第二篇 第四章 一元二次方程根与系数的关系-【衡水金卷·先享题】数学初高中知识衔接手册

一元二况去经振与凉的蓝相 初中知识回同 根据配方法，一元二次方程ar十十c=0a≠0)可转化为(c+品)_，因为a≠ 4a2 0,所以4a2>0,所以方程是否有解取决于？一4ac与0的大小关系.因此我们把b一4ac叫做 一元二次方程a,x2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用“△”来表示.当△>0时，方程有两 个不相等的实数根：当△=0时，方程有两个相等的实数根：当△<0时，方程没有实数根.而且 无论是判别式的值还是方程的根都是由一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的各项系数a,b, c决定的.今天我们来研究方程的两根之和及两根之积与a,b,c有什么关系. )高中如标家 请认真填写下表： 一元二次方程 两根x1,x2 I+I: T1E2 x2-5.x+6=0 x2+3.x+2=0 x2-8x-9=0 2x2-3.x-2=0 3x2+4x+1=0 1.先从前面三个方程（二次项系数是1）观察x1十x,x1x的值与一次项系数及常数项的 关系（两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项） 2.再看后面两个方程（二次项系数不是1），观察x1十x2,x1x2的值与系数的关系（把方程 的二次项系数变为1后，仍符合上述规律). 3.猜想a.x2十bx十c=0(a≠0)的两根之和、两根之积与a,b,c的关系. 我们发现：如果方程ar2+bx十c=0(a≠0)的两根为，x,那么十=一么 = 台如果将方程ar2+6x+c=0a≠0)变形为2+2r+=0,记作2+pr十g=0,那么恰好 与前面我们发现的规律相同，即十=一p=一合=q= 24 思考：如何用理论来证明我们发现的规律？ 证明：一元二次方程ax2十bx十c一0(a≠0)的两根为x1,x2,则 x十，=b+yB-4ac+-b-F-4ac -2b_-b 2a 2a 2a 2=一h+√公一4ac.二b4ae=4a=&】 2a 2a 由此我们得到一元二次方程根与系数的关系定理：如果一元二次方程ax2十bx十c=0 = (a≠0)的两根为x1,x,那么十x,=一b, a 为了纪念在研究和推广这个定理中做出贡献的法国数学家韦达，又把这个定理叫做韦达 定理 圆不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1)2x2-3.x+1=0:(2)4y2+9=12y:(3)5(x2+3)-6.x=0. 解：(1)△=(-3)2一4×2×1=1>0，所以方程有两个不等的实根. (2)4y2+9=12y转化为一般形式为4y2-12y+9=0, 所以△=（一12）2一4×4×9=0，所以方程有两个相等的实根. (3)5(.x2+3)-6.x=0转化为一般形式为5.x2-6.x+15=0, 所以△=（一6）2一4×5×15=一264<0，所以方程实数根的个数为0. 提醒：在求判别式时，务必先把方程转化为一元二次方程的一般形式， 题设x1,x2是方程2x2一2x一1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)(2x1+1)(2.x2+1); (2)(.x1-x2)2: + (4)(x7+2)(x2+2). 解：由题意知十2=1，=一号 2 (1)(2x1+1)(2x2+1)=4.x1x2+2(x1十x)+1=1. (2)(x1-x2)2=(x十x2)2-4x1x2=3. (3)1+1=十=-2. (4)(x+2)(x2+2)=xx+2(x+x)+4=(x1x2)2+2(x1十x)2-4x1x2+4 =(xx-2)2+2(x+2)2=33 4 25 已知方程2.x2+kx一7=0的一个根是一2，求它的另一个根及k的值 2十x1=一 2 k二2 解：设另一个根为，由根与系数的关系，可得 7 2x=- 2 x=4 求一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x一2=0两根的2倍. 解：设已知方程的两根为x1,x2,则x1十x=一3，x1x2=一2. 所求方程的两根分别为2.x1,2.x2,所以2x1十2x2=一6,2x1·2x2=一8. 所以所求方程为x2十6.x一8=0. 1.如果关于x的一元二次方程x2十x十a=0的一个根是一1，那么a的值是 2.一元二次方程p.x2+qx十r=0(p≠0)的两根为0和一1，则g:p= 3.下列方程中，两根之和与两根之积各是多少？ (1)x2+3x-4=0: (2)3.x2-2x-2=0: (3)2x2+3x=0: (4)3.x2=16. 4.已知一元二次方程8.x2一(2m十1)x十1一7=0，根据下列条件分别求出m的值： (1)两根互为倒数： (2)两根互为相反数； (3)有一根为零. 5.已知关于x的方程x+3.x十m=0的一个根是另一个根的2倍，求m及两根. 1.若a,b为方程x2-4(x十1)=1的两根，且u>b,则号 ( A.-5 B.-4 C.1 D.3 26 2.定义：如果一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)满足a十b十c=0,那么我们称这个方程 为“风凰”方程.已知a.x2十bx十c=0(a≠0)是“风凰”方程，且有两个相等的实数根，则 下列结论正确的是 ( A.a=c B.a=b C.b=c D.a=b=c 3.设a,b是方程x2+x-2018=0的两个实数根，则a+2a十b的值为 () A.2015 B.2016 C.2017 D.2018 4.关于x的一元二次方程x2一mx十2m一1=0的两个实数根分别是x1,x2,且xi十x=7,则 (x1一x2)的值是 A.1 B.12 C.13 D.25 5.已知关于x的方程x2一kx一6=0的一个根为一2，则实数k的值为 6.已知关于x的一元二次方程x2一x一m=0没有实数根，则实数m的取值范 围是 7.关于x的一元二次方程一x2十(2k十1)x十2一2=0有实数根，则实数k的取值范 围是 8.已知方程x2十5.x一7=0，不解方程，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程的 两个根的倒数的相反数. 9.已知x1,x2是方程.x2一2.x十a=0的两个实数根，且x1十2x2=3一√2. (1)求x1,x2及a的值： (2)求x-3.+2x1+x的值. 27 10.已知关于x的方程x2一(k+1)x十 十1=0，根据下列条件，分别求出飞的值. (1)方程两实根的积为5： (2)方程的两实根x1,x2满足|x1=x2· 11.已知关于x的方程m.x2一n.x十2=0的两根相等，方程x2一4m.x十3n=0的一个根是另一 个根的3倍(m≠0).求证：方程x2一(k十n)x十(k一m)=0一定有实数根. 12.已知x1,x2是一元二次方程4kx2-一4kx十k+1=0的两个不等的实数根. (1)是否存在实数k,使(2x一x)(1一2x2)=- 成立？若存在，求出友的值：若不存在， 请说明理由. (2)求使+一2的值为整数的实数k的整数值. T? 1.02.1 3.解：(1)x1十x2=-3,x1x2=一4. 2)x+=30g2 3 (3)十2=-3 r=0 (4)十w=0,xx4=-1 3 4解：设已知方程的两根为，，则x十，=2.1， 801x2=m7 8. 1)若两根互为倒数，则=1，即0g7=1,即m=15。 (2若两根互为相反数，则十=0，即2m81=0,即m=一 8 28 (3)若有一根为零，则14=0，即m。7=0,即m=7. 8 5.解：设方程的两根分别为x1,2.x1,则x1十2x1=一3，x1·2x1=m,所以两根分别为一1和 -2,m=2. 1.A2.A3.C4.C516m<-7.k>-号 8.解：设已知方程的两根分别为x1,x2,则x1十x=一5，x1xg=一7，所求方程的两个根分别为 子六所以-（份十》==一号一7·所以所求方程为+号一号 Tr3 -7'x1x2 =0. 9.解：(1)设已知方程的两根分别为x1,x2,则x1十x2=2,x1x2=a,且x1十2.x2=3一√2，即2十 x2=3一√2，所以x2=1一√2，x1=1十√2，则a=-1. (2)x-3.x+2x1+x2=1. 10.解：由题意设方程的两根分别为。，所以十=十1·=十1， (1)2+1=5,求得k=士4 (2)因为x|=x2,所以当x1≥0时，有x1=x2, 所以十=+1且·=十1，得到生)=+1，求得=多： 当<0时，有一=，所以-x=k十1，且一x·西=+1， 得到=一1，此时=一号，故此情况不存在。 5 综上所述，可知k=多 11.解：，方程mx2一n.x十2=0的两根相等，则m≠0， .n2-8m=0.① 方程x2一4mx十3n=0的一根是另一根的3倍，故可设这两根分别为a,3a, 则4a=4m,3a2=3n.② 由①和②，解得m=2,n=4, ∴.x2-(k十n)x十(k-m)=0,即x2-(k十4)x十(k-2)=0, ,△=(k+4)2一4(k一2)=k2+4k+24=(k+2)2+20, 又.无论k为何值，都有(k十2)2≥0，.(k十2)2十20>0，即△>0， ∴.方程x一(k十)x十(k一m)=0一定有实数根. 29 12.解：因为x1,x2是一元二次方程4kx一4kx十k十1=0的两个不等的实数根， 所以k≠0且4=（一4）2-4·4k·(k+1)>0,求得<0，且4十2=1，西·2=行 1)假设存在实数，使(2-)（知-2）=一号成立， 即2-5+2=-号，可变形为2十)2-9n+是=0， 即2X1-9×安+号-0，求得=号这与<0矛盾， 4k 故不存在实数，使（2-)（国一2）=一多成立。 2A+是-2=计-2=t-4=-6 4 T12 TIE2 因为k<0,所以当k=一2时，+-2=4： 当k=-3时，9+2-2=2： 当k=一5时，4+-2=1. 综上所述，可知实数k取一2，一3，-5时，石+2-2的值为整数. 30@