第3节 导数与函数的极值、最值-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第三章　导数及其应用 第3节　导数与函数的极值、最值 【知识梳理】 1．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧____________，右侧____________，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧____________，右侧____________，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为________，极小值和极大值统称为________． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条____________的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的_______________________________________________； ②将函数y＝f(x)的各极值与________________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【真题呈现】 一、多选题 1．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 2．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 3．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 4．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 二、填空题 5．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 三、解答题 6．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； 7．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 8．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 9．（2023·全国·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 10．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【专项训练】 一、单选题 1．已知函数的导函数的图像如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．函数在上严格增 B．函数在上严格减 C．函数在处取得极大值 D．函数共有两个极小值点 2．函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 3．函数在处有极值10，则点为（    ） A． B． C．或 D．不存在 4．函数的最大值是（    ） A． B．0 C． D．3 5．函数，若恒有，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 7．已知函数，当实数时，对于都有恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的极值点个数可能为0，1，2 B．若函数有两个极值点，则 C．若，则函数在上的最小值为 D．若，则函数在上的最大值为2 10．已知定义在上的可导函数和的导函数图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ）    A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值无最小值 D．有最小值无最大值 11．已知函数有两个极值点，，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 13．已知函数在处取得极小值，则的值为 ． 14．若实数，满足，则 . 四、解答题 15．已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 16．已知函数在和处取得极值． (1)求的值. (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 17．已知函数． (1)若，判断的单调性； (2)若在上没有极值点，求的取值范围． 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对恒成立，求a的取值范围. 19．已知函数. (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若函数有两个极值点，， ①求实数的取值范围； ②求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章　导数及其应用 第3节　导数与函数的极值、最值 【知识梳理】 1．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【常用结论】 1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 2．若函数f (x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． 3．单调函数无极值，区间端点一定不是极值点． 【真题呈现】 一、多选题 1．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 2．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【解析】方法一：因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二：因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 3．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【解析】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.故选：BCD 4．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【解析】由题，，令得或， 令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC. 二、填空题 5．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 三、解答题 6．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； 【解析】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. 7．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 8．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【解析】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得，则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增，所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 9．（2023·全国·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【解析】（1）当时，， 则，据此可得， 函数在处的切线方程为，即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知，取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令，则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，，据此可得恒成立， 则， 由一次函数与对数函数的性质可得，当时，， 且注意到，根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减，当时，，单调递增， 所以.令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数得取值范围是. 10．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【解析】（1）构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得，所以； 构建，则， 构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得，即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以；综上所述：. （2）令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以.， 当时，令， 因为， 且， 所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且，所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 【专项训练】 一、单选题 1．已知函数的导函数的图像如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．函数在上严格增 B．函数在上严格减 C．函数在处取得极大值 D．函数共有两个极小值点 【解析】对于A，当时，，当时，， 所以函数在上先减后增，故A错误； 对于B，当时，，所以函数在上单调递减，故B正确； 对于C，因为在左侧附近导数为正，右侧附近导数为负， 所以函数在处取得极大值，故C正确； 对于D，因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正， 所以函数在处取得极小值， 因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正， 所以函数在处取得极小值，则函数共有两个极小值点，故D正确. 故选：A. 2．函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】函数的定义域为， 又， 令，则或，所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为．故选：D． 3．函数在处有极值10，则点为（    ） A． B． C．或 D．不存在 【解析】，则，即， 解得或， 当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去. 当,，令，解得或， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 则为极小值点，符合题意.故点为，故选：B 4．函数的最大值是（    ） A． B．0 C． D．3 【解析】因为，所以， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值是.故选：C. 5．函数，若恒有，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【解析】由题可得， 由，可得，此时单调递减， 由，可得，此时单调递增， ∴，∴.故选：C. 6．若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【解析】， 则当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 即在处取得最值，则有，解得.故选：C. 7．已知函数，当实数时，对于都有恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解析】，令得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 所以，则恒成立，则， 令，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以．故的最大值为．故选：A． 8．若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】，令，得，由题意知在区间上只有一个变号的根，令，则，令，得， 当时，单调递减；当时，单调递增． 又， 所以当时，在区间上只有一个变号的根， 即函数在上有且仅有一个极值点时，的取值范围是．故选：B． 二、多选题 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的极值点个数可能为0，1，2 B．若函数有两个极值点，则 C．若，则函数在上的最小值为 D．若，则函数在上的最大值为2 【解析】依题意， 选项A，因为的解的个数为0，1，2，根据函数极值点的定义知，当方程无解时，恒成立，此时函数无极值点，当方程只有一个解时，解的左右两侧导数值均大于0，此时函数无极值点，当方程有两解时，函数有两个极值点，故选项A错误； 选项B，若函数有两个极值点，则有两个不同的解，由，解得，故选项B正确； 选项CD，当时，，由，得到或，由，得到，即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，，， 故函数在区间上的最小值为0，最大值为2，故C错误，D正确； 故选：BD. 10．已知定义在上的可导函数和的导函数图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ）    A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值无最小值 D．有最小值无最大值 【解析】根据的图象可得，与的图象有三个不同的交点， 设这些点的横坐标依次为，满足，其中，. 由图可知，当时，，即，故函数在上单调递增， 当时，，即，函数在上单调递减， 当时，，即，函数在上单调递增， 当时，，即，函数在上单调递减. 综上解析，函数分别在时取得极大值，在时取得极小值, 即函数有2个极大值点和1个极小值点,故B项正确，A项错误； 因时，的趋近值未知，时，的趋近值也未知，故无从判断函数的最小值能否取得，但因函数分别在时取得极大值，故可取与中的较大者作为函数的最大值，故C项正确，D项错误.故选：BC. 11．已知函数有两个极值点，，且，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由函数，可得， 要使得函数有两个极值点为，可得，解得， 且为方程的两根，可得，所以A不正确，B正确； 又由当时，；当时，；当时，， 所以函数在上递增，在上递减，在上递增， 所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，且， 可得，，所以C、D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【解析】函数的定义域为， ， 令可得或（舍），当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 13．已知函数在处取得极小值，则的值为 ． 【解析】由求导，， 依题意，，即，解得或. 当，时，，， ， 当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增，即时，函数取得极小值，符合题意，此时； 当，时，，， 因 ， 即函数在上为增函数，无极值，与题意不符，舍去.故答案为：. 14．若实数，满足，则 . 【解析】，， ，即， 根据不等式得，， 令，所以， 因为，所以. ，， 所以，单调递增，单调递减， 所以，即，， 所以只能，即， 所以，当成立，即，所以. 四、解答题 15．已知函数在处有极值4. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值. 【解析】（1）， ∵函数在处取得极值4， ∴，，解得，， ∴，经验证在处取得极大值4，故，. （2）由（1）可知，，， 令，解得，令，解得或， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在在时取得极小值，极小值为； 在时取得极大值，极大值为，且，， 经比较，函数在区间上的最小值是，最大值是. 16．已知函数在和处取得极值． (1)求的值. (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）由，可得， 由在和处取得极值，可得，， 解得，. 代入检验，可得，令， 解得，.所以时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减， 时，，函数单调递增， 所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意.所以，. （2）由（1）可得，在单调递减，在单调递增. 要使对任意，不等式恒成立，只需恒成立，即大于的最大值.令，显然在单调递减，在单调递增，所以.所以，解得或. 所以c的取值范围为. 17．已知函数． (1)若，判断的单调性； (2)若在上没有极值点，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，其定义域为， ，由，得．由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）因为， ， 当时，， 若在上没有极值点，则在上单调， 即在上恒成立，或在上恒成立． 若在上恒成立，则，解得， 若在恒成立，则，解得． 综上所述，a的取值范围为． 18．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对恒成立，求a的取值范围. 【解析】（1）由题意知的定义域为，， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）由，得，即， 令，将问题转化为恒成立， ， 令，则当时， 所以也就是在上单调递增，所以. ①当，即时，在上恒成立， 所以在上单调递增，所以，满足题意； ②当时，即时，因为当时，， 所以存在，使得，所以存在，使得， 所以对，，所以在上单调递减， 所以，不合题意. 综上所述，满足条件的a的取值范围为. 19．已知函数. (1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若函数有两个极值点，， ①求实数的取值范围； ②求证：. 【解析】（1）因为的定义域为， 又， 依题意在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立，又，当且仅当时取等号， 所以，即的取值范围为. （2）①函数的定义域为，且， 若，即，则，此时的单调减区间为，不符合题意； 若时，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，此时只有一个极值点，不符合题意；若时，关于的方程有两不相等实数根，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时只有一个极值点，不符合题意； 若，即，则的两根为， 所以当或时，， 当时，， 所以的单调减区间为，， 单调增区间为， 所以当时，函数有两个极值点，； ②由①可知当时，函数有两个极值点，，且，． 因为 ， 要证，只需证， 令，， 则，所以在上单调递增， 又，，且在定义域上连续， 由零点存在定理，可知在上有唯一实根， 且当时，当时， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以的最小值为，又， 因为， 当时，，又，所以， 所以恒成立，所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$