第三篇 第二章 换元法-【衡水金卷·先享题】数学初高中知识衔接手册

师知识画丽 换元就是引入辅助未知数，把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式 来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法， 盒市间标宽 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将 问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通 过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关键是选择适当的式子进行代换 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小：若新变 量的取值范围被扩大了，则在求解之后要加以检验。 解方程x十I+x-I-√-I=x. 【分析】本题是一个无理方程，若直接求解则无法入手，此时运用换元法化繁为简，进而能够快 速准确地解出题目， 解：设√x+I+√x-I=y,那么y2=2x十2√x2-1 原方程转化为y一2y2=0,解得y=0或y=2. 当y=0时，√x+1十√x-1=0(无解)： 当)=2时十+一=2，解得x=5,检验（略）. ■解方程2x+3.x3-16.x2+3x十2=0. 【分析】从本例中令x十上=y之后，可以把方程化简为2y十3y一20=0，再运用一元二次方程 的知识进行求解，达到化繁为简，化难为易，沟通已知和未知联系的目的。 解：易知x=0不是方程的根，方程两边除以2得：2r2+3x-16十3+马 =0,整理得 2(x+)+3x+)16=0, 设x+y,则r+=少-2，原方程转化为2y+3y一20=0.解得y=-4或y= 由y=-4得x=-2+3或x=-2-3:由y=号得=2或x=2 13 总结：换元法的一般步骤是元（或构造元转华求解 等量代换，回因 等价原则检验 分解因式(x十y)(x+y十2.xy)+(xy十1)(xy-1). 【分析】用传统方式先去括号，再做分解工作量很大，在此可以把x十y,xy看作整体， 解：设x+y=a,xy=b,则原式=a(a+2b)+(b+1)(b-1)=a+2ab十b-1=(a+b)2-1= (a+b+1)(a+b-1)=(xy+x+y+1)(xy+x+y-1)=(x+1)(y+1)(xy+x+y-1). 已知f(x)=2.x-3,求f[f(x)]和f{f[f(x)]. 【分析】求f[f(x)]和f{f[f(x)]},即求该复合函数的解析表达式.首先要明确该复合函数的 意义，f[f(x)]=2f(x)-3,f{f[f(x)]}=2fLf(x)]-3. 解：f[f(x)]=2f(x)-3=2(2x-3)-3=4.x-9. f{f[f(x)]}=2f[f(x)]-3=2(4x-9)-3=8.x-21. 由于f[f(x)]=4x一9，所以要将4x-9看作一个整体去置换2f[f(x)]-3中的 f[f(x)],即具体是用4x一9去置换原函数解析式2x一3中的x,从而得到f(f[f(x)]}的解 析表达式。 此题的目的是加强换元意识中的“整体观”，将已知条件的一部分有机联系起来，看成是一 个整体，然后进行整体的置换，这样的换元方法，我们就称它为“整体换元法” 1.设实数x,y满足x2十2xy一1=0，则x十y的取值范围是 2.方程十3 1+37 =3的解是 3求证：-<xV-7≤2 目国 单三意 1.已知>0>0,2x+y=1,求证：+}>3+22. 2已知函数一D=十子一2，求)的表达式。 1.解：，x”+2.xy-1=0,.x2+2xy+y2-1=y2,即(x+y)2=y2+1≥1，.x+y≥1 或x+y≤-1. +1 2据：令=>0.则千=3，即千-}31=号则3=号所以=-1. 3.证明：令√1一x2=y,则有x2十y2=1,x√1-x=xy,因为(x-y)2=x2十y2-2xy≥0，所 以2+y≥2xy,即y<告Y=:又(x+y)=+y+2xy≥0，故r+y之-2x,即 2 >-告-所以-名长y安即-长xV7<号 2 业有。 1.证明：2x+y=11+1=2+y+2+2=2+y+2红+1=3+义+2 x y y y 而+号-(+停)+≥2兰·号+4=8，所以2+≤-22政+号>22. x y :x>0y>0义+22≥22…1+1=3+y+2>≥3+22. x y x y 2解：法-设1=，则=中1，x1D=十名一2)=1十1+7一2 +,异2-1)=异2-1. 法=-=+异-2=1+员21)=+异21 日5