第二篇 第七章 一元二次方程根的分布-【衡水金卷·先享题】数学初高中知识衔接手册

或二风行烂能婚身无 冲知回同 函数的概念：一般地，在某个变化的过程中，有两个变量x,y,如果给定x的一个值，就能 相应地确定y的一个值，那么我们就说y是x的函数。 一元二次方程a.x2十bx+c=0(a≠0)什么时候有根？两根之间的关系如何？ 当△=b一4ac<0时，方程a.x2十b.x十c=0(a≠0)无实根； 当△=-4ac=0时，方程ax2+bz十c=0(a≠0)有两相等实根西=2= b 2ai 当△=-4uc>0时，方程ar2十br十c=0(u≠0)有两不相等实根=二b-F-4ae 2a 2=二b+vF-4ac 2a 1+x4= a 若一元二次方程a.x2十b.x十c=0(a≠0)的两个实根为x1,x2,则 x1·xg= 高中如识探穷 在上述函数的定义中，给定x的一个值，根据什么来确定y的一个值？ 事实上，给定x的一个值，我们根据x与y之间的对应关系来确定y的一个值.举例说 明，如在函数y=2x一1中，对应关系为：乘以2再减去1，也就是x取某个值时，这个值乘以2 再减去1即为对应的y值.比如当x=一1时，y=2×(一1)一1=一3.再如在函数y=x2中， 对应关系为平方，也就是x取某个值时，这个值的平方即为对应的y值.比如当x=一√2时，y =(一2)=2.我们将这样的对应关系记作f,把函数记作y=f(x). 上述函数可记作f(x)=2x一1，比如当x=一1时y=2×(一1)一1=一3，可写 作f(-1)=-3: f(x)=x2,当x=一√2时，y=(-√2)=2，可写作f(-√2)=2. 设一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的两个实根分别为，x1,x2,且1≤x2.结合二次函 数f(x)=ax2十bx十c的图像，思考以下问题. 思考1：a,b,c满足什么条件时，方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的两根x1,x2均为正根？ 42 【分析】如图，结合函数f(x)=ax2十b.x+c的图像不难发现，若>0且x2>0,需满足 △=b-4ac≥0， |△=b2-4ac≥0， x1十x2= b0·或 0 2a x1·x2=C>0 af(0)=ac>0. a △>0 2>0 若一元二次方程(m一1).x2十2(m十1)x一m=0有两个正根，求m的取值范围. △=4(m+1)2+4m(m-1)≥0， 2(m+1)>0, 解：依题意有 m-1 解得0<m<1, 4>0, 所以若一元二次方程(m一1)x2十2(m十1)x一m=0有两个正根，需满足0<m<1. 思考2：a,b,c满足什么条件时，方程ax2+bx十c=0(a≠0)的两根x1,x2均为负根？ 【分析】如图，结合函数f(x)=a,x2+bx十c的图像不难发 a>0 现，若x1<0且x2<0,需满足 △=b2-4ac≥0， 1△=b2-4ac≥0， 十x2= 2∠0·或 2a a b∠0 2 x1x2=>0 af(0)=ac>0. 若一元二次方程kx2十3kx十k一3=0的两根都是负数，求k的取值范围. (3k)2-4k(k-3)≥0， 解：若两根均为负数，则 3k∠0· 解得长一号或>3 3>0 所以，若一元二次方程kx+3r十长一3=0的两根都是负数，需满足长一号或>8 思考3：a,b,c满足什么条件时，方程ax十bx十c=0(a≠0)的两根x1,x2为一正一负？ 【分析】若x1<0且x2>0,需满足C<0,即ac<0. 3 70 0】 k在何范围内取值时，一元二次方程kx2十3k.x十k一3=0有一个正根和一个负根？ 解：依题意有。3<0，解得0<k<3、 所以若一元二次方程kx2十3kx十k一3=0有一个正根和一个负根，需满足0<k<3. 类比以上内容，若一元二次方程ax十b.x十c=0(a≠0)的两个实根分别为x1,x2,且x1≤ x2,结合二次函数f(x)=a.x2十bx十c的图像，思考以下问题. 思考4：a,b,c满足什么条件时，方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两根x1,xg都大于实数k? 【分析】如图，结合函数f(x)=a.x2十bx十c的图像不难发现，若x1>k且x>k,需满足 a>0, a<0, △=6-4ac≥0， △=b-4ac≥0， f(k)>0, 或f(k)<0, △=b-4ac≥0， 即一 > af(k)>0. 设m为实数，若关于x的方程x2一2x十m=0有且仅有一个大于1的实数根，则m的取 值范围是 解：因为二次函数y=x2一2x+m的对称轴为x=1,且图像开口向上，因为方程x一2x十m= 0有且仅有一个大于1的实数根，所以当x=1时，1一2十m<0,解得m<1. 思考5：a,b,c满足什么条件时，方程a.x2+bx十c=0(a≠0)的两根x1,x2都小于k? d>0, a<0, △=b-4ac≥0， △=b-4ac>≥0， △=b-4ac≥0， b 【分析】若x<k且xe<k,需满足 b∠k: 或 即一2a k 2 b∠k 2a af(k)>0. f(k)>0 f(k)<0, x--2a 0 设a为实数，若方程x2一2ax十a=0有两个小于1且不相等的实数根，则a的取值范围是 A.a<0 B.0<a<1 C.a>1 D.a>0 △=4a2-4a>0, 解：若方程x一2ax十a=0有两个小于1且不相等的实数根，则 -2a∠1， 2 解得 f(1)=1-2a+a>0, a<0.故选A. 思考6：a,b,c满足什么条件时，方程a.x十bx十c=0(a≠ 0)的两根满足x1<k<x2? 【分析】如右图所示，若x1<k<x2,需满足af(k)<0. 国已知关于x的方程2(m十1)x2+4mx十2m-1=0有两 个根，其中一个根大于1，一个根小于1，则实数m的取值范围为 A-1<m<日 B-1Km<-日 C-1<m<日 n-1<m≤-君 解：设f(x)=2(m十1)x2+4m.x+2m一1，若方程2(m+1)x2+41.x+2m-1=0有两个根，其 中一个大于1，一个小于1时，只需满足2(m+1)f1)=2(m十1)[2(m+1)+4m+2m一1]<0，解 得一1<m<一名故选B 思考7：a,b,c满足什么条件时，方程ax2十b.x十c=0(a≠0)恰有一根在m,n之间？ 【分析】若方程a.x2十b.x十c=0(a≠0)恰有一个根在m,n之间，结合函数图像（以a>0为例）可 知，只需满足①f(m)·f(n)<0;②x1=m,m<x2<:③x2=n,m<1<n: ④A=0,m<-2a m)0 关于x的方程x2+(m一2)x十2m一1=0恰有一根在0,1之间，则实数m的取值范围是 () A2<m<号 B2m<号或m=6-27 5 C长m<2 Dm<号或号<m<2 解：将方程x2+(m一2)x十2m一1=0对应的二次函数设为f(x)=x2十(m一2).x+2m一1，因 为方程x2+(m-2)x十2m一1=0恰有一根小于1大于0，则需要满足：①f(0)·f(1)<0,或 者②函数f(x)的图像与x轴的一个交点为(0,0)或(1,0)，与x轴的另一个交点的横坐标在 0,1之间，或者③函数f(x)的图像与x轴仅有一个交点，且在0,1之间. 由①得(2m-1)(3m-2)<0,解得}<m<号 把点0.0)代入)=十(m一-2r+2m-1,解得m=2此时方程为-多=0，两根 为0和号·号不在01之间，不符合题意，合去： 把点1.0代入)=十+(m一2》x+2m-1,解得m-号，此时方程为32-4r+1=0, 两根为1和号，号在0,1之间，故符合题意。 由③得4=(m-2)-4(2m-1)=0且0<-m,2<1,m=6-27或m=6+2V7 2 (舍)，.m=6-2W7. 综上可得，实数m的取值范围为)<m≤号或m=6-27.故选B 思考8：a,b,c满足什么条件时，方程a.x2十 f)>0 b.x十c=0(a≠0)的两根x1,.x2满足x1∈(m,n),mP0 m>0 q>0 x2∈(p,q),其中m<n≤p<q? 【分析】结合函数图像可知，m<x1<n≤p<x2<q g)<0 (f(m)·f(n)<0, 0 f(p)·f(q)<0. ■关于x的方程2.x2+ax+3=0的一个根在0,1之间，另一个根在1,2之间，则实数a的取 值范围是 解：方程2x2十a,x十3=0的一个根在0,1之间，另一个根在1,2之间，所以令f(x)=2x2十 f(0)>0, ar+3,可得1)<0，解得-号<a<-5,故a的取值范围为-号<a<-5 f(2)>0, 思考9：a,b,c满足什么条件时，方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的两根x1,x2满足m<x1<n 且m<x<n? 46 【分析】结合函数f(x)=ax2十b.x十c的图像可知， a>0 m)>0 Rn)>0 m)<01 <0 △=b-4ac≥0， m<一 m<r1≤2<n台 af(m)>0, af(n)>0. 已知一元二次方程x2+mx十1=0的两根都大于0小于4，则实数m的取值范围是 A-昌<m≤-2或m≥2 B-;<m<2或m>2 C-<m<-2 D-<m≤-2 解：设f(x)=x2十mx十1，则二次函数f(x)=x十mx十1与x轴的两个交点的横坐标都大于 0小于4， △=m2-4≥0， 由题意，知 0<-罗<4 解得-<m≤-2 f(0)=1>0, f(4)=4m+17>0, 因此，实数m的取值范围是一<m<-2故选D, 1.如果二次函数y=mx2一3.x+1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围. 2.设m为实数，已知关于x的方程x2一5x十m=0的两个实数根都大于1，求m的取值范围. 7 3.若已知关于x的方程(m十3)x2一41.x十2m一1=0的两实数根异号，且正根的绝对值大于 负根的绝对值，求实数m的取值范围. 4.已知二次方程(2m十1)x2一2m.x十(m一1)=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围. 1.关于x的一元二次方程x2+8.x十q=0有两个不相等的实数根，则g的取值范围是( A.g>16 B.q<16 C.q≤4 D.q24 2.关于x的方程x2+(a+1)x十1=0有两个不同的负实根，则实数a的取值范围是( A.a<0 B.a>1 C.a<-3或a>1 D.a≤-3或a≥1 3.若关于x的方程x2十2.x一m=0有小于2且不小于0的根，则m的取值范围为() A.0<m<8 B.0≤m≤8 C.0<m≤8 D.0≤m<8 4.已知关于x的方程ax2十2.x十1=0(a≠0)至少有一个负根，则实数a的取值范围是() A.0<a≤1 B.a<1 C.a≤1 D.a<0或0<a≤1 5.若关于x的方程x2+(1一k).x一2(k+1)=0的一个根大于2小于3，则实数k的取值范围 是 () A.3<k<4 B.2<k<3 C.1<k<3 D.1<k<2 6.若关于x的方程ax2一2x+1=0的一根在一1与1之间，另一根在1与2之间，则实数a的 取值范围是 ( A.-3<a<1 B<a<1 C-3<a< D.a<-3或u> 8 第二 7.已知关于x的一元二次方程x2一2ax十a十2=0，当a为何值时，该方程 (1)有两个不同的正根： (2)有不同的两根且两根均在1,3之间. 1.解：由题意知，二次函数的图像与y轴的交点为(0,1)，所以， 当m<0时，二次函数的图像与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意： 当m>0时，令一元二次方程mx2-3.x十1=0的两根分别为x1,x2, (△=9-4m≥0， 则需满足{ 4+=30.解得0<m≤是 综上所述，实数m的取值范围是m<号且m≠0。 2.解：二次函数)y=-5x十m的图像是一条抛物线，开口向上，对称轴方程为x=号，若它的 △=(-5)2-4m≥0 两个根都大于1，只需满足 f(1)=-4+m> 0解得4<m<孕 所以m的取值范围是4<m<空 3.解：设关于x的方程(m十3)x2一4m.x十2m一1=0的两实根分别为x1,.x2, △=(4m)2-4(m+3)(2m-1)>0, 则=00… 解得0<m<合 +->0. 4.解：当2十1>0时，如下图，当x=0时，m一1<0，满足条件， 2m+1>0, 所以 m-1<0, 解得-名<m<1: 9 心及 当2m十1<0时，如下图，当x=0时，m一1>0，满足条件， 1 2m+1<0, 所以 方程组无解 m-1>0, 完上可知·二m3 1.B2.B3.D4.D5.D6.B 7.解：(1)根据题意，关于x的一元二次方程x2一2a.x十a十2=0有两个不同的正根时，需满足 △=4a-4(a+2)>0, x1+x2=2a>0, 解得a>2. x1·x2=a+2>0, 1<a<3, △=4a2-4(a+2)>0, (2)令f(x)=x2-2ax+a+2,则当满足 时，即2<a<号时，方程 f(1)=3-a>0, f(3)=11-5a>0 x2一2ax十a十2=0有不同的两根且两根均在1,3之间. 50