第6节 二次函数与幂函数-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第二章　函数 第6节　二次函数与幂函数 【知识梳理】 1．幂函数 (1)幂函数的定义：一般地，函数____________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点__________和____________，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点__________，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为________________；当α为偶数时，y＝xα为____________． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝_____________________________. 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为____________． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的____________． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 值域 对称轴 x＝________ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是________函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递______； 在上单调递______ 在上单调递____； 在上单调递_____ 【真题呈现】 1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 【专题训练】 一、单选题 1．设函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 2．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C．0 D．3 3．已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，，是正实数．若存在唯一的实数，满足，则的最小值为（    ） A．46 B．48 C．52 D．64 6．若 ，则（   ） A． B． C． D． 7．已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知，若在上恒成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知幂函数在上单调递减，若在上不单调，则实数的可能取值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 10．已知是上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．的递增区间为 C．的递减区间为 D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 11．已知二次函数为常数)的对称轴为，其图象如图所示，则下列选项正确的有（    ）    A． B． C． D．关于的不等式的解为或 三、填空题 12．已知当时，函数的最大值为，则的值为 13．已知幂函数为奇函数.则 . 14．若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 15．已知函数满足，且. (1)求的解析式； (2)求的值，使在区间上的最小值为. 16．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. (1)求的解析式； (2)设，若在上是单调函数，求实数的取值范围. 17．已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 18．已知函数在区间上有最大值11和最小值3，且． (1)求的值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 19．已知二次函数， (1)判断当和时，的奇偶性，并说明理由 (2)若函数的定义域和值域均为，求实数的值； (3)若函数在区间上单调递减，且对任意的，总有成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章　函数 第6节　二次函数与幂函数 【知识梳理】 1．幂函数 (1)幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 【常用结论】 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，x∈[m，n]. (1)当－≤m时，最小值为f (m)，最大值为f (n)； (2)当m＜－时，最小值为f ，最大值为f (n)； (3)当＜－≤n时，最小值为f ，最大值为f (m)； (4)当－＞n时，最小值为f (n)，最大值为f (m)． 【真题呈现】 1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是.故选：D 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】由在R上递增，则， 由在上递增，则.所以.故选：D 3．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 【解析】因为，故.故答案为：C. 【专题训练】 一、单选题 1．设函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【解析】由题意可得①；②． 令，由①得：， 令，由②得，因为， 所以，即. 令，由①得， 解得，所以．故选：D． 2．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（   ） A． B． C．0 D．3 【解析】因为是幂函数， 所以，解得或，又在上是减函数，则，即， 所以，此时，易知其为偶函数，符合题意.故选：B. 3．已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为.故选：C 4．已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】要使函数在区间上有最大值或最小值，由于开口向上， 故需函数在区间上有最小值，且． 该函数图像的对称轴为直线，所以， 解得，所以，且，即实数的取值范围为．故选：B． 5．已知函数，，是正实数．若存在唯一的实数，满足，则的最小值为（    ） A．46 B．48 C．52 D．64 【解析】根据函数，是正数，且存在唯一的实数，满足,可得，即，由，则， 所以，故，故选：B 6．若 ，则（   ） A． B． C． D． 【解析】由题意得， 由于在上单调递增，故； 而在上单调递减，故，故，故选：A 7．已知幂函数为偶函数，若函数在区间上为单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为函数为幂函数，则， 即，解得或， 当时，为偶函数，合乎题意； 当时，为非奇非偶函数，不合乎题意. 所以，，则， 二次函数的对称轴为直线. ①若函数在上为增函数，则，解得； ②若函数在上为减函数，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是.故选：B. 8．已知，若在上恒成立，则实数a的范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】法一：当时，，由于在上单调递减， 故，则，所以， 即在恒成立，令 由于，，故只需，即，解得， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时， 由得，即在恒成立， 令，由于， 故只需，解得， 当时，，此时， 由得，即在恒成立， 令，只需，解得，综上，与取交集得，； 法二：画出在上的图象与的图象， 其中，要想在上恒成立，则. 故选：B 二、多选题 9．已知幂函数在上单调递减，若在上不单调，则实数的可能取值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【解析】由幂函数，可得，即，解得或， 当时，可得在上单调递减，符合题意； 当时，可得在上单调递增，不符合题意； 又由函数在上不单调，则满足， 即，解得， 结合选项，可得选项BC符合题意.故选：BC. 10．已知是上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．的递增区间为 C．的递减区间为 D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 【解析】是奇函数，时， ，故A正确. 令则，由于函数为奇函数，故. 所以函数的解析式为. 当时，，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 且在处有意义，所以的递增区间为，的递减区间为，故B不正确，C正确. 当时，的递减区间为，递增区间为， ，所以实数的取值范围为，D正确. 故选：ACD. 11．已知二次函数为常数)的对称轴为，其图象如图所示，则下列选项正确的有（    ）    A． B． C． D．关于的不等式的解为或 【解析】由图知，当时，， 设的两根分别为，两根均大于0，则，， 所以，故A错误； 由，（因为故取不到等号），所以，所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 对D：等价于：， 等价于：，（) 等价于：， 等价于：，其解为或.故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．已知当时，函数的最大值为，则的值为 【解析】函数的对称轴为， 当，即时，，解得或（舍）； 当，即时，， 解得或（舍），综上知，的值为2或-1. 13．已知幂函数为奇函数.则 . 【解析】依题意，，解得或， 当时，函数是偶函数，不符合题意， 当时，函数是奇函数，符合题意，所以. 14．若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . 【解析】令，，所以在上单调递增，在上单调递减， 又，作出函数的大致图象，    由于函数在区间上有最大值， 结合图象，由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围是 四、解答题 15．已知函数满足，且. (1)求的解析式； (2)求的值，使在区间上的最小值为. 【解析】（1）因为，所以； （2）， 所以对称轴为直线， ①当时，在上单调递增， 所以，解得，不符合条件； ②当时，， 解得或者，都符合条件； ③当时，在上单调递减， 所以，解得，不符合条件， 故或者. 16．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. (1)求的解析式； (2)设，若在上是单调函数，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根，且二次函数的开口向上， 则可设，， 即， 由的图象过点，可得，解得， 所以，即. （2）因为，对称轴， 因为在上是单调函数，所以或，解得或， 即实数的取值范围. 17．已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 【解析】（1）是幂函数， ，解得或，则或， 又的图象关于轴对称，即为偶函数，所以. （2）由（1）可知，，对称轴为． 函数在区间上单调， 令或，解得或，即． 18．已知函数在区间上有最大值11和最小值3，且． (1)求的值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数图象的对称轴为，显然函数在上单调递增， 因此，，解得， 所以. （2）由（1）知，，， 因此不等式， 令，由，得，则， 显然函数在上单调递增，当时，， 由不等式在上有解，得， 所以实数的取值范围是. 19．已知二次函数， (1)判断当和时，的奇偶性，并说明理由 (2)若函数的定义域和值域均为，求实数的值； (3)若函数在区间上单调递减，且对任意的，总有成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，定义域为, 此时，此时为偶函数； 当时, ， 由于且，所以为非奇非偶函数， （2），开口向上，对称轴是，在,递减， ，,故； （3）函数的对称轴是，则其单调减区间为,， 因为在区间,上是减函数，所以，即．则， 因此任意的,,，总有，只需即可， 即，即， 解得：，又，因此,． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$