第三篇 第一章 等面积法-【衡水金卷·先享题】数学初高中知识衔接手册

快 闻 初中如识回@ 在初中，我们学习了三角形、平行四边形、圆等特殊平面图形的面积公式以及有关面积问 题的一些结论： 1.S△Awc= 2uh(a为底，h为高). 2.Sm=πr(r为半径). 3.S平行四边彩=ah(a为底，h为高). 4.等高的两个三角形的面积比等于对应底之比 5.等底的两个三角形的面积比等于对应高之比. 6.相似三角形的面积比等于相似比的平方。 7.多边形的面积可以分解成若干个三角形面积之和 8.同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等. 面积法是几何题解法中的一种基本方法，也可称等面积法.等面积法是一种常用的、重要 的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相等”“分割图形后各部分面积之和等于原图形 的面积”“同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等”等性质解决有关的数学问题.一般是 利用等积变换把几何问题中的线段关系或量与量之间的关系转化成面积关系来解决的一种方 法，在解题中，灵活运用等面积法解答相关问题，可以使解题过程变得简捷， 后中为职床家 面积是几何学的起源，它不仅是平面几何的重要内容，而且等面积法也是数学解题中的重 要方法.在解三角形中，我们进一步研讨三角形的面积公式，在立体几何求体积问题中，我们也 经常用到等体积法 如图所示，在△ABC中，AB=10,BC=6,AC=8,求AB边上的高CD的长. 108 单三 【分析】首先根据勾股数(6,8,10)可知△ABC是一个直角三角形，根据同一个图形的面积相 等（即等面积法），以及直角三角形面积的不同求法，列出等式即可求出高CD 解：在△ABC中，：BC+AC=62+82=100,AB=102=100, ∴.BC十AC=AB,.△ABC是直角三角形 利用等面积法，根据三角形面积计算公式得， 2AC·BC=2AB.CD.即CD=AC:BC_8X6-4.8 AB 10 此类题目就是根据同一个图形的面积相等找出等量关系，直角三角形的面积有两种求法： ①S=?AB·CD,②S=号AC·BC.根据等面积法列出等式，求解方程即可. 园如图所示，⊙O的半径为3，OA=6,AB切⊙O于B,弦BC∥OA,连接AC,则图中阴影部 分的面积是多少？ 【分析】连接OB,OC,将图中不规则的阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积是解决此问题 的切人点和关键. 解：连接OB,OC,由BC∥OA知，△OCB与△ACB的边CB上的高相等.故由等面积性质可 知，Sw=S:易知∠B0C=60.所以SaE=Sm-=0X3=2x 2 此类题日就是根据同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等进行转化，由于不规则 阴影部分的面积无法准确计算出来，经转化，根据△OCB与△ACB同底等高，从而只需求解 扇形OBC的面积即可. ■如图所示，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，AC=4,BC=3,求⊙O的半径. 0 109 【分析】根据S△ABc=S△aB十S么c十S么cA,可列出等量关系，从而求出半径. 解：设⊙O的半径为r,分别与BC,CA,AB相切于E,F,G,连接OA,OB,OC,OE,OF,OG. ,⊙O是△ABC的内切圆， .OG⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,且OE=OF=OG=r 在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AB=√BC+AC=√32+4=5. 于是由S△ABc=S△aAB十S△Bc+S△A, 得ABr+号BC·r+2ACr=BC·AC 即(AB+BC+AC)r=BC·AC. BC·AC3X4 -AB+BC+AC5十3千41. 此类题目就是根据分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积列出等式，从而求出未 知量。 如图所示，在△ABC中，CD是AB边上的高，请用BC,AB,sinB表示△ABC的面积. 【分折】根据Sm=号AB,CD,由snB识，可得CD=BCnB, 所以S△ABc= 2AB·BCsin B. 解：，S△AC= AB.CD,又：snBC得CD=BCsin B, AB·BCsin B.. 同理可得：Sa=号AB·ACsin A:Sac-=CB·ACsin C. 1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，两直角边AC=6,BC=8,在三角形内有一点P,它到各边 的距离相等，请问这个距离是多少？ 11o 单三意 2.在矩形ABCD中，AB=3,AD=4.P是AD上的一动点，PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F, 求PE+PF的值. 1.在△ABC中，AM是中线，点M到BA,CA两边的距离分别是3和4.求AB:AC的值. 2.如图所示，线段AB=8,直线m与⊙O相切于点D,且m∥AB,P是直线m上的一点，PB交 以AB为直径的圆O于点C,连接AC,设PB=x,AC=y,求y与x的函数关系式. D 日国 1,.解：设点P到三边的距离为r,Sa=号AC·BC=24,面AB=VAC+BC=10,又 SaA=Sa+Sa+SaeA=2AB·r+号BC·r+号CA·r=AB+BC+CA)r= 2(6+8+10)r=24, r=2,即点P到三边的距离为2. 2.解：如图所示，设AC与BD交于点0，AB=3,AD=4,AC=BD=5,A0=D0=, S0-SA-AB AD=3, 又Sam=Sam+Sam=A0:PE+号D0PF=2×号(PE+PE)=3, PE+PF-号 1.解：如图所示，设ME⊥AB于E,MF⊥AC于F,则ME=3,MF=4,而S△w= 2AB,ME=多AB,Sw=AC·MF=2AC,AM为中线Sam=Sa,即号AB 2AC,∴.AB:AC=4:3. 2.解：连接AP,OD,AD,BD,AB=8,.OD=4,S△ABD= 号AB,OD=号×8X4=16.:点C 在圆上，AB为直径，ACLPB,.S△m=号PB·AC= 2xy,·m∥AB,S△ABp=S△AD,即 y=16,y=32x≥4. 1 0 题