专题07 空间几何体（思维导图+5重点+6题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019必修第四册）

专题07 空间几何体 知识点1 ：斜二测画法 简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变． 知识点2：构成空间几何体的基本元素 1.空间中的点、线、面----构成几何体的基本元素 2.空间中点与直线、直线与直线的位置关系： （1）A∈l,A∉l； （2）直线与直线的位置关系的分类：共面直线平行、相交；m∩l=∅，m//l；m∩l≠∅，m∩l=B. 异面直线：空间中的两条直线，既不平行，也不相交，称这两条直线异面 3空间中直线与平面的位置关系 （1）直线与平面的位置关系：有且只有三种 ①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． （2）符号表示：直线l在平面α内，记为l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为l∩α＝M；直线l与平面α平行，记为l∥α． （3）图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示． 4空间中平面与平面的位置关系： （1）有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点； ②两个平面相交——有一条公共直线． （2）符号表示：两个平面α、β平行，记为α∥β；两个平面α、β相交于直线l，记为α∩β＝l． （3）图示：两个平面α、β平行，如图a所示；两个平面α、β相交于直线l，如图b所示． 5.直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. （2）记法：l⊥α （3）有关概念： 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.它们唯一的公共点P叫做垂足. （4）图示与画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 6.距离： （1）点A到平面α的距离 （2）直线到平面的距离 （3）两平行平面之间的距离 知识点3 ：多面体 1.多面体：一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体. 2.棱柱、棱锥、棱台的结构 多面体 结构特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分 3.棱柱的简单性质： (1)侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形． (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图①所示． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图②所示． 4.棱柱概念的推广 (1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱． (2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱． (3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (4)平面六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形． (5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体． (6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体． 5.棱锥的性质： (1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形． (2)底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是三角形，如图②所示． 6.棱台的性质： (1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形． (2)两个底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形，如图②所示． 知识点4 ：旋转体 1.圆柱、圆锥、圆台、球的结构 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 2.圆柱的简单性质： (1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等． (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图①所示． (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图②所示． (4)过任意两条母线的截面是矩形，如图③所示． 3.圆锥的简单性质： (1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． (2)平行于底面的截面都是圆，如图①所示． (3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形，如图②所示． (4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图③所示． 4.圆台的简单性质： (1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点． (2)平行于底面的截面是圆，如图①所示． (3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图②所示． (4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图③所示． 5.球： 6.几何体面积计算公式 圆柱的侧面积 圆柱的表面积 圆锥的侧面积 圆锥的表面积 圆台的侧面积 圆台的表面积 球体的表面积 知识点5 ：几何体的体积 圆柱的体积 圆锥的体积 圆台的体积 球体的体积 正方体的体积 正方体的体积 题型归纳 【题型01 斜二测画法】 满分技法 1.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． 2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系： S直观图＝S原图形，S原图形＝S直观图． 3.解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系. 1．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的规则，还原平面图形，即可求解. 【详解】如图，还原直角坐标系下的， ，，点分别在轴和轴上， 所以的面积是. 故选：C 2．（23-24高一下·福建福州·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】如图可知， 四边形的周长为，四边形的面积为. 故选:D. 3．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知是的直观图，其中，轴，那么一定不是（    ）    A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用斜二测画法还原，从而分析得是等腰直角三角形，由此得解. 【详解】依题意，还原，如图，    因为，轴， 所以，轴，则， 所以是等腰直角三角形，即A符合题意，BCD不符合题意. 故选：A. 4．（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图所示，用斜二测画法画出的水平放置的及边上中线的直观图是及，其中，试按此图判定原中的四条线段中最长的线段是 ；最短的线段是 . 【答案】 【分析】根据斜二测画法的定义即可判断求解. 【详解】由斜二测法可知原图形是个直角三角形，其中角为直角， 则有 故最长的线段为，最短的为. 故答案为：；. 【题型02点线面位置关系的判断与表示】 满分技法 点、线、面的位置关系的表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A ∉l A在α内 A∈α A在α外 A ∉α l在α内 L ⊂α l在α外 L ⊄α 或 l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A L ∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 5．（10-11高一下·福建厦门·阶段练习）“点在直线上，在平面内”可表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据点与线，线与面的关系书写即可. 【详解】解：因为点在直线上，在平面内。 所以符号语言为：， 故选：B 6．（19-20高一·全国·课后作业）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（    ） A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 【答案】D 【分析】根据空间中直线的位置关系，结合已知条件，即可容易判断. 【详解】a和b是异面直线，b和c是异面直线， 根据异面直线的定义可得： 可以是异面直线，如下所示：    也可以相交    也可以平行    故选：. 【点睛】本题考查空间中直线之间的位置关系，属简单题. 7．（16-17高二上·北京西城·期中）点P在直线a上，直线a在平面α内可记为（    ） A．Pa，aα B．Pa，aα C．Pa，a∈α D．P∈a，a∈α 【答案】A 【分析】由点与直线的位置关系表示方法及直线与平面位置关系的表示可得结果. 【详解】由点与直线的位置关系表示方法及直线与平面之间位置关系的表示可知, 点P在直线a上表示为Pa， 直线a在平面α内可表示为aα，A正确． 故选：A. 【点睛】本题主要考查空间点线关系、线面关系的表方法，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 8．（19-20高一·全国·课后作业）下面叙述中： ①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； ③若直线是平面的一条垂线，则直线垂直于平面内的所有直线； ④若直线垂直于平面，则称平面是直线的一个垂面． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】根据线面垂直的定义，以及线面垂直的判定定理，逐个判定，即可得出结果. 【详解】由线面垂直的判定定理可得：若直线垂直于平面内的两条相交直线，则线面垂直，因此①错； 由线面垂直的概念可得，若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这个直线与该平面垂直，该直线称为该平面的一条垂线，该平面称为该直线的一个垂面，故②③④都正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查线面垂直的相关判定，考查线面垂直的概念以及判定定理，属于基础题型. 9．（22-23高一·全国·随堂练习）用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据已知点、线、面的位置关系，利用适当的符号表示即可． 【详解】（1）因为，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线， 符号表示为：、，，，则. 图形表示如下：    （2）因为两条相交直线和都在平面内， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    （3）直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点， 符号表示为：，，， 图形表示如下：    【题型03 多面体的结构特征】 满分技法 关注几何体中的矩形、直角三角形、直角梯形，灵活应用完成计算. 10．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）下列命题中正确的是（    ） A．梯形的直观图可能是平行四边形 B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 D．底面是矩形的直平行六面体是长方体 【答案】D 【分析】根据斜二测画法判断A，根据过圆锥顶点的截面图形特征和截面图的面积公式即可判断B，根据棱台的定义判断C，根据直棱柱的定义判断D. 【详解】对于A：因为梯形平行的一组对边长度不相等，所以它们的直观图的长度也不相等， 故梯形的直观图不可能是平行四边形，故A错误； 对于B：过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长， 设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为，显然当，面积最大， 故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故B错误； 对于C：根据棱台的定义，棱台的侧棱延伸后必须交于同一点，故C错误； 对于D：底面是矩形的直平行六面体是长方体，故D正确. 故选：D 11．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）有下列命题： ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱； ④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台． ⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． 其中正确的命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用棱柱、棱锥、棱台的概念，即可对逐个选项的正误作出判断． 【详解】棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， ①②错误，③正确，其中①②的反例如图所示； 棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，⑤错误； 棱台：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，④错误； 正确命题有1个. 故选：B. 12．（2024·北京·三模）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则的周长为（    ） A．10 B．11 C． D．12 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合棱锥的结构特征，利用全等三角形性质及余弦定理求出即得. 【详解】在四棱锥中，连接交于，连，则为的中点，如图，    正方形中，，， 在与中，，则≌， 于是， 由余弦定理得， 所以的周长为. 故选：C 13．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直条件证明得平面，即可得平面平面，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可. 【详解】将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图， 设的中心为，此时为最短距离，设到直线的距离为， 则，所以. 故选：B 14．（22-23高一·全国·课后作业）长、宽、高分别为3、4，5的两个相同的长方体，把它们某两个全等的面重合在一起，组成大长方体，则大长方体对角线最长为 . 【答案】 【分析】 分类讨论求解大长方体的体对角线即可. 【详解】当大长方体的长、宽、高分别为、、时， 体对角线为. 当大长方体的长、宽、高分别为、、时， 体对角线为. 当大长方体的长、宽、高分别为、、时， 体对角线为. 因为，所以大长方体对角线最长为. 故答案为： 15．（20-21高一下·全国·课后作业）正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，侧棱长为9，则棱台的斜高等于 ． 【答案】 【分析】正四棱台的侧面是等腰梯形，在梯形中直接用勾股定理求斜高. 【详解】由题意知正四棱台的侧面是等腰梯形， 其上底长5，下底长7，腰长9， 则由勾股定理得棱台的斜高. 故答案为： 16．（23-24高一下·河北石家庄·期中）如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为 ． 【答案】/ 【分析】将图形展成平面图形，进而解三角形即可求得答案. 【详解】如图，将侧面展开在一个平面， 由题意， 在中，， 所以在中，， 由余弦定理得， 所以， 即细绳的最短长度为. 故答案为：. 17．（辽宁省部分学校2023-2024学年高一下学期联考数学试题）在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则周长的平方的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上，当三点在一条直线即可求出答案. 【详解】如图①，设侧面的中心为，根据正方体的结构特征可得： ， 则周长的最小值即的最小值. 将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上， 将平面绕着旋转至与平面在同一平面上，如图②，则 ， 故周长的平方的最小值为. 故答案为：. 18．（23-24高一下·云南·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，，P是线段上一动点，则的最小值为 . 【答案】7 【分析】连接，以所在直线为旋转轴，将所在平面旋转到与平面重合，设点的新位置为，则可得当A，P，三点共线时，的长为的最小值，从而可求得其最小值. 【详解】连接，以所在直线为旋转轴，将所在平面旋转到与平面重合， 设点的新位置为，连接，则有，如图所示. 当A，P，三点共线时，的长为的最小值， 因为，，所以. 又，所以是边长为的正三角形，. 又，所以，所以， 由勾股定理可得. 故答案为：7 【题型04旋转体的结构特征】 满分技法 1.借助轴截面及侧面展开图，完成计算. 2.一般地，沿多面体或旋转体的表面最短距离(路程)问题，用侧面展开解决． 3．注意多面体、旋转体侧面(表面)的不同展开方法． 19．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】如图所示，为圆锥的轴截面， 设圆锥的底面半径为， 若，所得截面面积最大值为， ，不符合题意； 若， 此时所得截面面积的最大值，符合题意， 此时有，所以， 又，所以. 故选：D. 20．（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为 . 【答案】 【分析】先根据题意求出圆锥的母线长，然后将圆锥的侧面展开，如图，则可知此蚂蚁爬行的最短路径长为，求出扇形的圆心角，再利用余弦定理可求得结果. 【详解】设，利用扇形的面积公式得，解得， 所以侧面展开图的扇形的半径为3，弧长为，所以圆心角为， 沿母线裁开，将圆锥的侧面展开，如图所示， 因为，所以，连接，则为最短距离， 由余弦定理得， 所以，即此蚂蚁爬行的最短路径长为. 故答案为： 【题型05几何体的面积计算问题】 满分技法 1.认真审题，准确计算． 2．常见的切与接问题： （1）球内切于旋转体(圆柱、圆锥、圆台)或旋转体内接于球，解题的关键是抓住轴截面中各几何量． （2）多面体(长方体、正方体、正四面体、正三棱锥、正四棱锥、正三棱柱等)内接于球．关键抓住球大圆及球小圆与多面体的顶点位置关系． （3）球内切于多面体，主要抓住球心到多面体各面的距离都等于球半径． 3.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略： （1）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题． （2）若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题． （3）处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等． 4.有关几何体外接球、内切球问题的常用结论 （1）棱长为的正四面体的斜高为，高为，外接球的半径为，内切球的半径为. （2）如果三棱锥的三条侧棱互相垂直，那么可以将其补形为长方体或正方体（三棱锥的三条侧棱相等时为正方体，不相等时为长方体），则长方体或正方体的外接球的球心即三棱锥的外接球球心，长方体或正方体的体对角线即三棱锥外接球的直径. （3）一个棱锥的内切球半径可以根据内切球球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积公式求得. 5.与球有关的组合体问题 (1)若一个长方体内接于一个半径为R的球，则2R＝ (a、b、c分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内接于球，则2R＝a(a为正方体的棱长)； (2)半径为R的球内切于棱长为a的正方体的每个面，则2R＝a． 21．（23-24高一下·天津·阶段练习）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四棱锥的结构特征分析可知斜高，进而可得侧面积. 【详解】如图： 正四棱锥的高PO，斜高PE， 底面边心距OE组成直角， 由题意可知：，则斜高， 所以该四棱锥的侧面积为. 故选：A. 22．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知正三棱台的上底面与下底面的面积之比为1:4，当棱台的高为2，体积为时，则此时正三棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用棱台的体积公式求出两底面积，进而求出底面边长，再结合正棱台的结构特征求出斜高，利用正棱台的侧面积公式计算得解. 【详解】令正三棱台的上底面积为，则下底面积为， 依题意，，解得， 而，则，同理， 为两底面的中心，为的中点，过作下底面垂线，垂足为， 则在上. ，，， 则斜高， 所以正三棱台的侧面积. 故选：A 23．（2024·陕西西安·模拟预测）已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出圆锥底面圆的半径，再由勾股定理求出圆锥的高，然后利用等面积法计算内切球半径，最后再计算球的表面积即可. 【详解】侧面展开图扇形的弧长为，圆锥底边的半径满足，解得， 所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，底边长为1的等腰三角形，底边上的高为， 设内切球半径为，由等面积法可得，则． 所以内切球的表面积为． 故选：D． 24．（23-24高二下·甘肃武威·阶段练习）如图，若圆台的上､下底面半径分别为，且，则此圆台的内切球（与圆台的上､下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利用球体表面积公式求解即可. 【详解】设圆台上､下底面圆心分别为，则圆台内切球球心一定在中点处，    设球与母线切于点，（为球的半径）， 与全等，，同理 ， 圆台的内切球半径内切球的表面积. 故选：B. 25．（23-24高一下·广东广州·期中）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3） (1)试问该箱中有多少个这样的陀螺？ (2)如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？ 【答案】(1)个； (2). 【分析】（1）求出一个陀螺的体积，再求出其质量，然后可解； （2）利用圆锥和圆柱的表面积公式求出一个陀螺的表面积，然后可得. 【详解】（1）因为，所以， 圆锥部分的体积为，圆柱部分的体积为， 所以一个陀螺的体积为，质量为， 所以该箱中共有陀螺个. （2）易知， 则圆锥的侧面积为，圆柱侧面积为， 底面面积为， 所以一个陀螺的表面积为， 所以， 所以，给这箱陀螺的每个表面涂上颜料共需涂多少的颜料. 【题型06几何体的体积计算问题】 满分技法 1．等积变换 (1)直线a∥b(如图(1))，c是a上一点，则对于a上任一点D，有S△ABC＝S△ABD． (2)若平面α∥平面ABC，且平面α经过点D，则对于平面α内任一点P，有VD－ABC＝VP－ABC． (3)对于三棱锥A－BCD，有VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC． 2．割与补 当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补法． 26．（2023高二下·浙江·学业考试）上、下底面圆的半径分别为、，高为的圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为圆台的上、下底面圆的半径分别为、，高为， 所以. 故选：A 27．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，直线与的夹角为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正四棱台补形为正四棱锥，求出棱锥的高，即可得到棱台的高，再根据台体的体积公式计算可得. 【详解】依题意将正四棱台补形为正四棱锥，如下图所示： 、 因为直线与的夹角为，所以为边长为的等边三角形， 又，且，所以是的中位线， 设，则平面，且， 所以正四棱台的高， 所以四棱台的体积. 故选：D 28．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为，则它的母线长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据圆台的体积求出圆台的高，利用圆台轴截面基本量的计算求解母线长即可. 【详解】设圆台的高为h，则圆台的体积为，解得， 所以圆台的母线长为. 故选：D. 29．（2024高二下·天津南开·学业考试）一个圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与该圆柱的体积之比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设球的半径为，即可求出球、圆柱的体积，从而得解. 【详解】设球的半径为，则， 依题意圆柱的底面半径为，高为，所以， 所以. 故选：D 30．（22-23高一下·山东德州·期末）如图：三棱台的六个顶点都在球的球面上，球心位于上下底面所在的两个平行平面之间，，和分别是边长为和的正三角形．    (1)求三棱台的表面积； (2)计算球的体积． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）点分别是正和的中心，球的半径为，且三点共线，正三棱台的高为，在梯形中，由的长度求出的长度，即可求出侧面积从而求出表面积； （2）在中，，在中，，解出半径，根据球的体积公式即可求解. 【详解】（1）如图    设点分别是正和的中心，球的半径为，且三点共线，正三棱台的高为， 在等边中，由，得， 同理，得， 如下图，过点作，则在中，，， 所以正三棱台的高为3，在直角梯形中， ， 所以，所以正三棱台的斜高为，    正三棱台侧面积为， 又因为正三棱台上下两底的面积之和为 , 所以正三棱台表面积为. （2）在中，， 即，在中，， 即，两式联立解得：， 所以球的体积为：． 过关检测 1．（浙江省衢州市2023-2024学年高二下学期6月教学质量检测数学试题）某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出该圆锥的底面半径和母线长，再求圆锥的侧面积得解. 【详解】由题得底面圆的直径为， 所以该圆锥的底面半径为，母线长为1， 所以该圆锥的表面积为. 故选：A. 2．（23-24高一下·河南开封·阶段练习）用斜二测画法画三角形OAB的直观图，如图所示，已知，，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】在直观图中，计算出，从而得到. 【详解】画出三角形OAB的原图，如图所示： 在直观图中，，， 由勾股定理得，则在原图中，． 故选：B 3．（23-24高一下·河北邯郸·期末）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四棱柱的体对角线长等于其外接球直径求出球的半径，即可求得结果. 【详解】设正四棱柱的底面边长为，因为正四棱柱的高为6，体积为24， 所以，即，得，正四棱柱的各顶点都在一个球面上， 所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即， 所以球的半径为，球的表面积. 故选:B. 4．（23-24高三下·山东德州·开学考试）如图所示，某圆台型木桶（厚度不计）上下底面的面积分别为和，且木桶的体积为，则该木桶的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由台体的体积公式求出圆台的高，作出图象求出台体的母线长，再根据体积公式求解即可. 【详解】设上下底面的的半径分别为，高为， 所以，故， 因为木桶的体积为，所以， 所以，解得：， 设圆台的母线长为，如下图， 所以， 所以该木桶的侧面积为. 故选：D. 5．（多选）（辽宁省部分学校2023-2024学年高一下学期联考数学试题）已知某圆锥的高为2，轴截面面积为4，则（    ） A．该圆锥的母线长为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面积为 D．与该圆锥同底等高的圆柱的体积为 【答案】AD 【分析】根据题意，由轴截面的面积可得底面圆的半径，以及母线，然后结合圆锥的表面积公式以及体积公式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】设该圆锥的底面半径为，则，解得， 则该圆锥的母线长为，A正确. 该圆锥的体积为，B错误. 该圆锥的侧面积为，C错误. 与该圆锥同底等高的圆柱的体积为，D正确. 故选：AD 6．（23-24高一下·广东广州·期中）已知一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积等于，则正方体的表面积为 ． 【答案】 【分析】首先球的体积求出球的半径，再根据正方体的对角线为外接球的直径求出正方体的边长，进而求出正方体的表面积. 【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为， 因为球的体积等于，所以， 所以，所以正方体的体对角线为， 所以，所以， 所以正方体的表面积为. 故答案为：. 7．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为 ． 【答案】 【分析】设圆台的高为，根据题意，求得，结合圆台的侧面积公式，即可求解. 【详解】设圆台的高为，则，解得， 所以圆台的母线长为， 则圆台的表面积为. 故答案为：. 8．（23-24高一下·河南·阶段练习）若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】作出截面图形，由圆锥的侧面积公式结合题意计算可得. 【详解】 过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆， 且两圆同圆心，即的内心与外心重合，所以为正三角形， 由题意的半径为， 所以的边长为6， 所以圆锥的底面半径为3， 所以圆锥的侧面积． 故答案为：. 9．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）如图所示，正四棱台两底面的边长分别为4和8. (1)若其侧棱所在直线与上､下底面中心连线的夹角为，求该四棱台的表面积； (2)若其侧面积等于两底面面积之和，求该四棱台的体积. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用线线角去解直角三角形，就可以求出斜高，从而可求表面积； （2）利用题意可得方程去解出斜高，从而求出棱台的高，即可利用棱台体积公式求解. 【详解】（1） 如图，连接，设与交于点与交于点， 过点作交于点，过点作交于点，连接, 由题意知, 在中，， 又， 则， 故该四棱台的表面积. （2）设该正四棱台的斜高为，解得， 又该正四棱台的高， 故该四棱台的体积. 10．（21-22高一下·广东广州·期中）如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中，挖去一个高为的内接圆柱. (1)求圆柱的体积； (2)求挖去圆柱后剩余部分的表面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设求得圆锥体高为，进而确定圆柱底面半径，应用柱体的体积公式求体积. （2）由挖去圆柱后的表面积是圆锥表面积加上圆柱的侧面积，应用圆锥、圆柱表面积公式求表面积. 【详解】（1）由题设，圆锥体高为，而圆柱的高为， 所以圆柱底面半径，故圆柱体体积为. （2）由题意，圆锥表面积为，圆柱侧面积为， 挖去圆柱后的表面积是圆锥表面积加上圆柱的侧面积， 所以剩余部分的表面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 空间几何体 知识点1 ：斜二测画法 简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变． 知识点2：构成空间几何体的基本元素 1.空间中的点、线、面----构成几何体的基本元素 2.空间中点与直线、直线与直线的位置关系： （1）A∈l,A∉l； （2）直线与直线的位置关系的分类：共面直线平行、相交；m∩l=∅，m//l；m∩l≠∅，m∩l=B. 异面直线：空间中的两条直线，既不平行，也不相交，称这两条直线异面 3空间中直线与平面的位置关系 （1）直线与平面的位置关系：有且只有三种 ①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． （2）符号表示：直线l在平面α内，记为l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为l∩α＝M；直线l与平面α平行，记为l∥α． （3）图示：直线l在平面α内，如图a所示；直线l与平面α相交于点M，如图b所示；直线l与平面α平行，如图c所示． 4空间中平面与平面的位置关系： （1）有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点； ②两个平面相交——有一条公共直线． （2）符号表示：两个平面α、β平行，记为α∥β；两个平面α、β相交于直线l，记为α∩β＝l． （3）图示：两个平面α、β平行，如图a所示；两个平面α、β相交于直线l，如图b所示． 5.直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. （2）记法：l⊥α （3）有关概念： 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.它们唯一的公共点P叫做垂足. （4）图示与画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 6.距离： （1）点A到平面α的距离 （2）直线到平面的距离 （3）两平行平面之间的距离 知识点3 ：多面体 1.多面体：一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体. 2.棱柱、棱锥、棱台的结构 多面体 结构特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分 3.棱柱的简单性质： (1)侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形． (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图①所示． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图②所示． 4.棱柱概念的推广 (1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱． (2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱． (3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (4)平面六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形． (5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体． (6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体． 5.棱锥的性质： (1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形． (2)底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是三角形，如图②所示． 6.棱台的性质： (1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形． (2)两个底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形，如图②所示． 知识点4 ：旋转体 1.圆柱、圆锥、圆台、球的结构 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 2.圆柱的简单性质： (1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等． (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图①所示． (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图②所示． (4)过任意两条母线的截面是矩形，如图③所示． 3.圆锥的简单性质： (1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． (2)平行于底面的截面都是圆，如图①所示． (3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形，如图②所示． (4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图③所示． 4.圆台的简单性质： (1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点． (2)平行于底面的截面是圆，如图①所示． (3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图②所示． (4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图③所示． 5.球： 6.几何体面积计算公式 圆柱的侧面积 圆柱的表面积 圆锥的侧面积 圆锥的表面积 圆台的侧面积 圆台的表面积 球体的表面积 知识点5 ：几何体的体积 圆柱的体积 圆锥的体积 圆台的体积 球体的体积 正方体的体积 正方体的体积 题型归纳 【题型01 斜二测画法】 满分技法 1.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． 2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系： S直观图＝S原图形，S原图形＝S直观图． 3.解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系. 1．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是（    ） A． B．4 C．8 D． 2．（23-24高一下·福建福州·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 3．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知是的直观图，其中，轴，那么一定不是（    ）    A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 4．（23-24高一下·湖北·阶段练习）如图所示，用斜二测画法画出的水平放置的及边上中线的直观图是及，其中，试按此图判定原中的四条线段中最长的线段是 ；最短的线段是 . 【题型02点线面位置关系的判断与表示】 满分技法 点、线、面的位置关系的表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A∈l A在l外 A ∉l A在α内 A∈α A在α外 A ∉α l在α内 L ⊂α l在α外 L ⊄α 或 l，m相交于A l∩m＝A l，α相交于A L ∩α＝A α，β相交于l α∩β＝l 5．（10-11高一下·福建厦门·阶段练习）“点在直线上，在平面内”可表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（19-20高一·全国·课后作业）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（    ） A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 7．（16-17高二上·北京西城·期中）点P在直线a上，直线a在平面α内可记为（    ） A．Pa，aα B．Pa，aα C．Pa，a∈α D．P∈a，a∈α 8．（19-20高一·全国·课后作业）下面叙述中： ①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； ③若直线是平面的一条垂线，则直线垂直于平面内的所有直线； ④若直线垂直于平面，则称平面是直线的一个垂面． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（22-23高一·全国·随堂练习）用符号和图形表示下列语句： (1)，两点既在平面内，又在平面内，则直线是平面与平面的交线； (2)两条相交直线和都在平面内； (3)直线在平面内，直线在平面外，与相交于一点． 【题型03 多面体的结构特征】 满分技法 关注几何体中的矩形、直角三角形、直角梯形，灵活应用完成计算. 10．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）下列命题中正确的是（    ） A．梯形的直观图可能是平行四边形 B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 C．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 D．底面是矩形的直平行六面体是长方体 11．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）有下列命题： ①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱； ④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台． ⑤有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． 其中正确的命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（2024·北京·三模）在四棱锥中，底面为正方形，，，，则的周长为（    ） A．10 B．11 C． D．12 13．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一·全国·课后作业）长、宽、高分别为3、4，5的两个相同的长方体，把它们某两个全等的面重合在一起，组成大长方体，则大长方体对角线最长为 . 15．（20-21高一下·全国·课后作业）正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，侧棱长为9，则棱台的斜高等于 ． 16．（23-24高一下·河北石家庄·期中）如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为 ． 17．（辽宁省部分学校2023-2024学年高一下学期联考数学试题）在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则周长的平方的最小值为 . 18．（23-24高一下·云南·阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，，P是线段上一动点，则的最小值为 . 【题型04旋转体的结构特征】 满分技法 1.借助轴截面及侧面展开图，完成计算. 2.一般地，沿多面体或旋转体的表面最短距离(路程)问题，用侧面展开解决． 3．注意多面体、旋转体侧面(表面)的不同展开方法． 19．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为 . 【题型05几何体的面积计算问题】 满分技法 1.认真审题，准确计算． 2．常见的切与接问题： （1）球内切于旋转体(圆柱、圆锥、圆台)或旋转体内接于球，解题的关键是抓住轴截面中各几何量． （2）多面体(长方体、正方体、正四面体、正三棱锥、正四棱锥、正三棱柱等)内接于球．关键抓住球大圆及球小圆与多面体的顶点位置关系． （3）球内切于多面体，主要抓住球心到多面体各面的距离都等于球半径． 3.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略： （1）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题． （2）若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题． （3）处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等． 4.有关几何体外接球、内切球问题的常用结论 （1）棱长为的正四面体的斜高为，高为，外接球的半径为，内切球的半径为. （2）如果三棱锥的三条侧棱互相垂直，那么可以将其补形为长方体或正方体（三棱锥的三条侧棱相等时为正方体，不相等时为长方体），则长方体或正方体的外接球的球心即三棱锥的外接球球心，长方体或正方体的体对角线即三棱锥外接球的直径. （3）一个棱锥的内切球半径可以根据内切球球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积公式求得. 5.与球有关的组合体问题 (1)若一个长方体内接于一个半径为R的球，则2R＝ (a、b、c分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内接于球，则2R＝a(a为正方体的棱长)； (2)半径为R的球内切于棱长为a的正方体的每个面，则2R＝a． 21．（23-24高一下·天津·阶段练习）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知正三棱台的上底面与下底面的面积之比为1:4，当棱台的高为2，体积为时，则此时正三棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·陕西西安·模拟预测）已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（   ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·甘肃武威·阶段练习）如图，若圆台的上､下底面半径分别为，且，则此圆台的内切球（与圆台的上､下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（   ）    A． B． C． D． 25．（23-24高一下·广东广州·期中）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3） (1)试问该箱中有多少个这样的陀螺？ (2)如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？ 【题型06几何体的体积计算问题】 满分技法 1．等积变换 (1)直线a∥b(如图(1))，c是a上一点，则对于a上任一点D，有S△ABC＝S△ABD． (2)若平面α∥平面ABC，且平面α经过点D，则对于平面α内任一点P，有VD－ABC＝VP－ABC． (3)对于三棱锥A－BCD，有VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC． 2．割与补 当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补法． 26．（2023高二下·浙江·学业考试）上、下底面圆的半径分别为、，高为的圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，直线与的夹角为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为，则它的母线长为（    ） A． B． C． D．5 29．（2024高二下·天津南开·学业考试）一个圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与该圆柱的体积之比为（    ）． A． B． C． D． 30．（22-23高一下·山东德州·期末）如图：三棱台的六个顶点都在球的球面上，球心位于上下底面所在的两个平行平面之间，，和分别是边长为和的正三角形．    (1)求三棱台的表面积； (2)计算球的体积． 过关检测 1．（浙江省衢州市2023-2024学年高二下学期6月教学质量检测数学试题）某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南开封·阶段练习）用斜二测画法画三角形OAB的直观图，如图所示，已知，，则（    ） A． B． C．2 D．4 3．（23-24高一下·河北邯郸·期末）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·山东德州·开学考试）如图所示，某圆台型木桶（厚度不计）上下底面的面积分别为和，且木桶的体积为，则该木桶的侧面积为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（辽宁省部分学校2023-2024学年高一下学期联考数学试题）已知某圆锥的高为2，轴截面面积为4，则（    ） A．该圆锥的母线长为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面积为 D．与该圆锥同底等高的圆柱的体积为 6．（23-24高一下·广东广州·期中）已知一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积等于，则正方体的表面积为 ． 7．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）一个圆台的上、下底面的半径分别为和，体积为，则它的表面积为 ． 8．（23-24高一下·河南·阶段练习）若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则该圆锥的侧面积为 ． 9．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）如图所示，正四棱台两底面的边长分别为4和8. (1)若其侧棱所在直线与上､下底面中心连线的夹角为，求该四棱台的表面积； (2)若其侧面积等于两底面面积之和，求该四棱台的体积. 10．（21-22高一下·广东广州·期中）如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中，挖去一个高为的内接圆柱. (1)求圆柱的体积； (2)求挖去圆柱后剩余部分的表面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$