06 例说二项展开式的通项公式应用-《中学生数理化》高二数学2024年6月刊

■湖北省巴东县第三高级中学 廖庆伟 二项展开式的通项及有关多项式展开问 题,是近几年高考的热点。 一、形如(a±b)n 例 1 (2023·浙江长兴中学期中) 3x- 1 x 4 的展开式中常数项为 。(用 数字作答) 解析:3x- 1 x 4 的 展 开 式 的 通 项 为 Tk+1 =Ck4 · (3x)4-k · - 1 x k =Ck4 · (-1)k·34-k·x4-2k。令4-2k=0,得k=2。 所以 3x- 1 x 4 的展开式的常数项为 C24·(-1)2·32=54。 例 2 (2023·上海嘉定期中)在二项 式(2+x)13 的展开式中,系数为无理数的 项有 个。 解析:二项式(2+x)13 的展开式的通 项为Tr+1=Cr13·(2)13-r·xr(其中0≤r≤ 13且r∈N),所以当13-r为奇数,即当r= 0,2,4,6,8,10,12时,系数为无理数,故系数 为无理数的项有7个。 例 3 若 3x-1x n 的展开式的二项 式系数之和为16,则 3x+ 1 x 2n 的展开式中 1 x4 的系数为 。 解析:由 3x- 1 x n 的展开式的二项式 系数之和为16,得2n=16,所以n=4。 则 3x+ 1 x 8 的展开式的通项公式为 Tr+1=Cr8· 3x 8-r· 1x r =Cr8·x 8-4r 3 。令 8-4r 3 =-4 ,解得r=5。故 3x+ 1 x 2n 的 展开式中 1 x4 的系数为C58=56。 例 4 (2023·上海宜川中学期中)二 项式(x-1)7 的展开式中,系数最大的项为 。 解析:(x-1)7 的展开式的通项公式为 Tr+1=Cr7·x7-r·(-1)r,0≤r≤7且r为整 数。 要想系数最大,则r 为偶数,其中 T1= C07·x7·(-1)0=x7,T3=C27·x5·(-1)2 =21x5,T5=C47·x3·(-1)4=35x3,T7= C67·x·(-1)6=7x。 显然系数最大的项为T5=35x3。 例 5 (2023·湖南雅礼中学检测)若 a>1,则 2x- a x 6 的展开式中x4 系数的取 值范围为( )。 A.(192,+∞) B.(-∞,192) C.(-192,+∞) D.(-∞,-192) 解析:2x- a x 6 的展开式中x4 的系数 为C16·25·(-a)=-192a。 因为a>1,所以-192a<-192。 故选D。 例 6 (1+2 x)6+(1- 3x)5 的展开 式中x 的系数为 。 解析:因为(1+2 x)6 的展开式的通项 公式为Tr+1=Cr6·(2 x)r=2r·Cr6·x r 2, 0≤r≤6,r∈N,所以(1+2 x)6 的展开式中 22 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年6月 x 的系数为22·C26=60。 因为 1- 3x 5 的展开式的通项公式为 Tk+1=Ck5·(- 3x)k=(-1)k·Ck5·x k 3,0≤ k≤5,k∈N,所以(1- 3x)5 的展开式中x 的 系数为(-1)3·C35=-10。 故(1+2 x)6+(1- 3x)5 的展开式中 x 的系数为60-10=50。 评注:求(a±b)n 的二项展开式中的特 定项步骤如下。 第一步,利用二项式定理写出二项展开 式的通项Tk+1=Ckn·an-k·(±b)k,常把字 母和系数分离开(注意符号不要出错); 第二步,根据题目中的相关条件(如常数 项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先 列出相应方程(组)或不等式(组),再解出k; 第三 步,把 k 代 入 通 项 中,即 可 求 出 Tk+1,有时还需要先求n,再求k,才能求出 Tk+1 或者其他量。 二、形如(a+b+c)n 例 7 (x2+x+y)5 的展开式中x5y2 的系数为 。 解析:(方法一)(x2+x+y)5=[(x2+ x)+y]5,含y2 的项为T3=C25·(x2+x)3· y2,其中(x2+x)3 中含x5 的项为C13·x4· x=C13·x5。 所以x5y2 的系数为C25·C13=30。 (方法二)(x2+x+y)5 表示5个因式 (x2+x+y)之积。 所以x5y2 可从2个因式中取x2,剩余 的3个因式中1个取x,其余2个因式取y, 因此x5y2 的系数为C25·C13·C22=30。 例 8 (2023·山西太原质检) 1+ 1 x-x 5 的展开式中, x3 项的系数为 。 解析:(方法一)1+ 1 x-x 5 的展开式 的通项为Tr+1=Cr5· 1 x-x r ,r=0,1,…, 5。对于 1x-x r ,Tm+1=Cmr · 1 x r-m · (-x)m=(-1)m·Cmr ·x2m-r,m=0,1,…, r。 令2m-r=3,则当m=3时,r=3,含x3 项的系数为C35(-1)3C33=-10;当m=4时, r=5,含x3 项的系数为C55(-1)4C45=5。 所以展开式中含x3 项的系数为-10+5 =-5。 (方法二)1+ 1 x-x 5 的展开式中出现 x3 有两种情况: 第一种是选出3项-x 和2项1相乘; 第二种是选出4项-x 和1项 1 x 相乘。 所以展开式中含有x3 项有C35·(-x)3· 12=-10x3 和C45·(-x)4· 1 x 1 =5x3,故 x3 项的系数为-10+5=-5。 评注:求(a+b+c)n 型展开式中问题的 方法如下。 (1)因式分解法:将三项式利用因式分解 变化为两个二项式,然后用二项式定理求解 问题。 (2)逐层展开法:将三项式分成两组,用 二项式定理展开,再把其中含二项式的项展 开,从而求解问题。 (3)组合知识法:把(a+b+c)n 看成n 个(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的构 成。 三、形如(a±b)n(c±d)m 例 9 x-x 2 y (x+2y)5 的展开式中 x2y4 的系数为( )。 A.24 B.36 C.48 D.72 解析:已知 x- x2 y (x+2y)5=x(x+ 2y)5- x2 y (x+2y)5,可得(x+2y)5 的展开 式的通项为Tr+1=Cr5·x5-r·(2y)r=2r· Cr5·x5-r·yr。 令r=4,可得x2y4 的系数为24·C45= 80;令r=5,可得x2y4 的系数为-25·C55= -32。故展开式中x2y4 的系数为80-32= 48,选C。 (责任编辑 徐利杰) 32 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年6月