第二篇 第五章 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系-【衡水金卷·先享题】数学初高中知识衔接手册

第五章 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系 初中知识回顾 同学们，我们已经学习过了一元二次方程的解法和二次函数的有关知识，相信你能解决下 列问题： 1.方程x2-2x一8=0的解是什么？ 2.求二次函数y=x2一2x一8的对称轴和顶点.。 高中知识探究 已知二次函数y=x2一x一6，当x为何值时，y<0?当x为何值时，y>0? 我们能否通过作函数的图像，找出图像与x轴的交点，通过观察来解决上述问题呢？ 二次函数y=x一x一6的对应值表与图像如下： -3 -2 一1 0 1 2 3 4 y 6 0 4 6 -6 一4 0 6 3-2-19 124 显然，当x=一2或x=3时，y=0,即x2-x-6=0: 当-2<x<3时，y<0,即x2-x-6<0: 当x<-2或x>3时，y>0,即x2-x-6>0. 这就是说，若抛物线y=x2一x一6与x轴的交点是（一2,0）与(3,0)，则一元二次方程 x2一x一6=0的解就是x1=一2,2=3：一元二次不等式：x2一x一6<0的解集是一2<x<3: 一元二次不等式x2-x-6>0的解集是x<一2或x>3. 这个问题实际就是解一元二次方程x一x一6=0和一元二次不等式x2一x一6<0与x2 x一6>0的问题.通过上述讨论，我们看到一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间存在 着密切的关系 对于我们即将在高中要学习的一元二次不等式的解法就可以通过上述讨论来解决。 31 衡水金卷光享题初高中知识衔樓手册数学 HENGSHUI JINJUAN 任何一个一元二次不等式，最后都可以转化为a.x2+b.x+c>0或a.x2十bx十c<0(a>0)的 形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图像 有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式 的解集. 一元二次方程ax2十bx+c=0(a>0),二次函数y=a.x2十bx十c(a>0),一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+b.x+c<0(a>0)三者的关系，如下表： 4=-4ac>0 △=6-4ac=0 △=i-4ac0 方程 有两个不等实根 有两个相等实根 a.x2+br+e=0(a>0 无实根 x1,x:(x1<t) 的根 =x=一20 二次函数 y=ax2+h.x十c(a>0y 的图像 a.x2+br+c>0(a>0) r<E1或x>r 的解集 品 全体实数 ax2+br十c<0(a>0 T1<x< 无解 无解 的解集 注意：(1)对于二次项系数是负数（即α<0）的不等式，可以先把二次项系数变成正数，再 求解 (2)当方程a.x2+bx+c=0(a>0)有两个根时，不等式a.x2十bx+c>0(a>0)的解集简记 为两根之外：ax2+b.x+c<0(a>0)的解集简记为两根之内. 例门解下列不等式： (1)x2-7x+12>0: (2)-x2-2x+30: (3)x2-2x+1<0: (4)x2-2x+2>0. 解：(1)①判断解的个数：△=（一7）2一4×1×12=1>0，所以方程有两个不等的解； ②求方程x2-7.x+12=0的解：x2-7x十12=0→(x-3)(.x-4)=0→x1=3,x2=4: ③根据y=x2一7x+12的图像，可得原不等式x2一7x+12>0的解集是x<3或x>4(或 利用结论：不等式的解集为两根之外，即得x<3或x>4). (2)①转化为标准形式：不等式两边同时乘以一1，原不等式可转化为x2十2.x一3≤0： ②判断解的个数：△=4十12=16>0，所以方程有两个不等的解； ③求方程.x2十2.x-3=0的解：x2+2x-3=(.x十3)(x-1)=0→x1=-3,x2=1: ④根据y=x+2x一3的图像，可得x2十2x-3≤0的解为一3≤x≤1，即得原不等式 -x2-2x+3≥0的解集是-3≤x≤1. (3)①判断解的个数：△=（一2）2一4×1×1=0，所以方程有两个相等的解： ②求方程x2一2x十1=0的解：x2一2x+1=(x一1)”=0→x=1: 32 HENGSHUI JINJUAN 初高中数学牧材衔接第二篇 ③根据y=x一2x+1的图像，可得原不等式x2一2x十1<0无解. (4)①判断解的个数：△=（一2）-4×1×2=-4<0，所以方程无实数解； ②根据y=x2一2x十2的图像，可得原不等式x2一2x十2>0的解集为全体实数 归纳解一元二次不等式的解题步骤：(1)转化为标准形式（即二次项系数为1）；(2)判断 解的个数；(3)利用(2)，如果有解则求出解：(4)作出标准形式对应的二次函数的草图，并写出 不等式的解集即为所求不等式的解集. 例2已知关于x的不等式x2一m.x十n≤0的解集是一5≤x≤1，求实数m,n的值. 解：，不等式x2一m.x十n≤0的解集是一5≤x≤1， .x1=一5，x2=1是x2一mx十n=0的两个实数根. -5+1=m,.m=-4, ∴由根与系数的关系，知 -5×1=n.n=-5. 例3已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>一2x的解集为1<x<3.若方程 f(x)十6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式. 解：设f(x)=ax2十b.x十c(a≠0)，，不等式f(x)>-2x的解集为1<x<3,即a.x2十 (b十2)x+c>0的解集为1<x<3,.a<0. 由根与系数的关系知，1+3=件名，1X3-台6=一4如-2c=30, ,方程f(x)十6a=0有两个相等的实数根，即a.x2一(4a十2)x十9a=0有两个相等的实数 根，4=(4a+2P-4aX9a=0,即a=1(舍)或a=-号 f(x）=- 5x2-6-3 5x-5 练 习 1.解下列不等式： (1).x2-5.x+6>0: (2)x2-5.x-6<0: (3).x2-2x+3>0: (4)x2+4x+5≤0. 33 衡水金卷光享题初高中知识衔接手册数学 HENGSHUI JINJUAN 2.解下列不等式： (1)2+3.x-2x2<0: (2)-x2-x>0: (3).x2-4x十4>0： (4)9x2+6.x+1<0. 3.若代数式6x2十x一2的值恒为非负实数，则实数x的取值范围是 作 业 1.√x一ax+6对任意实数x都有意义，则实数a的取值范围是 2.若a.x2十b.x-1<0的解集为一1<x<2,则a= ,b= 3.对任意实数x,函数y=px2一2px一4的值恒为负数，则实数p的取值范围是 4.解下列不等式： (1)x2-12x-64≥0： (2)x2+4x+4≤0： (3)-x2+2.x-2<0: (4)2.x2-4x+3<0. 5.解下列不等式： (1)(x-1)(3-x)<5-2x: (2)x(x+11)>3(x+1)2. 6.已知不等式ax2十bx十c>0的解集为a<x<B(0<a<3),求cx2十bx十a<0的解集. 3 HENGSHUI JINJUAN 初高中数学牧材衔接第二篇 7.解关于x的不等式m2x十2>2m.x十m. 练习题答案。 1.解：(1)x>3或x<2. (2)-1<x<6. (3)全体实数. (4)无解. 2.解：1)x>2或x<- (2)-1<x<0. (3)x≠2. (4)无解. 3.x≤- 孩≥ 作业答案。 1.-26<a<2622-号 3.-4<p≤0 4.解：(1)x≥16或x≤-4. (2)x=-2. (3)全体实数. (4)无解. 5.解：(1)x<2或x>4. (21<< 6,【分析】由一元二次函数、方程、不等式之间的关系，知一元二次不等式的解集实质上是用根 来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系.考虑使用根与系数的关系. 解：法一：由解集的特点可知a<0,根据根与系数的关系知： b=a十B b =-(a+)<0, 即 C=a·B a S=a·g>0. =a…,a=1.1 c a B ② 35 衡水金卷先享题初高中知识衔接手册数堂 HENGSHUI JINJUAN :c<0,cx2+bx十a<0可转化为x2+bx+a>0, 由①@，得方是2+总+是-0的两个根，且时→司 a月>0， r+之+>0，即cr+b+a<0的解集为x>或x<日 法二：，cx2十bx十a=0是a.x2十bx十c=0的倒数方程， 且ax2+bx十c>0的解集为a<x<3, 六cr+r+a<0的解集为x>或x<日 说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维. 7.解：由m2x+2>2m.x十m,整理得m(n一2)x>m-2. (1)当m=0时，0>一2恒成立，不等式的解集为全体实数： (2)当m=2时，0>0不成立，不等式无解： (3)当m>2时，由m(m-2)x>m-2,可得x>1: m (4)当0<m<2时，由m(m-2)r>m-2,可得x< (5)当m<0时，由m(m-2)x>m-2,可得x>1. 36