07 计数原理应用中的重复现象-《中学生数理化》高二数学2024年6月刊

计数原理应用中的重复现象 ■河南省漯河高级中学 秦晓燕 利用计数原理解决问题时,经常出现重 复计算、结果增多的现象。下面分析常见的 三种重复现象。 一、不分组引起的重复 例 1 (2020年全国Ⅱ卷)4名同学到 3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学 只去1个小区,每个小区至少安排1名同学, 则不同的安排方法共有 种。 解析:【方案一(错解)】 利用分步计数原理,分两步: 第一步,先从4名同学中选出3名排到3 个小区,有A34=24(种)排法; 第二步,再把剩下的1名同学分到3个 小区中的1个小区,有C13=3(种)方法。 所以不同的安排方法共有24×3=72(种)。 【方案二(正解)】 利用分步计数原理,分两步: 第一步,先取2名同学看作一组,选法有 C24=6(种),则其他2名同学分成2组,有1 种分法,所以把4名同学分成3组的不同分 法有6×1=6(种); 第二步,把第一步分好的3组同学分配 到3个小区,分法有A33=6(种)。 所以不同的安排方法共有6×6=36(种)。 对比发现,两种解决方案的结果不同,恰 好是两倍关系,错在哪? 先看方案一,把4名同学分别记为甲、 乙、丙、丁,3个小区记为A、B、C。 第一步,先从4名同学中选出3名安排 到3个小区,不妨设把甲、乙、丙分到了3个 小区,如表1所示。 表1 A 甲 B 乙 C 丙 第二步,再把剩下的1名同学分到3个 小区中的1个小区,不妨设同学丁分到了小 区A,如表2所示。 表2 A 甲丁 B 乙 C 丙 这种分法是把甲、丁2人分到了一组,且 都到了小区A。 那么就会出现另一种情况,第一步,先从 4名同学中选出3名排到3个小区,不妨设把 丁、乙、丙分到了3个小区,如表3所示。 表3 A 丁 B 乙 C 丙 第二步,再把剩下的1名同学分到3个 小区中的1个小区,不妨把同学甲分到了小 区A,如表4所示。 表4 A 丁甲 B 乙 C 丙 这种分法仍然是把甲、丁这2人分到了 一组,且都到了小区 A。这样就出现了去同 一个小区的2名同学先去、后去顺序不同,但 实质上去了同一个小区,属于一种情况,算式 中24×3=72,就出现了重复计算的情况,所 以方案一是错误的。我们可以通过除法消序 得到正确答案:有A 3 4C13 A22 =36(种)方法。 再看方案二,也分了两种情况,但是此方法 第一步采取的是先把4个同学分成3组,分组 没有顺序;第二步再把3组同学排到3个小区。 最终满足已知条件的方法共有36种。 总结提升:比较两个方案可以看出来,方案 二是正确的,先分组再排列,避免了去同一个小 区的2名同学先后到达引起的重复。 同类题型1:安排3名志愿者完成4项工 作,每人至少完成1项,每项工作由1人完 成,则不同的安排方式共有( )。 A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 解析:4项工作分成3组,有C24=6(种) 方法,安排3名志愿者完成4项工作,每人至 少完成1项,每项工作由1人完成,可得6× A33=36(种)方法。选D。 同类题型2:持续近半月的冷空气让某 市开启了“速冻”模式,某社区招募4名志愿 42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年6月 者到5个居民区进行支援,每个居民区安排1 人,且有1名志愿者被安排到了2个居民区, 则不同的安排方法共有( )。 A.60种 B.96种 C.240种 D.480种 解析:由题意,分两步进行安排:①将5 个居民区分为4组,其中有2个居民区由同 一名志愿者负责,其余3个居民区各由1名 志愿者负责,分组方法有C25=10(种);②将4 名志愿者安排到分好组的居民区,有A44=24 (种)方法。故不同的安排方法共有10×24 =240(种),选C。 二、平均分配引起的重复 例 2 (2020年新高考全国Ⅰ卷)6名 同学到甲、乙、丙三个场馆作志愿者,每名同 学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安 排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法 共有( )。 A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 解析:首先从6名同学中选1名去甲场 馆,方法有C16 种;然后从其余5名同学中选2 名去乙场馆,方法有C25 种;最后剩下的3名 同学去丙场馆。故不同的安排方法共有C16· C25=6×10=60(种)。选C。 根据此例题,看下面的变式。 【变式一】6名同学分成3组,每组都有2 名同学,则不同的分法共有( )种。 错解:先从6人中选出2人作为一组,再 从余下的4人中选出2人作为一组,最后余 下的2人作为一组,所以共有 C26C24C22=90 (种)方法。 正解:例2属于不同元素的不均分问题, 直接按要求先选后排,不易出错;变式一属于 典型的完全平均分配问题,6个人平均分成3 组,没有顺序,属于不同元素均分问题。 这里把6个人设为A、B、C、D、E、F,按 照C26C24C22=90(种)的 结 果 分 析,则(AB, CD,EF)这种分组方式是90种中的一种情 况,但 是 分 组 无 序。接 下 来 的(AB,EF, CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF, AB,CD),(EF,CD,AB)这五种分组方式跟 (AB,CD,EF)一样,属于一种分组方式。所 以按照C26C24C22=90(种)的方法写,结果重复 了,重复的情况就是把(AB,CD,EF)中的 AB,CD,EF 又全排了一遍,即重复了 A33 次。所以需要在原来的基础上除以A33,即正 确答案:有C 2 6C24C22 A33 =15(种)方法。 再求变式二中不同要求下的方法数。 【变式二】按以下要求分配6本不同的 书,各有几种方法? (1)平均分成3份,每份2本; (2)平均分配给甲、乙、丙3人,每人2本; (3)甲、乙、丙3人一人得1本,一人得2 本,一人得3本; (4)分成3份,一份1本,一份2本,一份 3本; (5)甲、乙、丙3人中,一人得4本,另外2 人每人得1本; (6)分成3份,一份4本,另2份每份1本; (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本。 解析:(1)由变式一可知,此题属于完全 平均分配问题,只是分组,所以无序,则不同 的方法数为 C26C24C22 A33 =15。 (2)这里是先把6本书完全平均分成3 组,然后再派给不同的3个人,分组无序,但 是后来派给3个人有顺序,所以不同的方法 数为 C26C24C22 A33 A33=C26C24C22=90。 (3)此题不属于平均分配问题,按正常的先 选后排即可,不同的方法数为C16C25C33A33=360。 (4)由(3)可知,此题不属于平均分配问 题,只 需 要 选,不 用 排,不 同 的 方 法 数 为 C16C25C33=60。 (5)此题属于部分均分问题,先把6本书 按照4+1+1的方式分组,分组无序,分组的 方法数为 C46C12C11 A22 =C46,再把这3组派给3个 人,所以不同的方法数为C46A33=90。 (6)由(5)可知,此处只需要分成3组,所 以不同的方法数为C46=15。 (7)此题属于部分均分问题,但是题目中 要求比较严格,甲得1本,乙得1本,丙得4 52 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年6月 本,3个人所得本数固定,所以有C16C15C44=30 (种)方法。也可以按照 C46 C12C11 A22 A22=30计 算,或者按C 1 6C15 A22 A22C44=30计算,其结果都是 一样的。 总结提升:平均分配问题分为两种:一是 完全均分,二是不完全均分。如果仅仅是分 组,那么只需要利用除法就可以消序,均分成 n组,就除以Ann(n∈N*)。 同类题型:我国是由56个民族组成的统 一的多民族国家,每个民族都有自己独特的 民俗风情。某校高二年级的历史研学课,历 史老师准备带8个班去湖南的凤凰古城、常 德桃花源、通道皇都侗寨、永顺老司城、芙蓉 古镇进行历史与民俗风情研学。要求每个景 点至少有1个班去,且每个景点至多有2个 班去,则不同的分法种数是 。 解析:由题意可知,这5个景点中有3个 景点各有2个班去,有2个景点各有1个班 去。先分组,将8个班分成5组,有 C28C26C24C12 A33A22 =420(种)分法;再排列,将5组分别排到5 个景点中去,有 A55=120(种)排法。所以不 同的分法种数是420×120=50 400。 三、相同元素的分配引起的重复 例 3 有10个运动员名额,分给7个 班,每班至少一个,有多少种分配方案? 错解:先发给7个班级各1个名额,然后 把余下的3个名额分给7个班中的3个班, 每个班都有可能得到,故有C71073 种方案。 此法错误的原因是:没有搞清楚运动员 名额属于相同元素,不用区分。 正解:(方法一) 利用分类计数原理,先 把10个名额分成7组,共有三类:4+1+1+ 1+1+1+1;3+2+1+1+1+1+1;2+2+ 2+1+1+1+1。 因为名额属于相同元素,但是班级不同, 所以满足题意的方法数为C17+A27+C37=7+ 42+35=84(种)。 (方法二,隔板法) 10个相同名额用 “1”表示,列为一排,相邻两个“1”之间就会产 生9个空,然后插入6个板子把它们隔开,这 样就把10个名额分成7份,有C69=84(种)方 法。故有10个运动员名额,分给7个班,每 班至少一个,有84种分配方案。 总结提升:上面的两种方法,第一种属于 常规方法,第二种属于模型转换,显然第二种 简单,所以最好用隔板法处理相同元素的分 配问题。 同类题型1:10个相同的球装到5个不 同的盒中,每盒至少一个,有多少种装法? 解析:把10个球排成一行,中间产生了9 个空位,要把球分成5份,需要拿4个隔板放 到9个空位中的4个中去,共有C49=126(种) 方法。 同类题型2:已知x+y+z+w=100,求 这个方程的自然数解的组数。 解析:把104个火柴杆排成一排,那么这 104个火柴之间有103个空,在这103个空里 面任意选3个空分别插入一个挡板,这样3 个挡板就把104根火柴分成4堆。不妨把从 左到右4堆火柴的个数分别记为a,b,c,d, 那么每一种挡板的放置方法对应一组a、b、 c、d 的数值,且a+b+c+d=104,而挡板的 放置方法有C3103=176 851(种)。 所以方程a+b+c+d=104有176 851 组正整数解。而此题求的是自然数解,若 a+b+c+d=104,则(a-1)+(b-1)+ (c-1)+(d-1)=100。 令a-1=x,b-1=y,c-1=z,d-1= w,则每一组a、b、c、d 的值对应一组x、y、z、 w 的值,且x+y+z+w=100。 因此,x+y+z+w=100这个方程的自 然数解的组数是176 851。 在处理计数原理应用中的问题时,为了 避免这些重复现象,我们需要认真审题,做到 三条:(1)搞清楚所给问题属于相同元素的分 配问题还是不同元素的分配问题;(2)属于平 均分配问题还是非平均分配问题;(3)利用分 类计数原理还是利用分步计数原理。根据题 目的不同要求选择不同的处理方案。 (责任编辑 徐利杰) 62 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年6月