第二篇 第十三章 三角形的“四心”-【衡水金卷·先享题】数学初高中知识衔接手册

第三章 三角形的“四心” -0-0 初中知识回顾 三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题,可以归为三角形的问题,在三 角形中,中线、角平分线、高线是三角形中重要的线段 高中知识探究 三角形中的这三种线段是否交于一点?有什么结论? 一、重心 如图,在△ABC中,AD,BE分别是BC,AC边上的中线,AD,BE相交于G点,G点在 AD,BE的什么位置?AB边上的中线CF过点G吗? 三角形的三条中线相交于一点,这个点叫三角形的重心,且这点为中线的三等分点. 如图,已知D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,求证;AD,BE,CF交于一 点,且被该点分成2:1. 证明:如图,连接DE,设AD,BE相交于点G. .D.E分别为BC,AC中点. .DE/AB,且AB2' DE1 DGEGDE1 DGFG1. 设AD,CF相交于点G',同理可得 则G与G'重合. '.AD,BE,CF交于一点,且被该点分成2:1 注意:以上证明过程也为我们提供了证明三线共点的方法,即先设两条线的交点,再 证第三条线经过此点. 衡水金卷 先享题 初高中知识衔接手册 数学 HENGSHUIJINJU/AN 二、内心 三角形的三条角平分线相交于一点,这个点叫做三角形的内心.三角形的内心在三角形的 内部,它到三角形的三条边的距离相等,三角形的内心是三角形内 切圆的圆心. 2已知△ABC的三边长分别为BC-a,AC-b,AB-c.I为 △ABC的内心,ID BC,IE AC,IF AB. 求证:AE= AFf- 证明:作△ABC的内切圆I.则D,E,F分别为。I在BC,CA,AB边上的切点 .AE,AF分别为I的切线,.'.AE一AF 同理可得BD-BF,CE-CD “.b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD-AE+AF-2AE, .AE-AFc- 本题中圆的性质应用很重要,且内心到各边的距离即为三角形的内切圆半径 特别地,在Rt△ABC中,C=90*,BC=a,CA=b,AB=c.则Rt△ABC的内切圆半 径,十一c 三、垂心 三角形的高线相交于一点,该点为三角形的垂心,垂心不一定在三角形的内部,直角三角 形的垂心为直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形外部 例③求证:三角形的三条高相交于一点. 如图,已知在△ABC中,AD|BC于点D,BE AC于点E,AD与BE相交于点H,延长CH 交AB于点E求证.CHAB # 证明:以CH为直径作圆. ..ADIBC,BE|AC. .'.D,E在以CH为直径的圆上. . HCB一 DEH(同狐所对的圆周角相等). 同理,D,E在以AB为直径的圆上, 80 初高中数学教材衔接 HENGSHUI JIINJUAN 第二篇 . BED= BAD'BCH= BAD$$$$ 在△ABD与△CBF中,ABC为公共角; '. CFB= ADB=90{$.'$CH AB.$ 四、外心 过不共线的三点A,B,C只有一个圆,该圆是△ABC的外接圆,我们把圆心O叫做△ABC 的外心,三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点 锐角三角形的外心在三角形内部;直角三角形的外心为斜边中点;钝角三角形的外心在三 角形外部 ###### 1l 练 1.在△ABC中,AB=AC=13,D为BC的中点,BD=CD=5,O是△ABC的外心,则OD ( ) 117 111 1 D 2.已知M为△ABC内一点,连接MA,MB,MC,若S=SMc=Sw,则M是△ABC的 ( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 3.△ABC的三条边分别为a,b,c,M为三角形ABC内一点,连接MA,MB,MC,若SMnc: ( ScA:Sws-a:b:c,则M是△ABC的 ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 4.若△ABC的重心为G,则△GAB,△GAC,△GBC的面积之比为 5.若△ABC的面积为S,且三边长分别为a,b,c,则△ABC的内切圆的半径为 6.若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形 8 衡水金卷 先享题 初高中知识衔接手册 数学 HENGSHUIJINJU/AN ■l 业 1.由尺规作图得知正三角形的外心、内心、重心均在同一点,请问正三角形外接圆的面积是内 信 ( 切圆面积的 C} B.3 A.2 D.4 2.如图,已知直线MN/AB,把△ABC剪成三部分,点C在直线AB上,点O在直线MN上 ( 则点O是△ABC的 ) B.重心 A.垂心 C内心 D.外心 3.在等腰△ABC中,AB-AC,D,E分别是BC,AC的中点,点P是线段AD上的一个动点 C 当△PCE的周长最小时,P点的位置为△ABC的 ) B.内心 A.重心 C.外心 D.不能确定 4.如图,H,Q分别为△ABC的垂心、外心, BAC三45*,若△ABC外接圆的半径为2,则 f AH- ) A.23 B.2/2 C.4/2-3 D.③十1 5.在等腰Rt△ABC中,斜边AB一12,则该三角形的重心与外心之间的距离是 6.在等腰Rt△ABC中, C三90^{},斜边AB一6,则此三角形的内心与外心之间的距离 是。 . 7.在△ABC中,/A一50{},三角形内有一点O,若O为三角形的外心,则/BOC= _:若 O为三角形的内心,则BOC一 8.阅读以下材料,并按要求完成相应的任务 莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重 要常数、公式和定理,下面是欧拉发现的一个定理:在△ABC中,R和,分别为外接圆和内 切圆的半径,O和I分别为△ABC的外心和内心,则Or^}一R一2Rr 初高中数学教材衔接 HENGSHUI JIINJUAN 第二篇 {。 2 下面是该定理的证明过程,该过程借助了任务(2)的结论 延长AI交⊙O于点D,过点I作⊙O的直径MN,连接DM,AN. .D- N, DMI一NAI(同狐所对的圆周角相等). ① 如图2,在图1(隐去MD.AN)的基础上作O的直径DE,连接BE,BD.BI.IF “.DE是O的直径,..DBE-90* “.I与AB相切于点F,.AFI-90,. DBE= IFA IAIF DE·IF,② 由(2)知:BD=ID..'.IA·ID-DE·IF.设OI=d 又·DE·IF=IM·IN.*2Rr=(R+d)(R-d).'R-d-2Rr,.'d=R-2Rr. 任务:(1)观察发现:IM一R十d,IN一 (用含R,d的代数式表示) (2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由(请利用图1证明) (3)应用:若△ABC的外接圆的半径为6cm,内切圆的半径为2cm,则△ABC的外心与内心 之间的距离为 cm. 9.如图,I为△ABC内切圆的圆心(内心),若AB-4,BC-5,AC-6.求:S*·Snrc:Sc. 10.在△ABC中,AB-AC-3,BC-2. 求:(1)△ABC的面积Sc及AC边上的高BE (2)△ABC的内切圆半径; (3)△ABC的外接圆半径R 衡水金卷 先享题 初高中知识衔接手册 数学 HENGSHUIJINJUAN 11.求证:等边三角形的四心合一(四心指内心、外心、重心、垂心). 练习题答案 1.B 解:·'△ABC为等腰三角形,.'AD1BC,.'AD=13-5-12.连接OD,令OD=. 24故选B. 6.证明:如图,连接AO并延长交BC于点D. “:O为△ABC的内心,..AD平分BAC. D “:O为△ABC的重心,D为BC的中点,即BD=DC. 同理,AB一BC,..△ABC为正三角形. 作业答案C 1.D 解:设正△ABC的外心、内心、重心重合于同一点O,连接AO并延长,交BC于一点D, .1OA1{}n2_4.故选D. 之比为 OD②π1 2.C 3.A 4.B 5.2 6.3/2-3 7.100{,115* 8.(1)R-d:(2)BD-ID:(3)2/③ 解:(1).IM-R+d...IN-2R-R-d-R-d (2)·点I是△ABC的内心,.BAD-CAD,CBI-ABI. " DBC=CAD,BID=BAD十ABI.DBI=DBC十CBI,BID= DBI.'.BD-ID. (3)由(2)知BD-ID...IA·ID-DE·IF, .IA·ID=IM·IN,.'DE·IF=IM·IN,.'2Rr=(R+d)(R-d),.'$R-d=2Rr .d-R-2Rr, .d-6-2×6×2-12-2/③. 9. 解:由于△AIB,△BIC,△AIC的高都等于内切圆的半径,易知SAn:Suc; SAc-4:5:6. 初高中数学教材衔接 HENGSHUIJINJUAN 第二篇 10.解:(1)作AD|BC于点D. .AB-AC..'D为BC中点; 'AD=AB-BD*-2$2.$$$ 3· (2)如图,I为内心,则I到三边的距离均为^; (3)如图,.△ABC是等腰三角形,..外心O在AD上. zC D 连接BO.则OA-OB=R,OD-AD-R 在Rt△OBD中,OB{-BD+OD*, 11.证明:在正△ABC中,作AD,BE,CF分别垂直于BC,AC,AB,且相交于O点 “ ABC= ACD,AB-AC.ADB- ADC=90*, ..△ABD△ACD.../BAD=/CAD.BD-DC. 'AD平分BAC,D为BC的中点 .'.AD为BC边的中线,且为BAC的角平分线,且为BC边上的垂线 同理,可证BE,CF成立 ..AD,BE,CF交于一点,..四心合一. 78