第1节 导数的概念及运算-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第三章　导数及其应用 第1节　导数的概念及运算 【知识梳理】 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作________或____________． f′(x0)＝ ＝__________________________________. (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________，相应的切线方程为________________________． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__________ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝__________ f(x)＝sin x f′(x)＝__________ f(x)＝cos x f′(x)＝__________ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝__________ f(x)＝ex f′(x)＝__________ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝__________ f(x)＝ln x f′(x)＝__________ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝____________； [f(x)g(x)]′＝________________________； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝____________. 5．复合函数的定义及其导数 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数． 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______·______，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【真题呈现】 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 三、填空题 4．（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 5．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 6．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 7．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 四、解答题 8．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 9．（2024·天津·高考真题）设函数． (1)求图象上点处的切线方程； 10．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． 11．（2023·全国·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 12．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； 13．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； 14．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求函数在处的切线方程； 15．（2022·全国·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； 16．（2022·全国·高考真题）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 17．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 【专项训练】 一、单选题 1．已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 2．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 3．动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数,则（    ） A． B． C． D．-3 7．已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（    ） A．2 B． C． D． 8．若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．过点且与曲线相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数在点处切线的斜率为 B．函数在点处的切线方程为 C．函数图象上瞬时变化率为1的点有3个 D．函数的极大值点为，极小值点为 三、填空题 12．曲线在点处切线的斜率为3，则实数 ． 13．已知函数在处的切线方程为，则 ． 14．已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为 ． 四、解答题 15．已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 16．求下列函数的导数 (1) (2) (3) (4) 17．已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性． 18．已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值． 19．已知函数，． (1)若直线为曲线的一条切线，求出b与k的函数关系式； (2)当时，过点的的切线l也与曲线相切，试求直线l的条数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章　导数及其应用 第1节　导数的概念及运算 【知识梳理】 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或. f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) f′(x)＝y′＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 5．复合函数的定义及其导数 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数． 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【常用结论】 1．在点处的切线与过点的切线的区别 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2、几类重要的切线方程 (1)直线y＝x－1是曲线y＝ln x的切线，直线y＝x是曲线y＝ln (x＋1)的切线，如图1. (2)直线y＝x＋1与直线y＝ex是曲线y＝ex的切线，如图2. (3)直线y＝x是曲线y＝sin x与y＝tan x的切线，如图3. (4)直线y＝x－1是曲线y＝x2－x，y＝x ln x及y＝1－的切线，如图4. 由以上切线方程可得重要不等式，如ln x≤x－1，x＋1≤ex等． 【真题呈现】 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【解析】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A. 2．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】设曲线在点处的切线方程为， 因为，所以，所以 所以，所以曲线在点处的切线方程为.故选：C 二、多选题 3．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【解析】由题，，令得或， 令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC. 三、填空题 4．（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 5．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. [方法三]： 因为， 当时，设切点为，由，所以， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程为，即； 故答案为：；. 6．（2022·全国·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 7．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【解析】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：,∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 四、解答题 8．（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 【解析】（1）当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 9．（2024·天津·高考真题）设函数． (1)求图象上点处的切线方程； 【解析】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. 10．（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． 【解析】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. 11．（2023·全国·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 【解析】（1）当时，， 则，据此可得， 函数在处的切线方程为，即. 12．（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； 【解析】（1），则， 所以，故处的切线斜率为； 13．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； 【解析】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得，所以. 14．（2022·天津·高考真题）已知，函数 (1)求函数在处的切线方程； 【解析】（1），故，而， 曲线在点处的切线方程为即. 15．（2022·全国·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； 【解析】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； 16．（2022·全国·高考真题）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 【解析】（1）的定义域为 当时,,所以切点为, 所以切线斜率为2， 所以曲线在点处的切线方程为 17．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 【解析】（1）因为，所以，即切点坐标为， 又，∴切线斜率， ∴切线方程为： 【专项训练】 一、单选题 1．已知函数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 解析】由题意知，，则. 所以.故选：B 2．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【解析】由曲线，得， 在处的切线斜率为，当时，， 曲线在处的，即， 曲线，导数为，设切点为，则，解得，切点在切线上， 即有，得.故选：A. 3．动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】设以点为切点的切线倾斜角为，因为函数， 所以， 当且仅当，即时取等号，又因为，所以，所以.故选：C. 4．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】在曲线上任取一点，对函数求导，得， 所以曲线在点处的切线方程为. 由题意可知，点在直线上，可得. 令，则. 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，且当时，，当时，， 又直线与曲线的图象有两个交点，所以的取值范围为.故选：C 5．曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增，所以，.故选：B. 6．已知函数,则（    ） A． B． C． D．-3 【解析】两边求导,得,令,即,解得.故选：C. 7．已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（    ） A．2 B． C． D． 【解析】因为在点处的切线方程为，. 又两边求导得：，即为偶函数，，故选：A. 8．若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】的定义域为，由函数，可得， 令，可得，负值舍去，又， 所以平行于直线且与曲线相切的直线与曲线的切点坐标为． 点到直线的距离，即点到直线的距离的最小值为.故选：C． 二、多选题 9．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解析】切线的斜率，设切点为，则， 又，所以，所以或，所以切点坐标为或．故选：AB． 10．过点且与曲线相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【解析】设切点为，又，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 所以，整理得，解得或， 即切线方程为或．故选：BC． 11．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数在点处切线的斜率为 B．函数在点处的切线方程为 C．函数图象上瞬时变化率为1的点有3个 D．函数的极大值点为，极小值点为 【解析】函数,则. 对于A,因为,所以函数在点处切线的斜率为,故A正确; 对于B,因为,所以在点处切线方程为,即为,故B正确; 对于C，令，, 则函数图象上瞬时变化率为1的点有2个，故C错误； 对于D，令,解得, 则当时, ,单调递增，当时, ,单调递减， 当时, ,单调递增， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，故D正确. 故选:ABD. 三、填空题 12．曲线在点处切线的斜率为3，则实数 ． 【解析】的导数为， 可得曲线在点处切线的斜率为，解得. 13．已知函数在处的切线方程为，则 ． 【解析】函数在处的切线方程为， 则切点坐标为，切线斜率，所以. 14．已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为 ． 【解析】由，可得，又点在曲线上，设， 则过点和平行的切线的斜率为3，令，则， ，点与直线的最小距离为． 四、解答题 15．已知函数 (1)求在点处的切线方程； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程． 【解析】（1）因为，所以，，. 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）设切点为，则， 切线方程为，.因为切线经过原点，故，所以， 故，切点为，切线方程为， 即过原点的切线方程为. 16．求下列函数的导数 (1) (2) (3) (4) 【解析】（1）. （2），则. （3），则. （4）. 17．已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性． 【解析】（1）因为，， 所以， 曲线在处的切线与垂直，所以， 得； （2）由得， 当时，的定义域为， 令得， 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，的定义域为，令得 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 18．已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值． 【解析】（1）由，可得， ∴，∴，又，故，， 可知函数的解析式为． （2）由（1）可知， 函数图象上的点到直线的距离的最小值，满足点到直线的距离， 可得． 19．已知函数，． (1)若直线为曲线的一条切线，求出b与k的函数关系式； (2)当时，过点的的切线l也与曲线相切，试求直线l的条数． 【解析】（1）设切点为，则，，则切线方程为， 整理可得，可得，， 则，可得，故b与k的函数关系式为． （2）过点的切线方程为， 整理可得直线l的方程为． 设直线l与曲线相切于点，可知， 且，，可变为， 结合切线l的方程可得，整理可得． 如图所示，画出与的图像， 可知当时，只有一个交点，即在上只有一个解， 则切线l也只有一条． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$