的性质,即第n+1 次状态的概率分布只跟第n 次的状态有关, 与第n-1,n-2,n-3,…,1次状态是没有 任何关系的。现有甲、乙两个盒子,盒子中都 有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑 球。从两个盒子中各任取一个球交换,重复 进行n(n∈N*)次操作后,记甲盒子中黑球 个数为Xn,甲盒中恰有1个黑球的概率为 an,恰有2个黑球的概率为bn。 (1)求X1 的分布列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)求Xn 的期望。 解析:(1)由题意可知,X1 的可能取值为 0,1,2。由相互独立事件概率乘法公式可知: P(X1=0)= 1 3× 2 3= 2 9 ; P(X1=1)= 1 3× 1 3+ 2 3× 2 3= 5 9 ; P(X1=2)= 2 3× 1 3= 2 9 。 故X1 的分布列如表2所示。 表2 X1 0 1 2 P 29 5 9 2 9 (2)由全概率公式可知: P(Xn+1=1)=P(Xn=1)·P(Xn+1= 1|Xn=1)+P(Xn=2)·P(Xn+1=1|Xn= 2)+P(Xn=0)·P(Xn+1=1|Xn=0) = 13× 1 3+ 2 3× 2 3 P (Xn =1)+ 2 3×1 P(Xn=2)+ 1×23 P(Xn=0) = 5 9P (Xn =1)+ 2 3P (Xn =2)+ 2 3P (Xn=0)。 故an+1= 5 9an+ 2 3bn+ 2 3 (1-an-bn), 所以 an+1= - 1 9an + 2 3 ,即 an+1- 3 5 = - 1 9 an- 3 5 。 因为a1=P(X1=1)= 5 9 ,所以数列 an- 3 5 是以a1-35=-245为首项,-19为 公比的等比数列。 因此,an- 3 5=- 2 45 · - 1 9 n-1 = 2 5 · - 1 9 n ,即an= 3 5+ 2 5 · - 1 9 n 。 (3)由全概率公式可得: P(Xn+1=2)=P(Xn=1)·P(Xn+1= 2|Xn=1)+P(Xn=2)·P(Xn+1=2|Xn= 2)+P(Xn=0)·P(Xn+1=2|Xn=0) = 23× 1 3 ·P(Xn=1)+ 13×1 · P(Xn=2)+0·P(Xn=0)。 故bn+1= 2 9an+ 1 3bn 。 又an= 3 5+ 2 5 · - 1 9 n ,所以bn+1= 1 3bn+ 2 9 3 5+ 2 5 - 1 9 n ,整 理 得 bn+1 - 1 5+ 1 5 - 1 9 n+1 = 1 3 bn- 1 5+ 1 5 - 1 9 n 。 又b1=P(X1=2)= 2 9 ,故b1- 1 5+ 1 5× - 1 9 = 29 - 15 - 145=0,bn - 15+ 1 5 - 1 9 n =0,即bn= 1 5- 1 5 - 1 9 n 。 所以E(Xn)=an+2bn+0×(1-an- bn)=an+2bn=1。 点评:本 题 第 二 问 由 全 概 率 公 式 得 到 an+1=- 1 9an+ 2 3 ,判断出数列 an- 3 5 是 以a1- 3 5=- 2 45 为首项,- 1 9 为公比的等比 数列即可求解;第三问先利用全概率公式求 出bn+1= 2 9an+ 1 3bn ,再由(2)求出bn= 1 5- 1 5 - 1 9 n ,进而求出E(Xn)。 (责任编辑 徐利杰) 13 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2024年6月