第7节 指数与指数函数-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第二章　函数 第7节　指数与指数函数 【知识梳理】 1．根式 (1)一般地，如果xn＝a，那么________叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做________，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝________. 当n为奇数时，＝________， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂：＝__________(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂：＝____________＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝________；(ar)s＝__________；(ab)r＝________(a>0，b>0，r，s∈R)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是__． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 值域 性质 过定点____________，即x＝0时，y＝1 当x>0时，____________； 当x<0时，____________ 当x<0时，____________； 当x>0时，____________ ________函数 ________函数 【真题呈现】 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 10．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 12．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【专项训练】 一、单选题 1．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 6．已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数且，则下列结论中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数是定义域上的奇函数，则下列选项中错误的是（    ） A． B．有解 C． D．与的图象关于对称 三、填空题 12．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ． 13．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则 . 14．已知是方程的两个根，则 四、解答题 15．计算． (1)； (2)． 16．已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明： (3)求不等式的解集. 17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 18．已知，设. (1)若，求函数的值域； (2)已知，若函数的最大值为，求的值； (3)已知，若存在两个不同的正实数、，使得当函数的定义域为时，其值域为，求的取值范围. 19．阅读下面两个主题，请同学们利用所给的数学模型解决提出的问题. 【主题一】【认清毒性，保护自我】 新型冠状病毒肺炎以发热､干咳､乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征､脓毒症休克､难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为多少？（参考数据：） 【主题二】【响应号召，接种疫苗】 流感疫苗的有效作用可以维持一年左右，建议每年接种一次，特别是儿童､老年人以及体质较弱的年轻人.某疫苗研发工厂用于生产疫苗的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本为，已知（万元）.当每件商品售价为0.05万元时，通过市场分析，该厂生产的废苗能全部售完.当年产量为多少千件时，生产该疫苗所获利润最大？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章　函数 第7节　指数与指数函数 【知识梳理】 1．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 注意：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0，如果是y＝kax，那么k还应满足k≠1；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 增函数 减函数 【常用结论】 1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. 2. 函数y＝ax与y＝(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 【真题呈现】 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）已知函数为，在R上单调递增，则a取值的范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是.故选：B. 2．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.故选：C. 3．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【解析】因为在上递增，且，所以， 所以，即，因为在上递增，且， 所以，即，所以，故选：B 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 5．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【解析】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即，由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以，综上，， 又为增函数，故，即.故选：A. 6．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【解析】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得.故选：D. 7．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】由在R上递增，则， 由在上递增，则.所以.故选：D 8．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是.故选：D 9．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【解析】因为，，即，所以． 故选：C. 10．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解析】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 .故选：A. 11．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【解析】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 12．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【解析】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以，故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以，故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 二、填空题 13．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【解析】函数，所以. 【专项训练】 一、单选题 1．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【解析】由指数函数的图象经过点，得，解得， 所以.故选：A 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为.故选：B. 3．已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【解析】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则， 所以函数的值域为，故B正确； ，， 所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：C. 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，， 因为，即，，即， 因为，所以， 故．故选：C． 5．若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【解析】不等式可化为. 因为，所以，所以的最大值为. 所以，所以.故选：C. 6．已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为函数是减函数，所以． 又因为函数5）图像的对称轴是直线， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是．故选:B． 7．已知函数且，则下列结论中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【解析】由图示可知，的符号不确定，，故A、B错； ， 如上图，满足，故C不一定成立， 当时，由得，则，所以，故D正确． 故选：D 8．已知是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【解析】均为单调增函数，故为单调增函数； 对A：因为，故，故A错误； 对B：因为，故，两边取对数可得，故B正确； 对C：，故，则，则，故C错误； 对D：因为，，故，则，，故D错误. 故选：B. 二、多选题 9．若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【解析】函数（其中且）的图象在第一、三、四象限， 根据图象的性质可得：，即，故选：BD. 10．已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【解析】由，则，， 即，，两式相乘得， 所以，有，A选项正确，B选项错误； 由，有，则， C选项错误，D选项正确. 故选：AD 11．已知函数是定义域上的奇函数，则下列选项中错误的是（    ） A． B．有解 C． D．与的图象关于对称 【解析】对于A：若，则由知的定义域包含，再由是奇函数有，代入得，故，经检验符合题意. 若，则，其定义域关于原点对称，且，从而是奇函数. 这表明的所有可能值是或，故A错误； 对于B：由上面的结论知或. 无论哪种情况，都意味着，两边同时平方得到，即，这是不可能的. 所以无解，故B错误； 对于C：若，则由知单调递减； 若，则由知在上单调递减. 无论怎样，都有在上单调递减，故. 所以，故C正确； 对于D：该选项的描述即为（若等号两边都有意义）. 即（若等号两边都有意义）. 但根据上面的论证，知在上单调递减，故时必有.故D错误. 故选：ABD. 三、填空题 12．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ． 【解析】因为，（且）， 所以函数（且）的图象恒过定点，所以， 所以， ，，当且仅当，即等号成立， 即的最小值为. 13．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则 . 【解析】因为函数是定义在上的奇函数， 所以. 14．已知是方程的两个根，则 【解析】由题可知，也是与图象交点的横坐标， 在同一坐标系中，作图如下： 数形结合可知，为两点对应的横坐标； 根据指数函数和对数函数的性质可知，关于对称； 又与垂直，故与的交点为线段的中点， 联立，可得，即，故，解得. 四、解答题 15．计算． (1)； (2)． 【解析】（1）=； （2） . 16．已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明： (3)求不等式的解集. 【解析】（1）由题意可知， 故； （2）在R上单调递增，证明如下：由上可知， 令，则， 由指数函数的性质可知，且， 所以，故在R上单调递增. （3）由（1），（2）可知不等式等价于， 解不等式得 17．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 18．已知，设. (1)若，求函数的值域； (2)已知，若函数的最大值为，求的值； (3)已知，若存在两个不同的正实数、，使得当函数的定义域为时，其值域为，求的取值范围. 【解析】（1）若，则，因为，则， 所以函数的值域为. （2）令，则， 因为，可知开口向下，对称轴为， 当，二次函数取到最大值， 整理得，解得或，且，所以. （3）令，则 因为，开口向上，对称轴， 可知在内单调递增， 且在内单调递增，可知在内单调递增， 由题意可知：至少有2个不同的正根， 即，整理得， 可得在内有两个零点， 且，则，解得， 所以的取值范围. 19．阅读下面两个主题，请同学们利用所给的数学模型解决提出的问题. 【主题一】【认清毒性，保护自我】 新型冠状病毒肺炎以发热､干咳､乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征､脓毒症休克､难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为多少？（参考数据：） 【主题二】【响应号召，接种疫苗】 流感疫苗的有效作用可以维持一年左右，建议每年接种一次，特别是儿童､老年人以及体质较弱的年轻人.某疫苗研发工厂用于生产疫苗的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本为，已知（万元）.当每件商品售价为0.05万元时，通过市场分析，该厂生产的废苗能全部售完.当年产量为多少千件时，生产该疫苗所获利润最大？ 【解析】【主题一】，则， 所以，解得 【主题二】， 万元， 当且仅当即时，取得最大值为万元. 所以当年产量为99千件时，生产该疫苗所获利润最大. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$