01 非线性回归常用模型-《中学生数理化》高二数学2024年6月刊

■甘肃省白银市第一中学 胡贵平 y 和x 具有相关关系,但不是线性相关 关系,称为非线性相关关系,所得到的方程称 为非线性回归方程。一般地,非线性回归方 程的曲线类型可以通过作出散点图进行猜 测,而回归方程有时可以通过变量替换后,借 助求回归直线的方程确定。 模型一 y=c1ec2x,其中c1,c2 为常数 将 y=c1ec2x 两 边 取 对 数,得ln y= ln(c1ec2x)=ln c1+c2x,令 z=ln y,a= ln c1,b=c2,则非线性回归方程可化为线性 回归直线方程z=bx+a。 图1 例 1 现 在,5G 的到来给人们的生活带 来更加颠覆性的变革, 某IT公司基于领先技 术的支持,5G经济收入 在短期内逐月攀升,该 IT公司在1月份至6 月份的5G经济收入y(单位:百万元)关于月 份x 的数据如表1所示,并根据数据绘制了 如图1所示的散点图。 表1 月份x 1 2 3 4 5 6 收入y(百万元)6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0 (1)根据散点图,判断y=ax+b与y= c·edx(a,b,c,d 均为常数)哪一个更适宜作 为5G经济收入y 关于月份x 的回归方程类 型。(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的结果及表中的数据,求出 y 关于x 的回归方程,并预测该公司7月份 的5G经济收入。(结果保留小数点后两位) (3)从前6个月的收入中抽取2个,记收 入超过20百万元的个数为 X,求 X 的分布 列和数学期望。 参考数据如表2所示。 表2 x y u ∑ 6 i=1 (xi-􀭺x) 2 ∑ 6 i=1 (xi-􀭺x)· (yi-􀭵y) ∑ 6 i=1 (xi-􀭺x)· (ui-􀭵u) e1.52e2.66 3.5021.152.85 17.50 125.35 6.73 4.5714.30 其中,设u=ln y,ui=ln yi(i=1,2,3, 4,5,6)。 参考公式:对于一组具有线性相关关系的 数据(xi,vi)(i=1,2,3,…,n),其回归直线 v̂=̂βx+̂α的斜率和截距的最小二乘估计公式 分别为β̂= ∑ n i=1 (xi-􀭵x)(vi-􀭵v) ∑ n i=1 (xi-􀭵x)2 ,̂α=􀭵v-̂β􀭵x。 解析:(1)根据散点图,判断y=cedx 更 适宜作为5G经济收入y 关于月份x 的回归 方程类型。 (2)因为y=cedx,所以两边同时取自然 对数,得ln y=ln c+dx。 设u=ln y,则u=ln c+dx。 因为 􀭺x=3.50,􀭵u=2.85,所 以 d̂= ∑ 6 i=1 (xi-􀭺x)(ui-􀭵u) ∑ 6 i=1 (xi-􀭺x)2 = 6.73 17.50≈0.38 。 因此,ln c=􀭵u-̂d􀭺x≈2.85-0.38×3.50 =1.52。 所以û=1.52+0.38x,即ln ŷ=1.52+ 3 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年6月 0.38x,̂y=e1.52+0.38x。 令x=7,得ŷ=e1.52+0.38×7=e1.52×e2.66≈ 4.57×14.30≈65.35,故预测该公司7月份 的5G经济收入大约为65.35百万元。 (3)前6个月的收入中,收入超过20百 万元的有3个,所以X 的可能取值为0,1,2。 P(X=0)= C23 C26 = 1 5 ,P(X=1)= C13C13 C26 = 3 5 ,P(X=2)= C23 C26 = 1 5 。 X 的分布列如表3所示。 表3 X 0 1 2 P 15 3 5 1 5 所以E(X)=0× 1 5+1× 3 5+2× 1 5=1 。 模型二 y=kcx+d,其中k,c,d为常数 此为模型一的变式,多了常数项部分,将 y=kcx+d 变形为y-d=kcx,再两边取对 数,得ln(y-d)=ln k+xln c(具体取什么 对数观察参考数据,自然对数和常用对数用 得较多)。令ln(y-d)=z,ln k=a,ln c= b,则非线性回归方程可化为线性回归直线方 程z=bx+a。 例 2 中国茶文化博大精深,饮茶深受 大众喜爱,茶水的口感与茶叶类型和水的温 度有关,某数学建模小组为了获得茶水温度 y(单位:℃)关于时间x(单位:min)的回归方 程模型,通过试验收集在25 ℃室温,用同一 温度的水冲泡的条件下,茶水温度随时间变 化的7组数据,并对数据进行初步处理得到 如图2所示散点图及如表4所示数据。 图2 表4 y w ∑ 7 i =1 (xi-x)(yi-y) ∑ 7 i =1 (xi-x)(wi-w) 73.53.85 -95 -2.24 其中,wi=ln(yi-25),w= 1 7∑ 7 i =1 wi。 (1)根据散点图判断①y=a+bx 与②y =d·cx+25哪一个更适宜作为该茶水温度 y 关于时间x 的回归方程类型(给出判断即 可,不必说明理由),请根据你的判断结果及 表中数据建立该茶水温度y 关于时间x 的回 归方程; (2)已知该茶水温度降至60 ℃口感最 佳,根据(1)中的回归方程,求在相同条件下 冲泡的茶水,大约需要放置多长时间才能达 到最佳饮用口感。 附:(1)对于一组数据(x1,y1),(x2,y2), …,(xn,yn),其回归直线y=̂α+̂βx 的斜率 和截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为 β̂ = ∑ n i =1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i = 1 (xi-x)2 ,̂α=y-̂βx。 (2)参考数据:e-0.08 ≈0.92,e4.09 ≈60, ln 7≈1.9,ln 3≈1.1,ln 2≈0.7。 解析:(1)由散点图知,更适宜的回归方 程为②,即y=d·cx+25。 由y=d·cx+25,得y-25=d·cx,两 边取自然对数,得ln(y-25)=ln d+xln c。 令w=ln(y-25),则w=ln d+xln c。 x= 1 7 ∑ 7 i = 1 xi= 0+1+2+3+4+5+6 7 = 3,∑ 7 i = 1 (xi-x)2=(-3)2+(-2)2+(-1)2+ 12+22+32=28。 结 合 表 中 数 据, 得 ln c = ∑ 7 i = 1 (xi-x)(wi-w) ∑ 7 i = 1 (xi-x)2 = -2.24 28 =-0.08 ,结合 参考数据可得c=e-0.08≈0.92。 由ln d=w -xln c=3.85-3× (-0.08)=4.09,得d=e4.09≈60。 所以茶水温度y 关于时间x 的回归方程 为ŷ=60×0.92x+25。 4 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年6月 (2)依题意知,25 ℃室温下,茶水温度降 至60 ℃口感最佳。 即60=60×0.92x+25,整理得xln 0.92= ln 60-25 60 。 于是xln 0.92=ln 7-2ln 2-ln 3≈ -0.6,解得x≈ -0.6 -0.08=7.5 。 所以在相同条件下,刚泡好的茶水大约 需要放置7.5 min才能达到最佳饮用口感。 模型三 y=bln x+a,其中a,b为常数 在y=bln x+a 中,令ln x=t,则非线 性回归方程可化为线性回归直线方程y= bt+a。 例 3 《中共中央国务院关于全面推进 乡村振兴加快农业农村现代化的意见》是21 世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号 文件。文件指出,民族要复兴,乡村必振兴,要 大力推进数字乡村建设,推进智慧农业发展。 某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产 品销售,众多网红主播参与到直播当中,在众 多网红直播中,统计了10名网红直播的观看 人次xi 和农产品销售量yi(i=1,2,3,…,10) 的数据,得到如图3所示的散点图。 图3 (1)利用散点图,判断ŷ=̂a+̂bx 和ŷ= ĉ+̂dln x 哪一个更适合作为观看人次x 和 销售量y 的回归方程类型。(只要给出判断 即可,不必说明理由) (2)对数据进行处理,得到相关统计量的 值如表5所示。 表5 x y ω ∑ 10 i=1 (xi-􀭺x) 2 ∑ 10 i=1 (ωi-ω) 2 ∑ 10 i=1 (xi-x)· (yi-y) ∑ 10 i=1 (ωi-ω)· (yi-y) 9.430.3 2 366 6.6 439.2 66 其中,ωi=ln xi,ω= 1 10∑ 10 i=1 ωi。 根据(1)的判断结果及表中数据,求y (单位:千件)关于x(单位:十万次)的回归方 程,并预测当观看人次为280万人时的销售 量。 参考数据:ln 2≈0.69,ln 7≈1.95。 参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2, v2),…,(un,vn),其回归直线v̂=̂α+̂βu 的斜 率和截距的最小二乘估计公式分别为:̂β= ∑ n i=1 (ui-u)(vi-v) ∑ n i=1 (ui-u)2 ,̂α=v-̂βu。 解析:(1)由散点图可知,散点分布在一 条对数型曲线附近,所以选择回归方程ŷ= ĉ+̂dln x 更适合。 (2)令ω=ln x,则ŷ=̂c+̂dω。 因为∑ 10 i=1 (ωi-ω)(yi-y)=66,∑ 10 i=1 (ωi- ω)2=6.6,所以 d̂= ∑ 10 i=1 (ωi-ω)(yi-y) ∑ 10 i=1 (ωi-ω)2 = 66 6.6=10 。 又因为y=30.3,ω=2,所以ĉ=y-̂dω =30.3-10×2=10.3。 所以 y 与ω 的 线 性 回 归 方 程 为 ŷ= 10.3+10ω,故y 关于x 的回归方程为ŷ= 10.3+10ln x。 令 x=28,代 入 回 归 方 程 可 得 ŷ= 10.3+10ln 28=10.3+10×(2ln 2+ln 7)≈ 43.6(千件)。 所以预测观看人次为280万人时的销售 量约为43 600件。 模型四 y=ln(bx+a),其中a,b为常数 两边同时消掉对数(取什么底数,判断方 法同上),取ey=bx+a,令ey=w,则非线性 回归方程可化为线性回归直线方程w=bx+ a。 例 4 某新能源汽车公司对其产品研 发投资额x(单位:百万元)与其月销售量y (单位:千辆)的数据进行统计,得到表6中的 数据和散点图(图4)。 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年6月 图4 表6 x(千辆) 1 2 3 4 5 y(百万元) 0.69 1.61 1.79 2.08 2.20 (1)通过分析散点图的特征后,计划用 y=ln(bx+a)作为月销售量y 关于产品研 发投资额x 的回归分析模型,根据统计表和 参考数据,求出y 关于x 的回归方程。 (2)公司决策层预测当投资额为11百万 元时,决定停止产品研发,转为投资产品促销。 根据以往的经验,当投资11百万元后对产品 进行促销,月销售量ξ的分布列如表7所示。 表7 ξ 3 4 5 P 32p 2 p p+ 1 6 结合回归方程和ξ的分布列,试问公司 的决策是否合理。 参 考 公 式 及 参 考 数 据:b̂ = ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 = ∑ n i=1 xiyi-nx·y ∑ n i=1 x2i-nx2 ,̂a= y-̂bx,ln 7≈1.95。 表8 y 0.69 1.61 1.79 2.08 2.20 ey(保留整数) 2 5 6 8 9 解析:(1)已知y=ln(bx+a),令z= bx+a,则z=ey。 由题意得x= 1 5 (1+2+3+4+5)=3, z= 1 5 (2+5+6+8+9)=6。 则b̂= ∑ 5 i=1 xizi-5x·z ∑ 5 i=1 x2i-5x2 = 107-5×3×6 55-5×9 = 17 10=1.7 ,̂a=z-̂bx=6-1.7×3=0.9。 所以ẑ=1.7x+0.9,回归方程为 ŷ= ln(1.7x+0.9)。 (2)当x=11时,̂y=ln(1.7×11+0.9) =ln 19.6=ln 2×49 5 =ln 2+2ln 7-ln 5= 2.98。 因为 3 2p 2+p+p+ 1 6=1 ,且0<p<1, 所以p= 1 3 。 E(X)=3× 1 6+4× 1 3+5× 1 2= 13 3> 2.98,所以公司的决策合理。 模型五 y=c1x2+c2,其中c1,c2 为常数 在y=c1x2+c2 中,令t=x2,c1=b, c2=a,则非线性回归方程可化为线性回归直 线方程y=bt+a。 例 5 某乡政府为提高当地农民收入,指 导农民种植药材,取得较好的效果。表9是某农 户近5年种植药材的平均收入的统计数据。 表9 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 4 5 平均收入y(千元) 59 61 64 68 73 (1)根据表中数据,现有y=a+bx 与y =c+dx2 两种模型可以拟合y 与x 之间的 关系,请分别求出两种模型的回归方程。(结 果保留一位小数) (2)统计学中常通过比较残差的平方和 来比较两个模型的拟合效果,请根据残差平 方和说明上述两个方程哪一个拟合效果更 好,并据此预测2024年该农户种植药材的平 均收入。 参考数据及公式:∑ n i=1 (ti-t)(yi-y)= 217,∑ n i=1 (ti-t)2=374,其 中ti=x2i,̂b= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 ,̂a=y-̂bx。 解析:(1)根据农户近5年种植药材的平 均收入情况的统计数据可得: 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年6月 x= 1 5 (1+2+3+4+5)=3,y= 1 5 (59+ 61+64+68+73)=65。 所以∑ 5 i=1 (xi-x)(yi-y)=35,∑ 5 i=1 (xi- x)2=10。 则b̂= ∑ 5 i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ 5 i=1 (xi-x)2 = 35 10=3.5 , â=y-̂bx=65-3.5×3=54.5。 设t=x2,则y=c+dx2=c+dt,所以 t= 1 5 (12+22+32+42+52)=11。 则d̂= ∑ 5 i=1 (ti-t)(yi-y) ∑ 5 i=1 (ti-t)2 = 217 374≈0.6 , ĉ=y-̂dt=65-0.6×11=58.4。 因此,两种模型的回归方程分别为y= 3.5x+54.5,y=0.6x2+58.4。 (2)回归方程为y=3.5x+54.5时,将x 值代入可得估计值分别为58,61.5,65,68.5, 72,则残差平方和为(59-58)2+(61-61.5)2+ (64-65)2+(68-68.5)2+(73-72)2=3.5。 回归方程为y=0.6x2+58.4时,将x 值代入可得估计值分别为59,60.8,63.8, 68,73.4。 则残 差 平 方 和 为(59-59)2+(61- 60.8)2+(64-63.8)2+(68-68)2+(73- 73.4)2=0.24。 因为0.24<3.5,所 以 回 归 方 程 y= 0.6x2+58.4拟合效果更好,应选择该方程 进行拟合。 当x=6时,y=0.6×62+58.4=80。 故预测2024年该农户种植药材的平均 收入为80千元,即8万元。 模型六 y=c1 x+c2, 其中c1,c2 为 常数 在y=c1 x+c2 中,令t= x,c1=b, c2=a,则非线性回归方程可化为线性回归直 线方程y=bt+a。 例 6 某公司为确定下一年度投入某 种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位: 千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单 位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi 和 年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处 理,得到如图5所示的散点图,及一些统计量 的值(如表10所示)。 图5 表10 􀭺x 􀭵y 􀭿w ∑ 8 i=1 (xi-􀭺x) 2 ∑ 8 i=1 (wi-􀭿w) 2 ∑ 8 i=1 (xi-􀭺x)· (yi-􀭵y) ∑ 8 i=1 (wi-􀭿w)· (yi-􀭵y) 46.65636.8 289.8 1.6 1 469 108.8 其中:wi= xi,􀭿w= 1 8∑ 8 i=1 wi。 (1)根据散点图,判断y=a+bx 与y= c+d x哪一个适宜作为年销售量y 关于年 宣传费x 的回归方程类型。(给出判断即可, 不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建 立y 关于x 的回归方程。 (3)已知这种产品的年利润z与x、y 的 关系为z=0.2y-x。根据(2)的结果回答下 列问题。 ①当年宣传费x=49时,年销售量及年 利润的预测值是多少? ②当年宣传费x 为何值时,年利润的预 测值最大? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…, (un,vn),其回归直线v̂=̂α+̂βu 的斜率和截 距的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 β̂ = ∑ n i=1 (ui-􀭵u)(vi-􀭵v) ∑ n i=1 (ui-􀭵u)2 ,̂α=􀭵v-̂β􀭵u。 解析:(1)由散点图可以判断y=c+ d x适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型。 7 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年6月 (2)令w= x,先建立y 关于w 的线性 回归方程,由于 d̂= ∑ 8 i=1 (wi-􀭿w)(yi-􀭵y) ∑ 8 i=1 (wi-􀭿w)2 = 108.8 1.6 =68 。 ĉ=􀭵y-̂d􀭿w=563-68×6.8=100.6。 所以y 关于w 的线性回归方程为ŷ= 100.6+68w。因此,y 关于x 的回归方程为 ŷ=100.6+68 x。 (3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预测值ŷ=100.6+68 49=576.6。 年利润z的预测值ẑ=576.6×0.2-49 =66.32。 ②根据(2)的结果知,年利润z的预测值 ẑ=0.2(100.6+68 x)-x= -x+ 13.6 x+20.12,所以当 x= 13.6 2 =6.8 ,即 x=46.24时,̂z取得最大值。 故年宣传费为46.24千元时,年利润的 预测值最大。 模型七 y=a+b 1 x ,其中a,b为常数 在y=a+b 1 x 中,令t= 1 x ,则非线性回 归方程可化为线性回归直线方程y=bt+a。 例 7 在一次抽样调查中测得5个样 本点,得到表11及散点图(图6)。 表11 x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 图6 (1)根据散点图判断y=a+bx 与y= c+k·x-1 哪一个适宜作为y 关于x 的回归 方程。(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果,试建立y 与x 的回归方程。(计算结果保留整数) 参 考 公 式:̂b = ∑ n i=1 xiyi-n·􀭺x·􀭵y ∑ n i=1 x2i-n·􀭺x2 = ∑ n i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ n i=1 (xi-􀭺x)2 ,̂a=􀭵y-̂b􀭺x。 解析:(1)由题中散点图可以判断y= c+k·x-1 适宜作为y 关于x 的回归方程。 (2)令t=x-1,则y=kt+c,原表11的 数据变为表12的数据。 表12 t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 由表可知y 与t近似具有线性相关关 系,计算得􀭰t= 4+2+1+0.5+0.25 5 =1.55 。 􀭵y= 16+12+5+2+1 5 =7.2 。 故 k̂=4×16+2×12+1×5+0.5×2+0.25×1-5×1.55×7.2 42+22+12+0.52+0.252-5×1.552 = 38.45 9.3 ≈4 ,̂c=􀭵y-̂k􀭰t=7.2-4×1.55=1, 则ŷ=4t+1。 所以y 关于x 的回归方程是ŷ= 4 x+1 。 建立非线性经验回归模型首先要确定研究 对象,明确哪个是解释变量,哪个是响应变量,再 由经验确定非线性经验回归方程的模型,通过变 换(一般题目都有明显的暗示如何换元,换元成什 么变量),将非线性经验回归模型转化为线性经验 回归模型(特别注意:使用线性回归方程的公式, 注意代入变换后的变量),按照公式计算经验回归 方程中的参数,得到经验回归方程,最后消去新变 量,得到非线性经验回归方程。 (责任编辑 徐利杰) 8 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年6月