第二篇 第十章 函数图像的变换-【衡水金卷·先享题】数学初高中知识衔接手册

第十章 函数图像的变换 oO 初中知识回顾 初中我们学过对称轴与对称中心以及平面上点的平移变换. 1.一般地，如果一个平面图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么 这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. 般地，如果两个平面图形沿着一条直线对折后，两个图形能够完全重合，那么这两个图 形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 轴对称图形具有以下性质： (1)成轴对称的两个图形全等： (2)如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线. 2.把一个图形绕着某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称 图形，这个点叫做它的对称中心，其中对称的点叫对应点 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于 这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心 中心对称图形的性质： 在成中心对称的两个图形中，每一对对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 3.平面上点的平移变换 在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数：关于y轴对 称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等：关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数，即 点P(x,y)与点P'(x,一y)关于x轴对称；点P(x,y)与点P”(一x,y)关于y轴对称；点 P(x,y)与点P"(一x,一y)关于原点对称 在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点P(x,y),将它沿x轴的方向向右（或向左） 平移k个单位长度，相当于这个点的横坐标增加（或减少）k,即点P(x,y)平移到点 P'(x十k,y)[或P'(.x一k,y)],纵坐标不变：将它沿y轴的方向向上（或向下）平移k个单位长 度，相当于这个点的横坐标不变，纵坐标增加（或减少）k,即点P(x,y)平移到点户(x,y十k)或 P"(x,y-k). 高中知识探究 初中我们学过的是图形及坐标平面内的点的平移与对称变换，现在我们来探讨一下函数 图像的平移、对称变换 6① 衡水金卷先享题初高中知识衔接手册数学 HENGSHU∥JINJUAN 例画出下列各组函数的图像，观察它们的图像之间有什么关系 (1)y=x2;y=(x-2)2;y=(x+1)2. (2)y=x2;y=x2+1: y=x2-2. (3)y=x2;y=(x-2)2+1. 解：(1)图像如下图所示： =2 =(x+12 =x-2月 4-3-2-012345元 由图像可知：y=x2的图像向右平移2个单位长度得到y=(x一2)2的图像： y=x2的图像向左平移1个单位长度得到y=(x十1)2的图像. (2)图像如下图所示： m2.2 23x 由图像可知：y=x2的图像向上平移1个单位长度得到y=x2+1的图像： y=x2的图像向下平移2个单位长度得到y=x2一2的图像. (3)图像如下图所示： =x2 x-2P+1 21234玉 由图像可知：y=x2的图像向右平移2个单位长度得到y=(x一2)2的图像，再向上平移1 个单位长度得到y=(x一2)2+1的图像. 2 HENGSHUI JINJUAN 初高中数学牧材衔接第二篇 B如何由函数y=一2的图像得到两数y=一兰+3的图像？ x-1 解：先将函数y一是的图像向右平移1个单位长度得到函数y一号的图像，再将函数 。气的图像向上平移3个单位长度得到函数y=一2 y=2 x一1 +3的图像. 圆如何由函数y一号+3的图像得到函数)的图像？ 解：先将函数y=,号十3的图像向左平移1个单位长度得到两数)=2+3的图像，再将两 数y一？+3的图像向下平移3个单位长度得到丙数y-子的图像。 总结：函数y=f(x)的图像向左（或向右）平移k个单位长度得到函数y=f(x十)[或y= f(x一k)]的图像：函数y=f(x)的图像向上（或向下）平移h个单位长度得到函数y=f(x)十 h[或y=f(x)一h]的图像： 函数y=f(x士k)士h(k>0,h>0)的图像可由函数y=f(x)的图像先向左或向右平移 个单位长度，再向上或向下平移h个单位长度得到.我们常说“左加右减，上加下减”. 例4画出下列各组函数的图像，并观察每组图像间的关系 (1)y=2x-1:y=|2x-1|: y=2|x|-1. (2)y=x2-2x:y=x2-2|x|: y=|x2-2.x. 3y号 y=x-1 马 2.x-1, 2x-1,x≥0， 解：(1)y=|2.x-1| y=21x-1= -2x-1,x<0. 一 描点可以画出三个函数的图像： y 1=2x- -2-07123x y=2x-11 2 y-21 432-1234 43-2-1234 .2 .2 根据画出的函数图像可知： 画出函数y=2x一1的图像x轴上方部分，再画出y=2x一1图像x轴下方部分关于x轴 的对称图像并去掉x轴下方的图像，即可得到函数y=|2x一1的图像： 画出函数y=2x一1在y轴右侧（即x≥0时）的图像，再画出该图像关于y轴的对称图 像，就可得到函数y=2x|一1的图像. 63 衡水金卷光享题初高中知识将樓手册数学 HENGSHUI JINJUAN x2+2x,x<0 x2-2x,x≤0或x≥2， (2)由于y=x2-2|x x2-2,x≥0. y=|x2-2x= -x2+2x,0<x<2. 描点可以画出三个函数的图像： y x2-21 =x22 ykr2-2x 3之0木九才4 3外方34 32101立34 》 根据画出的函数图像可知： 画出函数y=x2一2x(x>0)的图像，再画出该图像关于y轴的对称图像，就可得到函数 y=x2一2x|的图像： 画出函数y=x2一2x图像x轴上方部分，再画出y=x2一2x下方图像x轴下方部分关于 x轴的对称图像并去掉x轴下方的图像，即可得到函数y=x2一2x的图像. 8)南于点=牛=1+ r-Ii x =1+20且1， y=x1-1 -1+0且1 尚a 1+ -≤0或x>1, 描点可以画出三个函数的图像： 叶 3 周 。 4-3-2- 123456 54320 23456 456标 3 总结：画出函数y=f(x)在x>0时的图像，并画出该图像关于y轴的对称图像，即可得到函数 y=f(|x|)的图像： 画出函数y=f(x)的图像，然后画出y=f(x)在x轴下方的图像关于x轴的对称图像并 去掉x轴下方的图像，即可得到函数y=f(x)的图像. HENGSHUI JINJUAN 初高中数学牧材衔接第二篇 练习 画出下列各组函数的图像. (1)y=-x2: y=-x2+2x-1: y=-x2+2.x-2 (2)y=x: y=x+2: y=lx|-1. 作业 1,已知①中的图像对应函数y=f(x),则②中的图像对应的函数为 A.y=f(|x1) B.y=|f(x) C.y=f(-|x|) D.y=-f(|x|) 2.画出下列各组函数的图像. y x-2 y21. (2)y=-x+3: y=-|x+3: y=|-x+3. 6 衡水金卷光享题初高中知识衔模手册数堂 HENGSHU∥JINJUAN (3)y=x2+4x-5:y=x2+4x|-5: y=x2+4x-5. 3.试讨论方程引x2一4x十3=k的实数解的个数. 练习题答案0 (1)y=-x2十2.x-1=-(x-1)2,y=-x2+2.x-2=-(x-1)2-1.图像如下： -223x =-(x12 -2 (2)图像如下： =+2 方6方43个2方456元 作业答案。 1.C 2.(1)图像如下： 劲 4321 3别 2 2 年拉女十于 2346 (2)图像如下： y =-+3 2 -x+3到 2 y=x+3 2-1012大4 66 HENGSHUI JINJUAN 初高中数学牧材衔接第二篇 (3)图像如下： 654371 x2+4x-5 yx244x-5 6543 5432 =r2+4r-5到 6432.23456 5432- 23436 84言.d方35 3.解：画出函数y=|x一4x十3的图像如下图. 2 d234 易知，当k<0时方程无解：当k=0或k>1时方程有两解：当0<k<1时方程有四解：当k =1时方程有三解。 61