第10节 函数的零点与方程的解-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第二章　函数 第10节　函数的零点与方程的解 【知识梳理】 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有________⇔函数y＝f(x)的图象与________有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有________________，那么，函数y＝f(x)在区间________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得____________，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且________________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间____________，使所得区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【真题呈现】 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2024·全国·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 二、多选题 3．（2024·全国·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 三、填空题 4．（2024·天津·高考真题）若函数恰有一个零点，则的取值范围为 ． 5．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 6．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 7．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 8．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 . 9．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 【专项训练】 一、单选题 1．函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 2．已知函数，则的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 3．若函数恰有两个零点,则实数的取值不可能为（    ） A．0 B． C．2 D．3 4．函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 7．已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，若方程的实数解有2个，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，若方程有五个不相等的实数根，则实数a的值可以为（    ） A． B． C． D．0 三、填空题 12．函数的零点在区间，则 . 13．已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有 个. 14．若函数有个零点，则正数的取值范围是 . 四、解答题 15．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点. (1)； (2)； (3)； (4) 16．已知二次函数，求下列条件下，实数的取值范围． (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在内，另一个零点在内． 17．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围． 18．已知. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1） (2)设，求证：. 19．若函数存在零点，函数存在零点，使得，则称与互为亲密函数. (1)判断函数与是否为亲密函数，并说明理由； (2)若与互为亲密函数，求的取值范围. 附：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章　函数 第10节　函数的零点与方程的解 【知识梳理】 1．函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 【常用结论】 1．若连续不断的函数f (x)在(a，b)上是单调函数，而且f (a)f (b)<0，则f (x)在(a，b)上有且仅有一个零点． 2．由函数y＝f (x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f (a)·f (b)<0，如图所示，所以f (a)·f (b)<0是y＝f (x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 【真题呈现】 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【解析】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得，若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D. 2．（2024·全国·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【解析】因为函数的的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C 二、多选题 3．（2024·全国·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【解析】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC 三、填空题 4．（2024·天津·高考真题）若函数恰有一个零点，则的取值范围为 ． 【解析】令，即，由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时，由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增，故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去），且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，.故答案为：. 5．（2024·全国·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【解析】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 6．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【解析】（1）当时，， 即，若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即，若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上，当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 7．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【解析】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 8．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 . 【解析】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 【解析】∵，∴ ∴ 故答案为：1， 【专项训练】 一、单选题 1．函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【解析】由，设，则得， 解得，从而，所以.故选：C. 2．已知函数，则的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【解析】函数，是定义域内的连续函数， ，， 所以根据零点存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．故选B． 3．若函数恰有两个零点,则实数的取值不可能为（    ） A．0 B． C．2 D．3 【解析】若，可得， 此时令可得，只有一个零点，故A不符合； 若，可得， 此时令可得，恰有两个零点，故B符合； 若，可得， 此时令可得，恰有两个零点，故C符合； 若，可得， 此时令可得，恰有两个零点，故D符合；故选：A 4．函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】函数与都是偶函数，其中，， 在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图， 由图可知，两函数的交点个数为6.故选：D 5．已知函数，则方程在区间上的所有实根之和为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】因为， 则， 所以的图象关于对称，因为，此时不成立， 当时，由，即，则， ，，， 在同一平面直角坐标系中画出与，的图象如下所示： 由图可得与在上有且仅有个交点，图象都关于， 所以所有的实根之和为.故选：A 6．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 【解析】由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或.故选：D. 7．已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由，，可得：，令， 依题意，函数存在两个零点，等价于函数与函数的图象有两个交点.又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故时，取得极大值，且当时，，当时，，故要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得.故选：C. 8．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（    ） A． B． C． D． 【解析】作出函数和函数的图象可知， 假设两个函数的图象共有4个交点， 且横坐标分别为， 由，得，则有， 所以，所以． 由于二次函数图象的对称轴为直线， 则点两点关于直线对称，所以．则． 令，解得或，所以， 所以．故选：A 二、多选题 9．设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项， 符合要求的方程近似解 可能为，不可能为ABD选项． 故选：ABD． 10．已知函数，若方程的实数解有2个，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【解析】当时，，且， 当时，，为单调递增函数，画出的图象如下图所示， 若方程的实数解有2个，即转化为直线与图象有两个交点， 由图可知，，此时直线与图象有两个交点，则BD符合要求，AC错误.故选：BD. 11．已知函数，若方程有五个不相等的实数根，则实数a的值可以为（    ） A． B． C． D．0 【解析】,如图所示， 令，则， 若方程有五个不相等的实数根，则有两个零点分别为，， 由图象可知，即，可得，解得， 则实数的取值范围是，故选：AB． 三、填空题 12．函数的零点在区间，则 . 【解析】由题意知，函数在上单调递减， 所以函数在上连续且单调递减， 又， 所以，则函数的零点分布在区间上， 又因为函数的零点在区间上，所以. 13．已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有 个. 【解析】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示： 如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点. 14．若函数有个零点，则正数的取值范围是 . 【解析】当时，令，即，即， 因为函数与的图象有且仅有一个公共点，如图所示，    所以时，函数只有一个零点， 又由函数有个零点， 所以时，函数有三个零点， 因为，可得，则满足， 解得，即实数的取值范围为. 四、解答题 15．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点. (1)； (2)； (3)； (4) 【解析】（1）令，解得或. 所以函数的零点为，1. （2）令，即，解得.所以函数的零点为. （3）令，即，解得.所以函数的零点为2. （4）当时，由，即，也就是， 解得或.因为，所以； 当时，由，即，解得，满足. 所以函数的零点为和. 16．已知二次函数，求下列条件下，实数的取值范围． (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在内，另一个零点在内． 【解析】（1）因为函数的零点均大于1， 所以，解得， （2）因为函数的一个零点大于1，一个零点小于1， 所以，解得， （3）因为函数的一个零点在内，另一个零点在内， 所以，解得. 17．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【解析】（1）由图象知：，即，解得：，当时，； 当时，，， 为上的偶函数，当时，； 综上所述：； （2）为偶函数，图象关于轴对称，可得图象如下图所示， 有个不相等的实数根，等价于与有个不同的交点， 由图象可知：，即实数的取值范围为. 18．已知. (1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程的近似解（精确到0.1） (2)设，求证：. 【解析】（1）由解析式知：在上递增， ，， ，则， ，则， 又，且，， 所以更接近于零点，故方程的近似解为. （2）由题设， 故，且， 要证，只需，即， 由（1）知，显然成立，综上，，得证. 19．若函数存在零点，函数存在零点，使得，则称与互为亲密函数. (1)判断函数与是否为亲密函数，并说明理由； (2)若与互为亲密函数，求的取值范围. 附：. 【解析】（1）与互为亲密函数，理由如下， 记是函数的零点，是函数的零点. 因为在上单调递增，且，， 所以. 因为，所以当时，. 又，，解得；，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 由，因为，， 所以， 所以，故与互为亲密函数 （2），解得，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，故有唯一的零点1， 因为与互为亲密函数， 所以在上有解. 由，可得. 因为，所以，令，则，设， ，时，；时，， 则在上单调递减，在上单调递增， ，，，则， 故的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$