第二篇 第十七章 点的轨迹-【衡水金卷·先享题】数学初高中知识衔接手册

三尔 种如明回阿 我们知道运动员推出的铅球运行的路线是一条抛物线，地球沿椭圆形轨道绕太阳不停地 旋转，这些运动的物体可以看做是一个动点，动点运动的路线给我们一个点的轨迹的印象， 我们把符合某一条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹. 比如圆就是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，所以圆是平面内到定点 的距离等于定长的点的轨迹 图形是轨迹，这里包含两层含义： (1)图形上的任何一点都符合某一个条件： 这说明图形上的任何一点都满足条件，无一例外. (2)符合某个条件的点都在图形上， 这说明符合条件的点一个都没有遗漏，都在这个图形上。 只有同时满足以上两个条件的图形，才可以看做是符合这个条件的点的轨迹。 轨迹1：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 思考：我们学习过线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，那么线段的垂直平分线是点 的轨迹吗？角平分线是点的轨迹吗？为什么？ 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上， 由此我们可以得到， 轨迹2：到已知线段两个端点距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线， 轨迹3：到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线， 。说出经过已知点P,半径为r的圆的圆心的轨迹，并画出它的图形 【分析】如图，经过已知点P,半径为r的圆的圆心，到点P的距离为r,所 以满足条件的圆的圆心到点P的距离等于r,根据轨迹1知圆心的轨迹. 解：经过已知点P,半径为r的圆的圆心的轨迹是以P为圆心，r为半 径的圆.如图中的⊙P即为所求轨迹， 求与相交于A,B两点的等圆都相切的动圆圆心的轨迹.。 【分析】设动圆圆心为O,定圆圆心为O,O2,⊙O,⊙O2是等圆，可知AB垂直平分OO2,又 ⊙O与⊙O,,⊙O2都外切，因此OO,=OO,点O的轨迹应是直线AB,并去除线段AB. 解：与相交于A,B两点的等圆都外切的动圆圆心的轨迹是直线AB,并去除线段AB. 105 总结：求适合某个条件的点的轨迹的基本思路是把题设中的条件转化为我们已知的轨迹.在求 出轨迹后，要检查所得的图形中是否包含了某些不符合题意的点，如果有，我们应该将它们 去除。 1.画图说明满足下列条件的点的轨迹， (1)平面内到定点O的距离等于10cm的点的轨迹； (2)到直线I的距离等于5cm的点的轨迹； (3)已知直线AB∥CD,到AB,CD的距离相等的点的轨迹 2.画图说明，到直线1的距离等于定长d的点的轨迹. 1.直线AB,CD相交于点O,求到直线AB,CD距离相等的点的轨迹. 2.在第一象限与坐标轴同时相切的圆的圆心的轨迹. 3.已知线段AB=4cm,画出到点A的距离等于3cm的点的轨迹，再画出到点B的距离等于 2cm的点的轨迹，指出到点A的距离等于3cm,且到点B的距离等于2cm的点，这样的点 有几个？ 106 4.求同时经过已知点A,B的圆的圆心的轨迹。 1.解：(1)以O为圆心，10cm为半径的圆，图略： (2)与1平行，且与1距离为5cm的两条平行线，图略： (3)与AB平行，且与AB,CD距离相等的一条直线，图略. 2.解：两条平行直线，图略 1.解：∠AOC和∠AOD的角平分线所在的直线. 2.解：第一象限的角平分线，如下图. 3.解：有两个，图略。 4.解：如图，如果以点O为圆心的圆经过A,B两点，那么OA=OB;反过来，如果点O到A,B 两点距离相等，即OA=OB,那么以O为圆心，OA为半径的圆一定经过A,B 两点.这就是说，过A,B两点的圆的圆心的轨迹，就是到A,B两点距离相等 的点的轨迹，即到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹， 所以，同时经过A,B两点的圆的圆心O的轨迹是线段AB的垂直平 分线 107