第二篇 第六章 二次函数求最值问题-【衡水金卷·先享题】数学初高中知识衔接手册

夹西密单辰位间思 初中知识回丽 同学们，在初中我们已经学习了二次函数y=ax2十bx十c的部分性质，相信你能完成以 下各题， 1.利用配方法求下列函数的对称轴和顶点坐标： (1)y=x2+2x+5: (2)y=2.x2+6.x-1: (3)y=(x+2)(x+5): (4)y=(2x+3)(x-1). 2.将y=a.x2十b.x十c配方，并完成下列问题： (1)a>0时，①x= 时，y取最小值，ym= ②x<一品时y随x的增大而 ③.x>- 时，y随x的增大而 (2)a<0时，①x= 时，y取最大值，ymx= ②<一名时y随x的增大而 ③.x>- 时，y随x的增大而 3.你能画出二次函数y=x一4x十1的图像，并求出它的最大值或最 小值吗？ 我们将y=x2一4x+1配方得到y=(x一2)2一3，由此我们可以得到 二次函数y=x2一4x十1的对称轴为x=2,顶点坐标为(2，一3)，其图像如 右图所示.所以当x=2时，y有最小值为一3，无最大值. 少高申球现 当自变量x分别满足3≤x≤4,0≤x≤1,0≤x≤5时，你能分别画出此时二次函数y x2一4x十1的图像，并判断函数是否有最大值或最小值吗？如果有，你能求出它的最大值或最 小值吗？ 37 了心及 我们可以根据上面的分析画出当3≤x≤4,0≤x≤1,0≤x≤5时的图像如下图所示. 6 56 456 2 图1 图2 图3 当3≤x≤4时，根据图像我们可以观察到此时函数的图像为抛物线的一部分（如图1）.当 x=4时，函数有最大值，最大值为1：当x=3时，函数有最小值，最小值为一2. 当0≤x≤1时，根据图像我们可以观察到此时函数的图像也为抛物线的一部分（如图2）. 当x=0时，函数有最大值，最大值为1：当x=1时，函数有最小值，最小值为一2. 当0≤x≤5时，根据图像我们可以观察到此时函数的图像还是抛物线的一部分（如图3） 当x=5时，函数有最大值，最大值为6：当x=2时，函数有最小值，最小值为一3. 思考：根据上述问题，你能总结出当自变量x取值范围发生变化时，二次函数y=ax2十 bx十c(a≠0)的最值情况吗？ 总结：对于二次函数y=ax2十b.x十c(a≠0)， (1)当自变量取全体实数时， ①若a>0.则当x=一名时，取最小值ym- 4a ②若a<0,则当x=一乡时，取最大值y=4如C二 2a Aa (2)当m≤x≤n时，则应首先判定其顶点横坐标x。是否在m,n之间， ①若x0在m,n之间，二次函数y=ax2十b.x十c(a≠0)的图像变为抛物线的一部分，y a.x2十bx十c(a≠0)有最大值和最小值. 若a>0,当x=x。时，取最小值；当x=m或u时，取最大值. 若a<0,当x=xo时，取最大值；当x=m或n时，取最小值 ②若x不在m,n之间，二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图像也变为抛物线的一部分， y=a.x2十bx十c(a≠0)也有最大值和最小值，当x=m或n时，分别取得最大值或最小值. 若0≤x≤3，则函数y=一x2十4x一2上的最大值是 ,最小值是 解：将二次函数配方得y=一(x一2)+2，可知其图像开口向下，对称轴是x= 2,顶点坐标为(2,2)，如右图所示，函数的最大值为2，最小值为一2. 38 已知0≤号，求函数y=r十十1的最值. 解：将二次函数配方得y=(+号)°+子，可知其图像开口向上，对称轴方程是 19 ,顶点坐标为一，），所以当0≤≤时，函数值y随x的增大面 013 增大，如右图所示，函数y=+x十1的最小值为1，最大值为只 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销量m(件)与每件 的售价x(元)满足一次函数m=162-3.x,30≤x≤54. (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件售价x之间的函数关系式： (2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为 多少？ 【分析】解实际问题首先要审清题，将已知条件与未知关系理清，寻找它们之间的联系，然后设 出未知数字母，造相关的函数表达式（如本题中二次函数） 解：(1)根据题意得，每件商品的销售利润为(x一30)元，那么m件的销售利润为y=m(x一 30), 又因为m=162-3x,所以y=-3.x2+252x-4860(30≤x≤54)， 故所求的关系式为y=一3x2+252x-4860(30≤x≤54). (2)由(1)得y=-3.x2+252.x-4860=-3(x-42)2+432(30≤x≤54)， 当x=42时，y有最大值，且为432， 故每件商品的售价定为42元最合适，最大销售利润为432元. 1.函数y=x2+2x一3(0≤x≤3)的最小值是 ,最大值是 2.观察函数y=x2一2x一3的自变量x在下列范围内变化时的图像，并求出其最值. (1)-4≤x≤-1：(2)-4≤x≤5： (3)4≤x≤6. 3.当自变量x在下列范围内变化时，求函数y=x2一4x十2的最值，并求出函数取最值时，对 应的x的值. (1)0≤x≤1： (2)3≤x≤5： (3)0x5. 39 4.用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m的矩形吗？当长，宽分别为多少米 时，所围成的矩形的面积最大？ 1.若不等式2≤x2十px十10≤6恰好有一个解，则实数p的值是 A.2 B.-2 C.2或-2 D.4或-4 2.函数y=2x2一3.x一1的最小值为 3.函数y=-x2十4x十5（一1≤x≤5）的最小值为 ,最大值为 4.观察函数y=x2一6.x十8的自变量x在下列范围内变化时的图像，并求出其最值. (1)1≤x≤4； (2)3≤x≤5； (3)-1≤x≤1. 5.已知y=一x2十2x十3，求自变量x在下列各范围内时，函数的最大值和最小值. (1)-2≤x≤-1：(2)2≤x≤3： (3)0x≤3. 6.(1)现在要建一个长方形足球场，其周长为340m,则该足球场的最大面积为多少？ (2)国际足联规定：用于国际比赛的足球场的形状应为长方形，长度不能小于100m,不能大 于110m:宽度不能小于64m,不能大于75m.现在要建一个能用于国际比赛的足球场，其 周长为340m,则该足球场的最大面积为多少？ 7.当1<<1十1时，求函数)=-x-2的最小值（其中1为常数）. 1.-3,12 2.解：y=x2-2.x-3=(x-1)-4. (1)根据图像可知，当一4≤x≤一1时，函数y随x的增大而减小，所以当x=一4时，ymx= 21:当x=-1时，ymm=0. (2)当一4≤x≤5时，根据函数图像可知，当x=1时，ymm=一4：当x=一4时，ymx=21. (3)当4≤x≤6时，y随x的增大而增大，所以当x=4时，ymm=5:当x=6时，ymx=21. 3.解：(1)ymin=一1，此时x=1:ymx=2,此时x=0. (2)ym=一1，此时x=3:yx=7,此时x=5. 0园 (3)ymn=一2，此时x=2;ymx=7,此时x=5. 4.解：设矩形一边的长为xm,则另一边的长为(50一x)m,0<x<50.由题意，得x(50一x)> 600,即x2一50x+600<0,解得20<x<30.所以，当矩形一边的长在20~30m范围内取值 时，能围成一个面积大于600m的矩形. 用S表示矩形的面积，则S=.x(50-x)=一(x-25)+625(0<x<50). 当x=25时，S取得最大值，此时50一x=25.即当矩形的长、宽都为25m时，所围成的矩形 的面积最大， 1.D 2-g 3.0,9 4.解：(1)当x=3时，ymm=一1：当x=1时，yms=3. (2)当x=3时，ymim=-1:当x=5时，ymax=3. (3)当x=1时，ymm=3:当x=一1时，ymmx=15. 5.解：(1)当x=-2时，ymm=一5：当x=一1时，ymx=0. (2)当x=3时，ymm=0:当x=2时，ymx=3 (3)当x=3时，yim=0:当x=1时，ymx=4. 6.解：设长方形的长为xm,则宽为(170一x)m, .S=x(170-x)=-(x-85)2+7225. (1)当x=85时，Smx=7225. (2)若100≤x≤110且64≤170-x≤75，则100≤x≤106， 则当x=100时，Smx=7000, ∴.当长方形的长为100m,宽为70m时，该足球场面积最大，最大面积为7000m. 7解：因为y=号-x一号-2(x一1)-3，所以函数图像开口向上，且对称辅方程为x=1. 当t+1<1,即t<0时， 根据二次函数的图像可知，当x=1十1时，函数的最小值为y=-3: 当t≤1≤t十1，即0≤≤1时， 根据二次函数的图像可知，当x=1时，函数的最小值为ym=一3： 当>1时，根据二次函数的图像可知，当一1时，函数的最小值为一一1一号 1