精品解析：山西省吕梁市汾阳市海洪初级中学校2023-2024学年七年级下学期月考数学试题

2023-2024学年度第二学期期末教学评估 七年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 下列实数中，无理数的是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 已知点在第四象限，且，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将一个直角三角板按如图的方式摆放，已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，等腰直角三角尺（）的两个底角顶点分别在直线上，边与直线交于点．若平分，则的度数为（ ） A. 60° B. 67.5° C. 70° D. 75° 6. 已知是关于a、b的二元一次方程组，求是（ ） A. 15 B. 3 C. 9 D. 12 7. 丽江古城是一个闻名遐迩的历史文化名城，春节期间相关部门对游客到丽江观光的出行方式进行随机抽样调查，根据调查情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（ ） A. 扇形统计图中的为 B. 本次抽样调查的样本容量是1000 C. 在扇形统计图中，“其他”对应的扇形圆心角度数为 D. 选择“公共交通”出行方式的人数为500 8. 如果不等式的解集为， 则a必须满足（ ） A. B. C. D. 9. 成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一个点在第一、四象限运动，在第1次，它从运动到点，用了1秒，然后以折线状向右运动，即 …，它每运动一次需要1 秒，那么第2024秒时点所在位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后所得点的坐标为______． 12. 如图，，，若，则的大小是______（度）． 13. 某次知识竞赛共有20道选择题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣3分，若小刚希望总得分不少于70分，则他至少需答对___________道题． 14. 为了解某区初中学生每月参加社团活动时间的情况，随机抽查了名学生的社团活动时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知该区初中生共有名，依此估计，该区每月参加社团活动的时间不少于小时的学生数大约是______名． 15. 图1是我国古代传说中的洛书，图2是其数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. （1）解方程组 （2）解不等式，并在数轴上表示解集． 17. 为增强学生安全意识，南宁市某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请补全频数分布直方图； （3）若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的名学生中达到“优秀”等级的学生人数． 18. 如图，在平面直角标中，已知的三个顶点坐标分别为． （1）将向右平移个单位后得到，请画出 ； （2）请直接写出的面积； （3）定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为“整点”，请直接写出内部所有的整点的坐标． 19. 如图，已知点在直线上，点在线段上，与相交于点，求的度数．（完成下列填空） 证明：（已知）， 且（__________）， （等量代换） （__________）， （__________）， （已知） __________（__________）， （__________）， __________（__________）， （已知）， __________． 20. 2023年中国新能源汽车销量再创新高，比亚迪增势最为强劲，在比亚迪众多生产基地中，长沙比亚迪是一股重要的力量．比亚迪油电混动汽车备受青睐，因为其既可以用纯油模式行驶，也可以切换成纯电模式行驶．若比亚迪某型号油电混动汽车从甲地行驶到乙地，纯电路段行驶，纯油路段行驶，电费油费一共花费仅需70元．已知汽车行驶中每千米所需的油费比电费多0.6元 （1）求汽车行驶中每千米需要的油费和电费分别是多少元？ （2）若汽车从甲地到乙地，部分路段使用纯电模式行驶，其余路段采用纯油驱动，若所需的油电费用合计不超过88元，则至少需要在纯电模式下行驶多少千米？ 21. 阅读与思考： 我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小．数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题： （1）借助网格，并用尺规画出与在数轴上的位置； （2）根据与在数轴上的位置，可得__________；（选填“>”．“<＂或“=”） （3）若为的小数部分，为的整数部分，求． 22. 学科实践： 【驱动任务】： 第33届夏季奥森匹克运动会（Games of the XXXIII Olympiad），又称2024年巴黎奥运会，将于2024年7月26日到2024年8月11日在法国首都巴黎举办．为了迎接巴黎奥运会．某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．数学研习小组协助商店进行销售及采的方案设计． 【研究要素】： 已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣共花费130元．已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期末考试，王老师打算给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额． 【问题解决】： 根据以上素材和相关数据，完成下列任务： 任务1：假设明信片的售价为元/套，钥匙扣的住价为元个，问：__________（用含的代数式表示），请协助解决问题． 任务2：基于任务1的假设和素材条件，请尝试求出吉样物钥匙扣和明信片的售价． 【拟定设计方案】 任务3：请结合素材中的信息，帮助王老师完成此次促销活动可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高？ 23. 综合与实践： 【图形感知】： 如图，，点在直线上，点在直线上，点为，之间一点 （1）如图，，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图，过点作， ∵，（已知）， ∴__________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（__________） ∴（等式性质）， ∴， （2）如图，，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面的结论推理，，之间的关系； 【综论应用】： 直接利用上述结论进行证明； （3）如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点，与相交于点．猜想并证明与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期末教学评估 七年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 下列实数中，无理数的是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数． 根据无限不循环小数是无理数判定即可． 【详解】解：A、5是整数，不是无理数，故此选项不符合题意； B、是分数，不是无理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是整数，不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知点在第四象限，且，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，以及点的坐标；根据，得出，结合点在第四象限这个条件，得出，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 故选：D． 3. 如图，将一个直角三角板按如图的方式摆放，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角度，根据两直线平行，内错角相等即可得解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解不等式组和解集的表示，根据不等式组的解法分别将两个不等式的解集解出来，再用数轴表示即可． 【详解】 由①得， 由②得， 在数轴上表示为: 故选C． 5. 如图，直线，等腰直角三角尺（）的两个底角顶点分别在直线上，边与直线交于点．若平分，则的度数为（ ） A. 60° B. 67.5° C. 70° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，以及角平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．先利用等腰直角三角形的性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】 是等腰直角三角形，， ， 平分， ， ， ， 故选：B 6. 已知是关于a、b的二元一次方程组，求是（ ） A. 15 B. 3 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接把方程组中两个方程相加可得，则． 【详解】解：把方程组中两个方程相加可得， ∴， 故选：B． 7. 丽江古城是一个闻名遐迩的历史文化名城，春节期间相关部门对游客到丽江观光的出行方式进行随机抽样调查，根据调查情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息，下列结论错误的是（ ） A. 扇形统计图中的为 B. 本次抽样调查的样本容量是1000 C. 在扇形统计图中，“其他”对应的扇形圆心角度数为 D. 选择“公共交通”出行方式的人数为500 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；根据各部分百分比之和等于1可得a的值；根据“其他”人数及其对应的百分比可得样本容量；用乘可得“其他”对应的圆心角度数；用总人数乘以对应的百分比可得选择“公共交通”出行的人数． 【详解】解：、扇形统计图中的为，故本选项不符合题意； 、本次抽样调查的样本容量是，故本选项不符合题意； 、“其他”对应的扇形圆心角度数为，故本选项不符合题意； 、选择“公共交通”出行方式的人数为人，故本选项符合题意； 故选：． 8. 如果不等式的解集为， 则a必须满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质3． 首先确定，那么系数化1时得到或，由不等号方向发生改变确定，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集为 ∴， 解得． 故选：B． 9. 成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行调整，从晚上的粮食中取千克放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据调整前和调整后分别列式，可列二元一次方程组，即可选出答案． 【详解】解：∵调整前早上的粮食是千克，晚上的粮食是千克，且早上的粮食是晚上的， ∴． ∵老翁从晚上的粮食中取千克放在早上投喂后， ∴早上粮食为千克，晚上粮食为千克， ∵调整后早上的粮食是晚上的， ∴， ∴可列方程组， 故选B． 10. 如图，一个点在第一、四象限运动，在第1次，它从运动到点，用了1秒，然后以折线状向右运动，即 …，它每运动一次需要1 秒，那么第2024秒时点所在位置的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内点坐标规律探索，根据已知图形及运动一次所需时间，可知第n秒时点所在位置的横坐标为n，纵坐标按照，，，的顺序循环，由此可解． 【详解】解：由题意知，第n秒时点所在位置的横坐标为n，纵坐标按照，，，的顺序，每4秒循环一次， ， 第2024秒时点所在位置的纵坐标为， 第2024秒时点所在位置的坐标是， 故选D． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后所得点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后所得点的坐标为，即， 故答案为：． 12. 如图，，，若，则的大小是______（度）． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余以及平行线的性质，先根据，，得出，结合，得出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：30． 13. 某次知识竞赛共有20道选择题，规定答对一道题得10分，答错或不答一道题扣3分，若小刚希望总得分不少于70分，则他至少需答对___________道题． 【答案】10 【解析】 【分析】根据竞赛得分＝10×答对的题数+（﹣3）×未答对的题数，根据得分不少于70分，列出不等式求解即可； 【详解】解：设要答对道，由题意可得：， 解得：， 根据必须为整数，故取最小整数， 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式的实际应用，解题的关键是根据题意设未知数，并且找到不等量关系列出不等式． 14. 为了解某区初中学生每月参加社团活动时间的情况，随机抽查了名学生的社团活动时间进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知该区初中生共有名，依此估计，该区每月参加社团活动的时间不少于小时的学生数大约是______名． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，样本估计总体，用乘以参加社团活动的时间不少于小时的学生数占比即可求解，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：， ∴估计该区每月参加社团活动的时间不少于小时的学生数为名， 故答案为：． 15. 图1是我国古代传说中的洛书，图2是其数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类，根据题意列出等式，即可求得答案，解答本题的关键是理解题意，准确进行计算． 【详解】解：由题可得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. （1）解方程组 （2）解不等式，并在数轴上表示解集． 【答案】（1） （2）， 在数轴上的表示如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接利用加减消元求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，求解即可． 【详解】（1）解： ①，得③， ②+③，得 解得， 把代入①，得. 解得， ∴这个方程组的解为． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴这个不等式的解集为． 17. 为增强学生安全意识，南宁市某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）请补全频数分布直方图； （3）若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的名学生中达到“优秀”等级的学生人数． 【答案】（1）150；36 （2） 补全频数分布直方图如下： （3）480人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体： （1）利用等的百分比及频数可求得，利用等的频数除以总人数再乘即可求解； （2）利用先求出等学生人数，再根据等学生人数进行补全频数分布直方图即可； （3）利用样本评估总体的方法即可求解； 能从频数分布直方图及扇形统计图中获取相关信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：150；36． 【小问2详解】 等学生人数有：（人）． 【小问3详解】 （人）， 答：估计该校参加竞赛的名学生中达到“优秀”等级的学生人数有人． 18. 如图，在平面直角标中，已知的三个顶点坐标分别为． （1）将向右平移个单位后得到，请画出 ； （2）请直接写出的面积； （3）定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为“整点”，请直接写出内部所有的整点的坐标． 【答案】 （1）如图所示：△即为所求； （2）S△ABC=4.5； （3）内部所有的整点的坐标为：，，． 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用将分割成两个三角形进而得出答案； （3）直接利用所画图形得出符合题意的点． 【详解】解：（1）略 （2）； （3）略 【点睛】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 19. 如图，已知点在直线上，点在线段上，与相交于点，求的度数．（完成下列填空） 证明：（已知）， 且（__________）， （等量代换） （__________）， （__________）， （已知） __________（__________）， （__________）， __________（__________）， （已知）， __________． 【答案】 证明：（已知） 且（对顶角相等） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （已知） ∴，（等量代换） （内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知） ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．根据同位角相等两直线平行，可证，进而利用平行线的性质和判定证明． 【详解】略． 20. 2023年中国新能源汽车销量再创新高，比亚迪增势最为强劲，在比亚迪众多生产基地中，长沙比亚迪是一股重要的力量．比亚迪油电混动汽车备受青睐，因为其既可以用纯油模式行驶，也可以切换成纯电模式行驶．若比亚迪某型号油电混动汽车从甲地行驶到乙地，纯电路段行驶，纯油路段行驶，电费油费一共花费仅需70元．已知汽车行驶中每千米所需的油费比电费多0.6元 （1）求汽车行驶中每千米需要的油费和电费分别是多少元？ （2）若汽车从甲地到乙地，部分路段使用纯电模式行驶，其余路段采用纯油驱动，若所需的油电费用合计不超过88元，则至少需要在纯电模式下行驶多少千米？ 【答案】（1）汽车行驶中每千米需要的电费是0.2元，每千米需要的油费是0.8元 （2）至少需要纯电模式下行驶120千米 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设汽车行驶中每千米需要的电费是x元，每千米需要的油费是y元，根据“汽车在纯电路段行驶，纯油路段行驶，电费油费一共花费仅需70元，且汽车行驶中每千米所需的油费比电费多0.6元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设汽车在纯电模式下行驶了m千米，则在纯油模式下行驶了千米，根据所需的油电费用合计不超过88元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 设汽车行驶中每千米需要的电费是x元， 每千米需要的油费是y元，则， 解之得 答：汽车行驶中每千米需要的电费是0.2元，每千米需要的油费是0.8元． 【小问2详解】 设汽车用电行驶了m千米，则用油行驶了千米； 由题意得， 解之得． 答：至少需要纯电模式下行驶120千米． 21. 阅读与思考： 我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小．数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题： （1）借助网格，并用尺规画出与在数轴上的位置； （2）根据与在数轴上的位置，可得__________；（选填“>”．“<＂或“=”） （3）若为的小数部分，为的整数部分，求． 【答案】（1） 如图，点A为，点B为， （2）> （3） 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，准确的用数轴上的点表示实数并用数轴比较大小及估算无理数大小是本题解题关键． （1）以为斜边的直角三角形的直角边为1和2，以为斜边的直角三角形的直角边为1和3，以此为已知尺规作图即可； （2）由（1）中数轴可直观比较； （3）求出的小数部分和整数部分，再代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵数轴上右边的点大于左边的点， ∴由图得，为， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴，， ∴ ． 22. 学科实践： 【驱动任务】： 第33届夏季奥森匹克运动会（Games of the XXXIII Olympiad），又称2024年巴黎奥运会，将于2024年7月26日到2024年8月11日在法国首都巴黎举办．为了迎接巴黎奥运会．某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．数学研习小组协助商店进行销售及采的方案设计． 【研究要素】： 已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣共花费130元．已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期末考试，王老师打算给学生准备奖品，在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，本次交易商家一共获得600元的销售额． 【问题解决】： 根据以上素材和相关数据，完成下列任务： 任务1：假设明信片的售价为元/套，钥匙扣的住价为元个，问：__________（用含的代数式表示），请协助解决问题． 任务2：基于任务1的假设和素材条件，请尝试求出吉样物钥匙扣和明信片的售价． 【拟定设计方案】 任务3：请结合素材中的信息，帮助王老师完成此次促销活动可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高？ 【答案】任务1：；任务2：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；任务3：购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，得； 任务2：根据小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，得，可解得答案； 任务3：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张，得：，由是非负整数，可求出的值，再计算每种方案商家的利润，比较可得答案． 【详解】解：任务1： 一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元， ． 故答案为：． 任务2： 由素材2，得， 解得， （元）， 答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元． 任务3： 设购买吉祥物钥匙扣个，明信片套， 根据题意，得， ． 是非负整数，， 吉祥物钥匙扣每件利润为（元），明信片每套利润为（元）， 购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套，商家获利元； 购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套，商家获利元； 购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套，商家获利元； 购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高． 23. 综合与实践： 【图形感知】： 如图，，点在直线上，点在直线上，点为，之间一点 （1）如图，，该基本图形称为“铅笔头型”（实线部分），它有一个常用数学结论：，它可以通过如下方法证明，请你帮忙完成该结论的推理过程． 证明：如图，过点作， ∵，（已知）， ∴__________（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（__________） ∴（等式性质）， ∴， （2）如图，，该基本图形称为“型”（实线部分），仿照上面的结论推理，，之间的关系； 【综论应用】： 直接利用上述结论进行证明； （3）如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，直线，分别平分，，且交于点，与相交于点．猜想并证明与的数量关系． 【答案】（）；两直线平行，同旁内角互补； （）如图， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （），理由如下： 由（）得，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（）根据平行公理求出，根据“两直线平行，同旁内角互补”求出 ，，再根据角的和差求解即可； （）根据平行公理求出，根据“两直线平行， 内错角相等”求出，，再根据角的和差求解即可； （）结合（）结论及角平分线定义求解即可； 本题考查了平行线的判定与性质，平行公理和角平分线的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）如图，过点作， ∵，（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∴（等式性质）， ∴， 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补； （）略 （）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $