第二篇 第十五章 直角三角形的相似-【衡水金卷·先享题】数学初高中知识衔接手册

直用二用形。 切中如明回阿 直角三角形是特殊的三角形，我们除了可以使用一般的三角形全等的判定定理(SAS, ASA,AAS,SSS)判定两个直角三角形全等以外，还可以用它独有的方法一HI.类似地，直 角三角形相似的判定方法除了以前讲过的三角形相似的判定定理以外，是否还有其他方法呢？ 高中如识标网 思考1：如图1，已知在R△ABC与R△ABC中，∠C=∠C=90,常-S,那么 Rt△ABC与Rt△A'B'C'相似吗？ 由条件中的比例式容易联想到平行线和三角形的平移，所 以在边AC上截取CD=CA',过点D作DE∥AB与BC交于点 D E则R△ANCR△DBc,S-2即S-是由号 AB AO,知DE=A'B',所以Rt△DEC≌Rt△A'B'C,所以 A Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 图1 于是我们得到定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜 边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似， 思考2：我们再来观察图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,图中有哪些三 角形相似？ 由于∠ACB=∠ADC=90°， 所以∠ACD+∠A=∠ABC+∠A=90°， 所以∠ACD=∠ABC 又因为∠A=∠A, 图2 所以Rt△ABCoRt△ACD. 同理Rt△ABC∽Rt△CBD, 故Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD. 由此得到定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似. 有三角形相似就有成比例的线段， 在图2中，由R△ABCR△ACD,有S-把. 即AC=AD·AB,同理BC=BD·BA,CD=DA·DB. 95 这个结论也非常重要，被称为“射影定理”，关于射影定理的概念，我们在高中会学到. 为了方便记忆，我们结合图2，用符号语言叙述射影定理： 如果在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D,那么AC=AD·AB,BC=BD·BA, CD=DA·DB. 在直角三角形的问题中如果涉及线段的平方，一般考虑勾股定理或射影定理。 1.如图，小军发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，测得CD=8m,BC 20m,CD与地面成30°角，且此时测得1m杆的影长为2m,则电线杆的高度为 ) A.9 m B.28m C.(7+√3)m D.(14+2√3)m 2.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的一点，过P点作直线截△ABC,使截得的三 角形与△ABC相似，满足这样条件的直线的条数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D,AD=2,DB=8,则CD= ,AC= -,BC= D O 4.如图，已知AE与CD交于点B,AC∥DE. (1)求证：△ABC∽△EBD: (2)若AC=4,BC=3,BD=6,求DE的长 96 第三 5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AD于点E,交BC的延长线于点 F,连接AF,试证明：FD=FB·FC. 1.在Rt△ACB中，∠C=90°，CD⊥AB于点D,若BD:AD=1:4,则tan∠BCD的值为() A B号 c D.2 2.如图，数学课外活动小组为测量旗杆AB的高，在同一时刻，测得一杆EF的高为1.5m,其 影FD的长为1m,此时旗杆影BC的长为8m,则旗杆高为 () C F D A.8 m B.12m C.5.3m D.10.5m 3.如图，在R1△ABC中，AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点，作PE⊥AB于点E, PD⊥AC于点D,设BP=x,则PD+PE= () D A.言+3 B4-青 7 C.2 D.12x-12x 5 25 4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，在图中的六条线段中，你认为只要 知道 条线段的长，就可以求其他线段的长 ( A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，在△ABC中，∠ADE=∠C,则下列等式成立的是 A品怎 B能-品 c-指 n-裙 6在R△ABC中，∠BAC=90,ADLBC-于点D,若S=是则部 97 心及 7.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，当AB=8,BC=3,DE=16,EF= 时，Rt△ABC∽Rt△DEF 8.如图，建筑物AB和CD的水平距离为60m,从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯 角为60°，则建筑物CD的高为 9.如图，点A,A2,A,A,在射线OA上，点B,B2,B3在射线OB上，且A1B1∥AB∥A3B, A2B,∥AB2∥ABa.若△A2B1B2,△A3B2B的面积分别为2,8，则图中三个阴影三角形面 积之和为 A1A3 10.在△ABC中，DE∥BC,DE=3,且Sm边形ED=3S△ADE,求BC的长. 11.如图，已知BD,CE是△ABC的两条高，过点D的直线分别交BC和EA的延长线于G, H,交CE于F,且∠H=∠BCF. 求证：GD=GF·GH. 12.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠D=90°，AB=3,DC=7,AD=15,你能在直线AD上 找一点P,使得△ABP△DPC吗？若能，这样的P点有几个？并求出AP的长：若不能， 请说明理由. 98 1.D2.C3.4,25,45 4.(1)证明：：AC∥DE,∴.∠C=∠D.又，∠ABC=∠DBE,∴.△ABCO△EBD. (2解：△ABC∽△EBD,S-邵DE-8. 5.证明：易知AF=FD,得∠ADF=∠DAF, 又∠ADF=∠B+∠BAD,∠DAF=∠DAC+∠CAF,而∠BAD=∠DAC, 故∠B=∠CAF.又∠AFC=∠BFA,故△ABF∽△CAF. 得合-期AF=CP,BF,而AF=FD,放FD=FB:PC 1C2BA4B5.C6.57.68.40,gm9.21 10.解：BC=6.提示：SaDE=SaC,所以BC=6, 11.证明：，∠H=∠BCE,∠CBE=∠HBG,CE⊥BH,∴.△BCE∽△BHG, ∴.∠BGH=∠BEC=90°，.HG⊥BC, ,BD⊥AC,在Rt△BCD中，由射影定理得GD=BG·CG,① ∠GCF=∠GHB,∠BGH=∠FGC, △FCGABHGG8品 ∴.BG·GC=GH·FG,② 由①②得，GD=GF·GH. 12.解：①点P在线段AD延长线上时，段设△ABP△DPC.则-C. aP25号.AP=15+丽或AP=15=y0(合. 2 @点P在线段AD上时，假设△ABP△DPC,则票-记， AP·DP=21, 解得AP=15±14红 AP+DP=15. 2 ③点P在线段DA延长线上时，假设△ABP∽△DPC, 则0品5子Ap号AP=15专西度AP=-15,丽（合， 2 2 综上可知，满足题意的P点有4个，AP长为15+，30或15±，面或一15士y30丽 2 2 2 99