11.1.1 空间几何体与斜二测画法(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦“空间几何体与斜二测画法”核心知识点，先引导学生从实际物体（如水立方）抽象出空间几何体，理解其定义与常见类型，再系统讲解斜二测画法的规则，包括平面图形直观图的作图步骤（斜坐标系建立、线段长度变化）和立体图形直观图的绘制方法，形成从抽象到直观的学习支架。 该资料以“水立方抽象成长方体”问题导入，结合判断正误、跟踪训练等互动设计，通过平面与立体直观图的画法示例及还原计算题型，培养学生数学抽象与直观想象素养。课中助力教师引导学生动手操作，课后学生可通过母题探究和通性通法总结巩固知识，有效查漏补缺。

11.1.1　空间几何体与斜二测画法 1.认识实际生活中各种各样的几何体（数学抽象）. 2.掌握斜二测画法的作图规则（直观想象）. 3.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图（直观想象）. 图中的国家游泳中心（又称“水立方”）可以抽象成一个几何体——长方体. 【问题】　你能画出一个长方体吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　 知识点一　空间几何体 1.定义：如果只考虑一个物体占有的空间　　　　　和　　　　　，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体. 2.常见空间几何体： 知识点二　用斜二测画法作平面图形的直观图的步骤 　　提醒：对斜二测画法的理解：①“斜”：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），即y'轴是斜的，反映投影线是斜的；②“二测”：平行于x轴，z轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，即有“两种测度”. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.（　　） （2）在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.（　　） （3）用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.（　　） （4）用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变.（　　） 2.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的（　　） 3.下列几何体分别是　　 　　、　　 　　、　　 　　. 知识点三　用斜二测画法作立体图形的直观图的步骤 一般地，用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下： （1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的　　　　（保留　　　与　　　）. （2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过　　　与　　　的交点作z轴对应的z'轴，且z'轴垂直于　　　.图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z'轴平行（或重合）的线段，且长度　　　　，连接有关线段. （3）擦去有关辅助线，并把　　　　　　　　改成虚线（或擦除）. 【想一想】 空间几何体的直观图中实、虚线表示什么意思？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）画空间几何体的直观图时，为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示.（　　） （2）正方体的直观图仍然是正方体.（　　） 2.若把一个高为10 cm的棱柱的底面画在x'O'y'平面上，则棱柱的高应画成（　　） A.平行于z'轴且大小为10 cm B.平行于z'轴且大小为5 cm C.与z'轴成45°且大小为10 cm D.与z'轴成45°且大小为5 cm 题型一｜平面图形直观图的画法 【例1】　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图. 尝试解答 通性通法 画平面图形直观图的技巧 （1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点； （2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段. 【跟踪训练】 用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形OBCD的直观图. 题型二｜空间几何体的直观图 【例2】　画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图. 尝试解答 通性通法 画空间图形直观图的原则 （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系O-xyz，并且把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z'轴与平面x'O'y'垂直； （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段，并且长度不变； （3）平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段，且线段长度画成原来的一半； （4）平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段，并且长度不变. 【跟踪训练】 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图. 题型三｜直观图的还原与计算 【例3】　如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y'，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O'D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积. 尝试解答 【母题探究】 　（变条件）若本例中的条件变为：“如图所示的直角梯形是一平面图形的直观图，若∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC”，求原图形的面积. 通性通法 1.直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴，y'轴平行的直线或线段，且平行于x'轴的线段还原时长度不变，平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可. 2.直观图与原图面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S'，则有S'＝S或S＝2S'.利用这一公式可由原图形面积直接求其直观图面积或由直观图面积直接求原图形面积. 【跟踪训练】 已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A'B'C'的面积为（　　） A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是（　　） A.直角三角形的直观图仍是直角三角形 B.梯形的直观图是平行四边形 C.正方形的直观图是菱形 D.平行四边形的直观图仍是平行四边形 2.如图，△O'A'B'是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB中OA边上的高等于（　　 ） A.4　　　　　　　　B.2 C.2 D. 3.如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，2），则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B'到x'轴的距离为　　　　. 4.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'＝O'B'＝1，B'C'＝1，则四边形ABCD的周长为　　　　　. 提示：完成课后作业　第十一章　11.1　11.1.1 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1　空间几何体 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.形状　大小 知识点二 45°　135°　不变　一半 自我诊断 1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）× 2.C　正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1. 3.球　圆柱　圆锥 知识点三 （1）直观图　x'轴　y'轴　（2）x'轴　y'轴　x'轴　不变 （3）被面遮挡住的线段 想一想 　提示：在用斜二测画法画立体图形时，实线表示看得见的部分，虚线表示看不见（被遮挡）的部分. 自我诊断 1.（1）√　（2）× 2.A　平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.故选A. 【典例研析】 【例1】　解：画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°. （2）以O'为中点在x'轴上取A'B'＝AB，在y'轴上取O'E'＝OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD. （3）连接B'C'，D'A'，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图. 跟踪训练 解：（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示. （2）画出相应的x'轴、y'轴，使它们相交于O'点，且∠x'O'y'＝45°，如图②所示，在x'轴上取点B'，E'，使得O'B'＝OB，O'E'＝OE；在y'轴上取点D'， 使得O'D'＝OD；过点E'作E'C'∥y'轴， 使E'C'＝EC. （3）连接B'C'，C'D'，并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O'B'C'D'就是所求的直观图. 【例2】　解：画法：（1）画轴.画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy＝45°（或135°），∠xOz＝90°，如图. （2）画底面.以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD. （3）画顶点.在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高. （4）成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图. 跟踪训练 解：（1）画轴.如图①，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD（如图①）. （3）画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'（如图①）. （4）成图.顺次连接点A'，B'，C'，D'，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，就得到长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图（如图②）. 【例3】　解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O'D1＝1，OC＝O'C1＝2. 在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形（如图）. 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2. 所以面积为S＝×2＝5. 母题探究 解：如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝. 而四边形AECD为矩形，AD＝1， 所以EC＝AD＝1.所以BC＝BE＋EC＝＋1. 由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形. 在原图形中，A'D'＝1，A'B'＝2，B'C'＝＋1，且A'D'∥B'C'，A'B'⊥B'C'， 所以原图形的面积为S＝（A'D'＋B'C'）·A'B'＝××2＝2＋. 跟踪训练 D　图1，图2分别为正三角形ABC的实际图形和直观图. 由图2可知，B'C'＝BC＝a，O'A'＝OA＝a，在图2中作A'D'⊥B'C'于点D'，则A'D'＝O'A'＝a，所以S△A'B'C'＝B'C'·A'D'＝×a×a＝a2. 随堂检测 1.D　由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确. 2.A　由题意可知，OA⊥OB，且OB＝2OB'＝4，即OA边上的高为4. 故选A. 3.　 解析：画出直观图，BC对应B'C'，且B'C'＝1，∠B'C'x'＝45°，故顶点B'到x'轴的距离为. 4.10　 解析：由题设知原四边形中AB＝CD＝A'B'＝C'D'＝2且AB∥CD，所以原四边形ABCD为平行四边形，而O'C'＝，则原四边形中OC＝2，故AD＝BC＝＝3.综上，四边形ABCD的周长为AB＋CD＋AD＋BC＝10. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $