第二篇 第十六章 锐角三角函数之间的关系-【衡水金卷·先享题】数学初高中知识衔接手册

杭制三结四数之面的美 y初审如回回阿 同学们，在初中我们已经学习了锐角三角函数的定义，相信你能完成下列问题： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c, 则sinA= ,cos A= tan A= sin B= ,cos B= tan B= 高中知识探究 l.sinA和cosB的关系；cosA和sinB的关系. 2.tanA和tanB的关系. 我们很容易发现siA=cosB=名，cosA=sinB=名，因为∠A十∠B=90,所以∠B 90°-∠A.所以有sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A),即任意锐角的正弦值等于它的 余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由tanA=号，anB=名，我们发现 amA=万即amA二am9-万即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数。 1 思考：你能根据锐角三角函数的定义得出同一个锐角的几种三角函数之间的关系吗？ 由nA-吕asA-名得识合6-号又因为amA=号，所以amA-识会 cos A' 雨mA十osA=(侣广+（伯-生=号=1肉股定理公+=）. 所以rA十osA=1.综上可知，anA=识：sim2A十cosA-1. 在Rt△ABC中，∠C=90,sinA=求cosA,anA,imB,osB.amB. 解：法一：：simA= 2, ∠A=60,cosA=7anA=5. ∠B=30nB-2osB=gmB= 法二：如图A-%-停可设BC=同，AB=k, 0@ 由勾股定理，得AC=∴由三角函数定义，科c0A-S-条 mA--5,smB=6号msB=号 2,tan B=3 法三：，sin2A十cos2A=1, ∴sA=-m不=-（停-及- 3 ian A-st = 1 2 ∠A+∠B=90,sinB=osA=2eosB=sinA= 2 tan B=,1=3 tan A 3' 方法一只对特殊角适用，而方法二、方法三对一般情况都适用. 计算sin212+tan35°·tan55°+sin78°，cos12. 解：原式=sin212°+tan35° tan(90°-55+c0s(90°-78)·cos12° =sn12+1am35·an36+cos12·e0s12 =sin212°+1+cos212 =2. 1.在Rt△ABC中，∠C为直角，a=1,b=2,则cosA= tan A= 2.已知∠A为锐角simA-则c0s(90°-A- 3.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠C=90°，a=3cm,b=4cm,求sinA+ sinB+sinC的值. o 4.计算tan20°+cos50° sin40°tan70, 5.a是锐角，如果sina十sin270°=1，那么角a的度数是多少？ 1.当锐角A>45时，sinA的值 A小于号 B大于号 C小于 D大于 2.若∠A是锐角，且smA=子，则 () A.0°<∠A<30 B.30°<∠A<45 C.45°<∠A<60 D.60°<∠A<90 3.如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于D,已知AC=3,AB=5,则tan∠BCD的值为 () A是 R青 c 4.计算sin220°+cos45°tan15°·tan75°+sin70°·c0s20° 5.计算3sin60°-√2cos45°+8. 6.计算tan10°·tan20°·tan30°·tan40°·tan50°·tan60·tan70°·tan80. 02 第三 7.计算cos1°+cos22°+c0s23°+…+c0s245°+c0s246°+…+c0s288°+cos289°. 8.已知A为锐角，sinA=√2k,cosA=√3k,求k的值. 9.已知a为锐角，且sina+cosa=M,sina·cosa=N.写出M和N之间的关系式. 10.在△ABC中，A为锐角，若cosA,sinA是方程2x2+(m+1)x十m=0的两根，求m的值. 1.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，sinA=号AB=15,求△ABC的周长和anA的值. 1.解：∠C=90,∴c=5.cosA=2=25 55·tanA=5 2.解：cos(90°-A)=inAc0s(90°-A）=高 3.解：由勾股定理得c2=a2十b=25,∴.c=5cm, .sin Asin B,sin C=sin 90-1. smA+smB+nC-号+考+1=号 103 4.解：原式=tan20°+sin40 sin 40 -tan20°=1. 5.解：因为cos270°十sin70°=1，所以sina=cos70°.所以a=20°， 1.B 2.C 解：n5-号m0-gmA-西号<号。 45°<∠A<60°，故选C. 3.B解：：∠C为直角，CD⊥AB,AC=3,AB=5, .'∠BCD+∠ACD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴.∠BCD=∠A, .BC=√5-32=4. tan∠BCD-am∠A-C-号，放选R 4解：原式=sin20°+2 `an15+c0s20·cos20°=1+ tan15°.1 2 5,解：v5sn60-2o5+8=5×号-2×号+2=2 2 2 6.解：因为任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数， 1 1 1 1 所以原式=tan10°·tan20°·tan30°·tan40°· tan40tan30‘tan20‘tan10=1. 7.解：因为cosA=sin(90°-A), 所以原式=cos21°+cos22°+cos23°+…+cos245°+sin244°+…+sin22°+sin21° =1×4+(受)-2 8.解：由已知，得>0，因为simA十c0sA=1,所以(2k)2+(3k)=1,所以k= 51 9.解：因为(sina+cosa)2=sin2a十cosa+2sina·cosa=1+2 sin acos a,所以M=1+2N. 10.解：因为nA+c0sA=-"mA·csA-号南（如A十cosA=1+2 sin A cosA 知，（一"）广=1十m,解得m=3或m=-1,经检验，m=3不符合题意，故舍去.所 以m=-1. 1.解：因为smA-考-S所以BC-考AB=专×15=12.所以AC=VAB一BC=9 所以△ABC的周长等于9+12+15=36，amA-C-号-号 01