02 浅议二项分布与超几何分布的区别和联系-《中学生数理化》高二数学2024年6月刊

■贵州省仁怀市周林高中 尹伟云 二项分布和超几何分布是两个重要且应 用广泛的概率模型,许多实际问题常利用这 两个概率模型来解决。如何区分这两个概率 模型并理解它们的关联性呢? 下面就此问题 进行阐述,希望对同学们的学习有所帮助。 一、二项分布 1.二项分布的定义 在n次独立重复试验中,用X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件A 发生的 概率为p,则 P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k, k=0,1,2,…,n,二项分布记作 X~B(n, p),其中 p 为成功概率。当试验次数为1 时,二项分布服从0~1分布,即两点分布。 如抛硬币一次,正面向上的次数 X 服从两点 分布。 2.二项分布的特点 ①二项分布是可放回抽样,并且考虑事 件在n次试验中发生的顺序; ②在每次试验中只有两种可能的结果, 每次试验中事件的发生与其他各次试验结果 无关,事件发生与否的概率在每一次独立试 验中都保持不变,即各次试验中的事件相互 独立; ③某事件在每次试验中发生的概率相 等。 3.二项分布的数学期望与方差 二项分布的数学期望E(X)=np,方差 D(X)=npq,其中q=1-p。 证 明:由 kCkn =nCk-1n-1,得 E (X)= ∑ n k=0 kCknpkqn-k = ∑ n k=1 npCk-1n-1pk-1q (n-1)-(k-1) = np∑ n-1 k=0 Ckn-1pkq (n-1)-k=np(p+q)n-1=np,即 E(X)=np。 D(X)=∑ n k=0 [k-E(X)]2P(X=k)= E(X2)-[E(X)]2=∑ n k=0 k2Cknpkqn-k-(np)2= ∑ n k=0 [k(k-1)+k]Cknpkqn-k-(np)2=∑ n k=2 k(k-1)· Cknpkqn-k+np - (np)2 =n(n -1)· p2∑ n k=2 Ck-2n-2pk-2qn-k+np-(np)2 = n2p2 - np2+np-n2p2=npq。 例 1 为了“大幅提升网速”等重点工 作的推进力度,某市移动通信公司对部分5G 手机用户每日使用流量(单位:M)进行统计, 得到的数据如表1所示。 表1 流量(x)0≤x<55≤x<1010≤x<1515≤x<2020≤x<25 频率 0.05 0.25 0.30 0.25 0.15 将手机日使用流量统计到各组的频率视 为概率,并假设每天手机日使用流量相互独 立。 (1)求某人在未来连续4天里,有连续3 天的手机日使用流量都不低于15 M,且另1 天的手机日使用流量低于5 M的概率; (2)用X 表示某人在未来3天时间里手 9 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年6月 机日使用流量不低于15 M 的天数,求 X 的 分布列和期望。 解析:(1)记A1 表示事件“日使用流量不 低于15 M”,A2 表示事件“日使用流量低于 5 M”,B 表示事件“在未来连续4天里有连 续3天日使用流量不低于15 M 且另1天日 使用流量低于5 M”,则P(A1)=0.25+0.15 =0.40,P(A2)=0.05,所以P(B)=0.4× 0.4×0.4×0.05×2=0.006 4。 (2)X 可能取值为0,1,2,3,其概率分别 为 P(X=0)=C03·(1-0.4)3=0.216, P(X=1)=C13·0.4·(1-0.4)2=0.432, P(X=2)=C23·0.42·(1-0.4)=0.288, P(X=3)=C33·0.43=0.064。 X 的分布列如表2所示。 表2 X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 因为X~B(3,0.4),所以期望E(X)= 3×0.4=1.2。 评注:当题目中出现“将频率视为概率” 等字样时,往往说明概率近似不变,可看作二 项分布。二项分布是针对独立重复事件而言 的,某一事件在每次独立重复试验中发生的 概率都相同,这是二项分布的本质。 二、超几何分布 1.超几何分布的定义 假设一批产品共有 N 件,其中含有 M 件次品,从N 件产品中随机抽取n 件,用 X 表示抽取的n 件产品中的次品数,则事件 “X=k”发生的概率P(X=k)= CkMCn-kN-M CnN ,其 中k=m,m+1,m+2,…,r,且n,M,N∈ N*,n≤N,M≤N,m=max{0,n-(N- M)},r=min{M,n}。 X 的分布列如表3所示。 表3 X m m+1 … r P CmMC n-m N-M CnN Cm+1M C n-(m+1) N-M CnN … C r MC n-r N-M CnN 该分布为超几何分布。超几何分布记作 X~H(N,n,M),其参数是n,M,N。 2.超几何分布的特点 超几何分布描述了由有限的 N 个个体 的总体中抽出n 个个体,抽出指定种类的 X 个个体(不归还),超几何分布的特点: ①超几何分布的模型是不放回抽样,不 需考虑个体的抽取顺序; ②某事件在每次试验中发生的概率不相 等。 3.超几何分布的数学期望与方差 超几何分布的数学期望为E(X)=n· M N ,当 N=1时,方差 D(X)=0,当 N≥2 时,方 差 D (X)=n· M N · 1- M N · 1- n-1 N-1 。 证明:由数学期望的定义,得 E(X)= ∑ r k=m k CkMCn-kN-M CnN = M CnN ·∑ r k=m Ck-1M-1Cn-kN-M = M CnN Cn-1N-1 =n· M N 。 当N=1时,N=M=n=1,D(X)=0。 当N≥2时,D(X)=E(X2)-[E(X)]2 =∑ r k=m k2 CkMCn-kN-M CnN - nMN 2 = M CnN ∑ r k=m kCk-1M-1Cn-kN-M- nM N 2 = M CnN ∑ r k=m Ck-1M-1Cn-kN-M + M CnN ∑ r k=m (k-1)· Ck-1M-1Cn-kN-M- nM N 2 = M CnN [Cn-1N-1+(M-1)Cn-2N-2]- nM N 2 = nM N 1- M N 1-n-1N-1 。 由以上结论可知,若 X 服从超几何分 布,则p= M N 是N 件产品的次品率, X n 是抽 取n 件产品的次品率,所以 E Xn =p,即 E(X)=np,这与二项分布的期望类似;当 N 远大于n 时, n-1 N-1 接近0,D(X)接近 nM N · 01 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年6月 1- M N ,即D(X)→npq,这与二项分布的 方差类似。 例 2 自由购是通过自助结算方式购 物的一种形式。某大型超市为调查顾客使用 自由购的情况,随机抽取了100人,统计结果 如表4所示。 表4 年龄 20以下 [20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70] 使用人数 3 12 17 6 4 2 未使用人数 0 0 3 14 36 3 (1)现随机抽取1名顾客,试估计该顾客 年龄在[30,50)且未使用自由购的概率。 (2)从被抽取的年龄在[50,70]使用自由 购的顾客中,随机抽取3人进一步了解情况, 用X 表示这3人中年龄在[50,60)的人数, 求随机变量X 的分布列及数学期望。 (3)为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对 使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋。若 某日该超市预计有5 000人购物,试估计该 超市当天至少应准备多少个环保购物袋。 解析:(1)在随机抽取的100名顾客中, 年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+ 14=17(人),所以随机抽取1名顾客,估计该 顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率 P= 17 100 。 (2)X 所 有 可 能 的 取 值 为 1,2,3。 P(X=1)= C14C22 C36 = 1 5 ,P(X=2)= C24C12 C36 = 3 5 ,P(X=3)= C34C02 C36 = 1 5 。 X 的分布列如表5所示。 表5 X 1 2 3 P 15 3 5 1 5 所以X 的数学期望E(X)=1× 1 5+2× 3 5+3× 1 5=2 。 (3)在随机抽取的100名顾客中,使用自 由购的有3+12+17+6+4+2=44(人)。 所以估计该超市当天至少应准备环保购 物袋的个数为 44 100×5 000=2 200。 评注:超几何分布的适用条件是,研究对 象含有两类,且已知这两类的个体数,求抽取 对象中含其中某类个体数的概率分布,其本 质是无放回抽样,某一事件在每次试验中发 生的概率是不同的。 三、二项分布与超几何分布的区别 (1)在超几何分布中,每次不需考虑元素 抽取的先后顺序,而二项分布需要考虑元素 在n次试验中抽取的先后顺序。 (2)超几何分布往往是无放回抽取,而二 项分布往往是可放回抽取。 (3)超几何分布需要知道总体的容量,而 二项分布不需要。当总体容量较大时,常常 是面对个体数未知的总体进行调查、分析、估 计,面对的是大量个体,抽取少量个体时,每 次抽到某类个体的概率近似相等,这往往是 二项分布;当总体容量不多时,某类个体被抽 到的概率差异明显,往往是超几何分布。所 以,在超几何分布中,每做一次试验,下一次 再发生同一事件的概率已经发生了改变;在 二项分布中,每做一次试验,下一次再发生同 一事件的概率不变。 例 3 在2024年元旦期间,某实体百 货店铺向外公开举办商品促销活动,在全场 商品中,顾客只要愿意消费满400元,即可在 下列两个方案中任选一种抽奖一次。 方案①:A 号抽奖箱内装有形状、大小、 重量完全一样的1个红球和4个白球,每名 抽奖顾客从中有放回地随机摸出2个球。中 奖规则为:每摸出1个红球,减免200元。 方案②:B 号抽奖箱内装有形状、大小、重 量完全一样的2个红球和8个白球,每名抽奖 顾客从中无放回地随机摸出2个球,中奖规则 为:若摸出2个红球,则享受免费优惠;若摸出 1个红球,1个白球,则按原价的5折优惠;若 摸出2个白球,则抵扣现金100元。 (1)若某顾客恰好消费400元,选择抽奖 11 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年6月 方案①,求该顾客实际支付现金的分布列和 期望。 (2)若某顾客消费600元,请从实付金额 的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方案更划 算。 解析:(1)设实付金额为X 元,则X 的可 能取值为0,200,400。 则P(X=0)= 15 2 = 1 25 ,P(X=200) =C12· 1 5 · 4 5 =825,P(X=400)= 45 2 = 16 25 。 X 的分布列如表6所示。 表6 X 0 200 400 P 125 8 25 16 25 所以E(X)=0× 1 25+200× 8 25+400× 16 25=320 (元)。 (2)若选方案①,设摸到红球的个数为 Y,实付金额为η,则η=600-200Y。 由题意得Y~B 2, 1 5 ,故E(Y)=2× 1 5= 2 5 ,所以E(η)=E(600-200Y)=600- 200E(Y)=600-80=520(元)。 若选方案②,设实付金额为ξ,则ξ的可 能取值为0,300,500。 则P(ξ=0)= C22 C210 = 1 45 ,P(ξ=300)= C12·C18 C210 = 16 45 ,P(ξ=500)= C28 C210 = 28 45 。 ξ的分布列如表7所示。 表7 ξ 0 300 500 P 145 16 45 28 45 所以E(ξ)=0× 1 45+300× 16 45+500× 28 45≈418 (元)。 因为E(η)>E(ξ),所以选择方案②更 划算。 评注:本题中超几何分布是无放回抽取, 而二项分布是可放回抽取(独立重复)。在二 项分布中,随机变量X 的最小值为0,最大值 为样本容量n,而超几何分布中随机变量 X 的取值中不一定含0,也不一定含n。比如, 从装有4个黑球和2个白球的袋子中,无放 回地抽取3个,则其中含黑色球 X 服从超几 何分布,且X=1,2,3;从装有2个黑球和4 个白球的袋子中,无放回地任取3个,则其中 含黑色球X 服从超几何分布,且 X=0,1,2; 从装有2个黑球和2个白球的袋子中,无放 回地任取3个,则其中含黑色球 X 服从超几 何分布,且X=1,2。 四、二项分布与超几何分布的联系 例 4 某批n件产品的次品率为2%, 现从中任意地抽出3件进行检验。计算:当 n=100,n=1 000,n=10 000时,分别以放回 和不放回的方式抽取,恰好抽到1件次品的 概率各是多少? 解析:①当有放回地抽取时,次品数X~ B(3,0.02),P(X=1)=C13·0.021·(1- 0.02)2=0.057 624。 ②若无放回地抽取,X 服从超几何分布。 当n=100 时,P(X =1)= C12C298 C3100 ≈ 0.058 788。 当n=1 000时,P(X=1)= C120C2980 C31 000 ≈ 0.057 738。 当n=10 000时,P(X=1)= C1200C29 800 C310 000 ≈ 0.057 635。 评注:综上可知,当产品总数很大而抽出 的产品较少时,每次抽出产品后,次品率近似 不变。当抽出产品数一定时,随着产品总数 的增加,超几何分布逐步接近二项分布。这 样就可以近似看成每次抽样的结果是相互独 立的,抽出产品中的次品件数近似服从二项 分布。 (责任编辑 徐利杰) 21 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年6月