第二篇 第十四章 三角形与梯形的中位线及平行线等分线段定理-【衡水金卷·先享题】数学初高中知识衔接手册

第十四章 三角形与梯形的中位线及平行线等分线段定理 初中知识回顾 同学们，我们学习过三角形的中位线（连接三角形两边中点的线段），并且证明了三角形中 位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半），现在开动脑筋思考以下问题， 问题1：如图1，在△ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC,那么点E是边AC的中点吗？ 证明：延长ED到点F,使DE-DF,连接BF, AD=BD,∠ADE=∠BDF, '.△ADE≌△BDF, .AE=BF,∠A=∠DBF, 图 .AC∥BF ,DE∥BC,.四边形ECBF是平行四边形. ..CE=FB. ∴.CE=EA,即点E是边AC的中点. 于是我们得到定理：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边： 高中知识探究 我们将上述问题中的三角形改成梯形，情况会如何呢？请同学们试着证明这个问题。 问题2：如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC,点E是边AB的中点，EF∥BC,那么点F是边CD的中 点吗？ 证明：连接AF并延长与BC的延长线交于点G(梯形的问题转化成了三角形的问题)， 在△ABG中，'点E是边AB的中点，EF∥BC ∴.AF=FG ,AD∥BG,∴∠DAF=∠FGC 又.'∠AFD=∠GFC,.△AFD≌△GFC 图2 ,DF=CF,即点F是边CD的中点. 因此，在梯形中我们得到了一个类似的定理：经过梯形一腰的中点与底边平行的直线，必 平分另一腰 这里的线段EF显然是梯形ABCD两腰中点的连线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫 做梯形的中位线， 思考1：通过类比三角形中位线定理再结合刚才的探究，你能否对梯形的中位线性质大胆 地做出猜想并证明你的结论？ 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 86 HENGSHUI JINJUAN 初高中数学牧材衔接第二篇 如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC,E,F两点分别是边AB,CD的中点，求证：EF∥BC, EF-7(AD+BC). 证明：连接AF并延长与BC的延长线交于点G, ,AD∥BC,.∠ADF=∠GCF ,∠AFD=∠GFC,DF=FC, ∴.△ADF≌△GCF.AF=FG,AD=CG ,点E是边AB的中点，EF是△ABG的中位线. ∴EF∥BG,且EF=号BG.∴EF=号(AD+BC. 在几何问题中，如果已知条件中有梯形一腰的中点或三角形一边的中点，我们经常考虑作 中位线，利用中位线定理。 例D如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC,E是CD的中点，EF∥AB交BC于点F,若EF=5, 求AB的长. 图3 【分析】题目中涉及点E是CD的中点，容易联想到利用梯形的中位线，而由EF∥AB,还可以 考虑利用三角形的中位线 解：法一：过D作DG∥AB交BC于点G, AD∥BC,DG∥AB, ,四边形ABGD是平行四边形，.AB=DG. EF∥AB,.EF∥DG. 在△DCG中，E是CD的中点， .F是CG的中点，.EF是△DCG的中位线 .DG=2EF=2×5=10,∴.AB=10. 法二：如图4，过E作EH∥BC交AB于点H, 'EH∥BC,EF∥AB, .四边形HBFE是平行四边形. ∴.BH=EF=5. 图4 'DE=CE,..AH=BH,..AB=2BH=2X5=10. 从上面的题目我们见到了几个基本图形（如图5），它们都是已知有一组（两条或三条）平 行线和一条线段的中点，可以推出另一条线段的中点， 87 衡水金卷先享题初高中知识衔接手册数堂 HENGSHUI JINJUAN 图5 思考2：我们再来观察图6，其中直线a∥b∥c,已知每组直线中直线AC被平行线所截，都 有AB=BC. (1)你发现图5中的三个基本图形了吗？ (2)你认为每组直线中另一条直线DF被这三条平行线所截得的线段DE和EF相等吗？ (3)在第④组中直线AC与DF交于O,则DO=OF吗？ (4)如果在图6中再增加一条或几条平行线，情况会怎样？ 雾式群溪 解：(1)在图6中的①②③能看到图5中的三个基本图形，在图6中的④，过点B作DF,∥DF 与a,c交于D1,F两点，就转化成了基本图形 (2)在每组直线中都有DE=EF. (3)DO≠OF (4)图7中一组平行线在直线m上截得的线段AB=BC=CD=DE,那么在直线n上截得 的线段FG,GH,HI,II也都相等 图7 于是我们得到平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么 在其他直线上截得的线段也相等 定理中的一组平行线其实满足的条件是每相邻两条平行线间的距离相等.请同学们利用 你的横格本上的一条条距离相等的横线（平行线）将一条线绳进行等分，分成你想要的份数.想 一想怎样分，道理是什么？ 有了平行线等分线段定理，我们可以利用尺规作图，将已知线段进行任意等分 88 HENGSHUI JINJUAN 初高中数学牧材衔接第二篇 例2如图8，已知线段AB,作出线段AB的五等分点， 图8 作法：1.任意作射线AC 2.在射线AC上以任意长顺次截取AD=DE=EF=FG=GH. 3.连接BH,过点G,F,E,D分别作BH的平行线，分别交AB于点Q,P,N,M,则点Q, P,N,M就是所求的五等分点. 练 1.如右图，l1∥2∥13，则下列结论中错误的是 A.由AB=BC可得FG=GH B.由AB=BC可得OB=OG C.由CE=2CD可得CA=2BC D.由GH=FH可得CD=CE 2.已知三角形的周长为112cm,三角形三条中位线的长度之比为3：5：6，求三条中位线的长. 3.已知在梯形ABCD中，AB∥CD,M,N分别为对角线AC,BD的中点. 求证：(1)MN∥AB∥DC: (2)MN-z(AB-CD). 89 衡水金卷光享题初高中知识衔接手册数学 HENGSHUI JINJUAN 4.如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC上的点，且3AE=2AC,CD与BE交于O点. 求证：OE=BE 5.已知一个等腰梯形的高是2m,它的中位线长是5m,一个底角是45°，求这个梯形的面积和 上、下底边的长， ■川 作 业 1.等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为，则其面积为 A号 B.m2 C.√m D.以上全不对 2.三角形的三条中位线的长分别为3cm,4cm,6cm,则这个三角形的周长是 A.13 cm B.26 cm C.24 cm D.6.5 cm 3.在等腰梯形ABCD中，上底AD=6cm,下底BC=9cm,腰AB=8cm,E,F,G,H分别是 AD,BD,BC,AC的中点，那么四边形EFGH的周长为 () A.12 cm B.14 cm C.16 cm D.18 cm 4.若顺次连接一个四边形各边中点所得的四边形是菱形，则这个四边形是 A.矩形 B.等腰梯形 C.对角线相等的四边形 D.正方形 5.在梯形ABCD中，AD∥BC,∠A:∠B=3:1,则∠A= ,∠B= 6.在等腰梯形中，上底等于一腰，下底等于另一腰的2倍，若梯形的周长为45cm,则它的中位 线长为 7.已知在梯形ABCD中，AB∥CD,BC=AD,AC⊥BD交于点O,CE⊥AB于点E,CE=m, FG是梯形中位线，求FG的长. 90 HENGSHUI JINJUAN 初高中数学牧材衔接第二篇 8.已知AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.求证：FC=2AF. 9.如图，CB⊥AB,DA⊥AB,M为CD的中点.求证：∠MAB=∠MBA. 10.如图，P,Q,R,S分别是四边形ABCD中AB,BC,CD,DA边的中点，求四边形PQRS与 四边形ABCD的面积比SOxs:SAcD· 练习题答案。 1.B 2.解：：三角形三条中位线的长度之比为3：5：6，∴.可设三条中位线的长分别为3x,5x,6.x, ∴.三条中位线对应的底边的长分别为6.x,10x,12x, 又三角形的周长为112cm,∴.6.x十10x+12x=112, .28x=112,∴.x=4, ∴.三条中位线的长分别为12cm,20cm,24cm. 3.证明：(1)连接CN并延长交AB于点E, 在梯形ABCD中，AB∥CD, ∴.∠1=∠2，∠CND=∠ENB,BN=ND, .△CDN≌△EBN(ASA),∴.CN=EN,BE=CD. N是CE的中点。 又.在△CEA中，M是AC的中点. ∴.MN∥AE,即MN∥AB,∴.MN∥AB∥DC. (2)法一：由(1D可知，AB-AE=BE=CD ⑨ 衡水金卷先享题初高中知识衔接手册数堂 HENGSHUI JINJUAN ∴AB-CD=AE.又MN=2AE,∴MN=(AB-CD. 法二：取AD的中点F,连接NF交AC于M', 在梯形ABCD中，AB∥DC, ,N为BD的中点， 在△ABD中，NF∥AB,NF=2AB, .NF∥AB∥DC(三角形的中位线平行于第三边且等于它的一半). '.M是AC的中点（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，在其他直线上俄得的线段 也相等). 又M是AC的中点，.M与M'重合，即点M在NF上. ∴NF=2AB,MF=2DC MN-NF-MF-TAB-TDC-(AB-DC). 即MN=(AB-CD. 4.证明：取AE的中点F,连接DF, D是AB的中点，.DF是△ABE的中位线. ∴DF=BE,且DF∥BE(三角形中位线定理)， :3AE=2ACAE=号AC AF=FE=EC-号AC 在△CFD中，EF=EC,且DF∥BE,∴.OE∥DF. ∴.CO=DO(过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边). .OE是△CDF的中位线， OE-TDF,OE-BE. 92 HENGSHUI JINJUAN 初高中数学牧材衔接第二篇 5.解：如图，AD,BC分别是上、下底，AB=CD,∠B=45°，过A,D分别作AE,DF垂直于BC, 垂足分别为E,F,则AE,DF均为梯形的高， .'.AE=DF=2 m. 在Rt△ABE中，，∠B=45°，.∠BAE=90°-∠B=45°， ∴.BE=AE=2m, 同理：CF=2m. 设AD=x,则EF=x, .AD+BC=AD+(BE+EF+CF)=+(2+x+2)=2x+4. 又中位线长是5m,∴.AD+BC=2×5=10m, ∴.2.x十4=10，∴.x=3m. ∴.上底AD=3m,下底BC=BE+EF+FC=2+3+2=7m, 梯形的面积S=1·h=5×2=10m2, .梯形的面积为10m2,上底为3m,下底为7m. 作业答案。 1.B2.B3.C4.C5.135°，45° 27 6.cm 7.解：过C作CH∥DB交AB的延长线于点H,如图， 易证四边形BHCD是平行四边形，可得CH=DB,CD=BH,∠HCA=∠BOA=90°， ∴.△ACH是等腰直角三角形 CE⊥AH,∴.CE是AH边上的中线，等于斜边的一半. 即CE=号AH=(AB+CD)=FPG. ∴.FG=m. 8.证明：作DH∥BF交AC于点H, ,D为BC的中点，.DH为△BCF的中位线. ..CH=HF, 又在△ADH中，E为AD中点，.AF=FH,AF=FH=HC. ..FC=2AF. ⑨3 衡水金卷先享题初高中知识衔檯手册数学 HENGSHUI JINJUAN 9.证明：过点D作DE∥AB,交CB的延长线于点E,取DE的中点F,连接MF, M 2“ 则MF是AB的中垂线，所以∠MAB=∠MBA. 10.解：连接AC,BD分别交PS,QR,SR,PQ于E,F,G,H四点， 分别过A,C,B,D四点作BD,AC的平行线I1,l,l3,l, ,P,Q分别是AB,BC的中点，S,R分别是AD,CD的中点， ∴PQ/AC,PQ-2AC,SR∥AC.SR=AC, ∴.PQ∥SR,PQ=SR, .四边形PSRQ是平行四边形，∴.PS∥QR∥BD, ,l1∥PS∥BD,l2∥QR∥BD, 由平行线等分线段定理，得△APS与平行四边形PSGH, 平行四边形QHGR与△CQR分别是等底、等高， ∴.2SAok=SaHR,2 SAAPS=S:H,同理2S△PO=SPEFQ,2S△sDR=SsRF, ∴.S△oR+S△APs+S△PEiQ+S△sDR=SaRs, SABCD =2SPORS.SpORS SAUCD=1:2. ⑨4