第2节 导数与函数的单调性-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第三章　导数及其应用 第2节　导数与函数的单调性 【知识梳理】 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上____________________ f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上____________________ f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是____________________ 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的______________； 第2步，求出导数f′(x)的______________； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 【真题呈现】 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 2．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题 4．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 四、解答题 5．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； 6．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. 7．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； 8．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 9．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； 10．（2023·全国·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； 11．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； 12．（2022·浙江·高考真题）设函数． (1)求的单调区间； 13．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； 14．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； 【专项训练】 一、单选题 1．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象如图所示，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 7．已知，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确的是（   ）       A． B． C． D． 10．若函数恰好有三个单调区间，则实数a的值可以是（    ） A．－2 B．0 C．1 D．3 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时，在R上恒成立 C．存在，使得在上不存在零点 D．对任意的，有唯一的极小值 三、填空题 12．已知，则不等式的解集是 ． 13．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 14．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为 ． 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)若对，恒成立，求实数的取值范围. 16．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 17．求证： (1)（）； (2)； (3)（）． 18．已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求a的值； (2)当时，讨论的单调性． 19．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，恒成立，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章　导数及其应用 第2节　导数与函数的单调性 【知识梳理】 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 【常用结论】 1．若函数f (x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f (x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f ′(x)≤0恒成立． 2．若函数f (x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f (x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 3．f ′(x)＞0在(a，b)上恒成立是f (x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，举例：f (x)＝x3在R上单调递增，但f ′(0)＝0. 【真题呈现】 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为．故选：C． 2．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【解析】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以，故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又，所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以，故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 二、多选题 3．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 三、填空题 4．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 四、解答题 5．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； 【解析】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 6．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. 【解析】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. 7．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； 【解析】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得，所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. 8．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． (2)若函数在单调递增，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）由函数的解析式可得， 满足题意时在区间上恒成立. 令，则， 令，原问题等价于在区间上恒成立， 则， 当时，由于，故，在区间上单调递减， 此时，不合题意; 令，则， 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，，满足题意. 当时，由可得， 当时，在区间上单调递减，即单调递减， 注意到，故当时，，单调递减， 由于，故当时，，不合题意. 综上可知：实数得取值范围是. 9．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； 【解析】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. 10．（2023·全国·高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； 【解析】（1） 令,则，则 当 当,即.当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 11．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； 【解析】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 12．（2022·浙江·高考真题）设函数． (1)求的单调区间； 【解析】（1）， 当，；当，， 故的减区间为，的增区间为. 13．（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； 【解析】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. 14．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； 【解析】（1）因为，所以，即切点坐标为， 又，∴切线斜率，∴切线方程为： （2）因为，     所以，令， 则， ∴在上单调递增，∴∴在上恒成立， ∴在上单调递增. 【专项训练】 一、单选题 1．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题知，，令，解得， 所以，函数的单调减区间为.故选：C 2．已知函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】，则， 则时，，单调递增， 又，则.故选：A 3．若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由， 因为函数在区间内单调递增， 所以有在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以由， 因为，所以，于是有，故选：D 4．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】， 令，则，而在区间上单调递减， 故，故，故选：A. 5．已知函数的图象如图所示，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】，由函数的图象可知， 在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的图象是开口向上的抛物线，且有两个零点，， 所以，所以，所以ABC错误，D正确.故选：D. 6．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【解析】设，则 ， 对任意，，恒成立，即在上单调递减，由可得，，解得，即解集为.故选：A 7．已知，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，构造函数，， 则，当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增，所以为的极小值点， 所以，则， 即，所以，即， 又，构造函数，， 则，所以在单调递增， 则，即， ，所以，则.故选：D 8．已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】由得，即 ， 令，，则， 所以在上单调递增， 而等价于，∴，即， 令，，则， 所以在时，，递增； 在时，，递减，所以最大值为，∴． 故选：C 二、多选题 9．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确的是（   ）       A． B． C． D． 【解析】对于A选项，由函数的图象可知，函数图象在处的切线的斜率大于在处的切线的斜率，所以，故A正确； 对于B，C选项，， 由导数的几何意义可知，故B错误，C正确； 对于D选项，由函数的图象可知，函数是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导数值都大于零，故D错误. 故选：AC.    10．若函数恰好有三个单调区间，则实数a的值可以是（    ） A．－2 B．0 C．1 D．3 【解析】若，则函数为二次函数，最多两个单调区间，不合题意； 若，则，要使函数恰有3个单调区间， 则有两个不等实数根，即， 又，所以且，则满足题意. 故选：AC. 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时，在R上恒成立 C．存在，使得在上不存在零点 D．对任意的，有唯一的极小值 【解析】对于A，当时，，求导得，由， 得，则在上单调递减，A错误； 对于B，当时，，求导得，由，得， 由，得，则在上递减，在上递增， ，B正确； 对于C，当时，，，在R上为单调递增， 又，，则在上一定存在零点，C错误； 对于D，当时，，由，得，，得， 则在上递减，在上递增，有唯一的极小值，D正确. 故选：BD 三、填空题 12．已知，则不等式的解集是 ． 【解析】由函数，可得成立，所以在上单调递减， 因为，可得，解得， 即实数不等式的解集为． 13．已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 . 【解析】由题意知， 因为在区间上不单调，即在区间有变号零点，又，所以，，， 所以在区间内， 所以，解得，即m的取值范围是. 14．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为 ． 【解析】由，得，得． 令，因为，所以函数在上单调递增， 则不等式转化为，所以，即在上恒成立． 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，有最小值，即，则的最大值为． 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)若对，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因， 由可解得，或；由可解得，. 故函数的单调递增区间为：和； 函数的单调递减区间为：. （2）因等价于，依题意，需求函数在区间上的最小值. 由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，所以.即实数的取值范围为. 16．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，，， ，，，所以求在处的切线方程为：. （2）， 若函数在上单调递增，则对于恒成立， 即对于恒成立， 令，则时，， 则函数在上单调递增，所以，故. 17．求证： (1)（）； (2)； (3)（）． 【解析】（1）要证，只需证， 令（），， 故在上单调递减，由于，因， 故，则有（）. （2）令，， 当时，；当时，， 可知在上单调递增；在上单调递减，所以， 故，从而成立. （3）令（），， 由解得：，， 令，得，令，得或 故在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 由于， 则有对恒成立，故得：（）． 18．已知函数，其中. (1)若在处取得极值，求a的值； (2)当时，讨论的单调性． 【解析】（1）， 由题意，，解得， 当时，，定义域为， ，令，解得， 令，解得，故为的极值点， 满足题意，故 （2）定义域为， ，， ①时，， 令，解得或，令，解得， 函数在，内单调递增，在内单调递减； ②当时，，故函数在上单调递增； ③当时，，令，解得或，令，解得， 故在，内单调递增，在内单调递减． 综上：当时，在，内单调递增，在内单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，内单调递增，在内单调递减． 19．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）由题意知函数的定义域为，. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，得， 由，得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，时，， 则不一定成立，故不满足题意. 当时，. 令，则，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而 所以时，，且. 所以的解集为，所以， 即，故的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$