第二篇 第三章 一元二次方程解法-【衡水金卷·先享题】数学初高中知识衔接手册

第三章 一元二次方程解法 o-O 初中知识回顾 ·元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学 习数学的基础 一元二次方程的一般形式为a.x2十bx十c=0(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的 最高次数是2的整式方程.解一元二次方程的基本思想是通过“降次”将它转化为两个一元一 次方程.一元二次方程有四种解法：一、直接开平方法：二、配方法：三、公式法；四、因式分解法 一、直接开平方法 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=m士√n. 例解方程： (1)(3.x+1)2=9: (2)9.x2+24x+5=0. 【分析】(1)求解此方程显然用直接开平方法：(2)方程先变形成9x2十24x十16=11，然后方程 左边是完全平方式(3.x十4)，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法求解. 解：(1)，(3.x+1)2=9,.3x+1=士3（注意不要丢解）， =号。= 2 六原方程的解为工=了，西=一 (2),9x2+24x+5=0,即9.x2+24x+16=11,即(3.x+4)2=11, .3x十4=士√1I, =T-4,,=二T-4 3 3 “原方程的解为=-44=二-4 3 3 二、配方法 用配方法解方程a.x2十bx十c=0(a≠0)，先将常数c移到方程右边，得a:x2十bx=一c;然 后将二次项系数变为1，得x+么x=一二：再将方程两边分别加上一次项系数的一半的平方， 得2+总+（会）=一后+（会）：最后将方程左边转化为一个完全平方式，得(+品)= 18 HENGSHUI JINJUAN 初高中数学牧材衔接第二篇 ac.当一4ac≥0时方程有解，此时4一生二4如c(这就是求根公式) 2a 例2用配方法解方程3.x2-4x一2=0. 解：将常数项移到方程右边，得3.x一4x=2, 将二次项系数变为1，得-专=号 方程两边都加上一次项系数一半的平方，得产一专十号-号十号 配方，得(-号)=9 直接开平方，得x=2士10 3 “原方程的解为2+0-20 3 3 三、公式法 把一元二次方程转化成一般形式，然后计算判别式△=b一4ac的值，当b一4ac≥0时，把 各项系数a,b,c的值代人求根公式x12=一士二4@c,就可得到方程的根。 2a 3用公式法解方程2x2+8.x=5. 解：将方程转化为一般形式2x2十8.r-5=0, .a=2,b=8,c=-5. △=b一4ac=82-4×2×(-5)=104>0, 14=-8104--8±22西-2士2 2×2 六原方程的解为=一2+2 2m=-2-y26 2 四、因式分解法 把方程变形为一边是零，另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一 次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程 的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 例马用因式分解法解下列方程： (1)(.x+3)(x-6)=-8: (2)2.x2+3.x=0: (3)6.x2+5.x-50=0. 解：(1)(x十3)(x一6)=一8化简整理，得x2一3x-10=0, 方程左边分解因式，得(x一5)(x+2)=0, .x-5=0或x+2=0. .x1=5,x2=一2是原方程的解. 19 衡水金卷先享题初高中知识衔接手册数学 HENGSHUI JINJUAN (2)2x2十3x=0方程左边分解因式，得x(2.x十3)=0， .x=0或2x+3=0. 六0=0，x2=- 是原方程的解 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解. (3)6.x2+5x一50=0方程左边分解因式，得(2x一5)(3.x十10)=0， .2x-5=0或3.x+10=0. -号-9是原方程的解。 总结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要 先将方程写成一般形式，同时应将二次项系数变为正数.直接开平方法是最基本的方法，公式 法和配方法是最重要的方法，公式法适用于解任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用 公式法时，一定要把原方程转化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式 的值，以便判断方程是否有解.配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法 解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程.但是配方法在学习其他数学知识时 有广泛的应用，是我们必须掌握的一种重要的数学方法. 练 习 1.用适当的方法解下列方程： (1)6x2-x-2=0: (2)(x+5)(x-5)=3: (3)x2-4x+4=0: (4)(2x+3)2+5(2x+3)-6=0. 2.解下列关于x的方程： (1)x2-a.x+b=0: (2).x2-(a+1)x+a=0. 作业 1.方程x(r-5)=5(x-5)的根是 A.5 B.-5 C.5或-5 D.5或0 20 HENGSHUI JINJUAN 初高中数学牧材衔接第二篇 2.多项式a2-4a-10的值等于11，则a的值为 A.3或7 B.3或-7 C.-3或7 D.-3或-7 3.若一元二次方程ax十bx十c=0中的二次项系数、一次项系数以及常数项之和等于零，那么 方程必有一个根是 () A.0 B.1 C.-1 D.±1 4.一元二次方程a.x2十bx十c=0有一个零根的条件可以为 ( A.b≠0且c=0 B.b=0且c≠0 C.b≠0且c≠0 D.a≠0且c≠0 5.方程x2-3x=10的两个根是 ( A.-2或5 B.2或-5 C.5或2 D.-5或-2 6.方程x2-3x+3=0的解是 A.2或1 B.3或1 C1+或1-号 D.无实根 7.方程x2-2x一4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是 A.(x-1)2-5=0 B.(x-1)2=5 C.(x-2)2-8=0 D.(x-2)2=8 8.解下列关于x的方程： (1)x2+2x-3=0: (2)4(x+2)2-9(x-3)=0: (3)x2-23x=-2: (4)4.x2-4m.x-10x+m2+5m+6=0. 9.解方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0. 10.用配方法解关于x的一元二次方程x2十px十q=0. 11.若x1,x2分别是一元二次方程2x2十5.x-3=0的两根，求值： (1)1·x2: 11 (2)x1+x2: (3)lx1-x2; (4)x+x; (5) ②1 衡水金卷先享题初高中知识衔接手册数学 HENGSHUI JINJUAN 练习题答案0 1.解：(1)x,=- 22 · (2)x1=2√7，x2=-2√/7. (3)x1==2.(4)x=-9 x2=-1 2.解：1)当a2-4≥0时，=a+V-4 2 ,=a-Va2-4 当a2-4b<0时，原方程无解. (2)由.x2-(a+1)x十a=0,得(x-a)(x-1)=0,即x-a=0或x-1=0,所以x1=1, x2=a.所以x1=1,2=a是原方程的解. 作业答案。 1.A2.C3.B4.A5.A6.D7.B 8.【分析】(1)可用十字相乘法将方程左边分解因式. (2)首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算.观察后发现，方程左边可用平方差 公式分解因式，转化成两个一次因式的乘积 (3)转化成一般形式后利用公式法求解. (4)把方程变形为4x2一2(2m十5)x十(m+2)(m十3)=0，然后可利用十字相乘法分解 因式 解：(1)由x十2.x-3=0,可得(x十3)(.x-1)=0, .x+3=0或x-1=0. .x1=一3，x2=1是原方程的解. (2)由4(x+2)2-9(x-3)2=0,可得[2(x十2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0. 即(5x-5)(-x+13)=0,.5x-5=0或-x+13=0. .x1=1,x2=13是原方程的解. (3).x2-25x=-2可转化为x2-23x十2=0. △=(2√3)2-4×2=4>0， x14=234=5士1. 2 ∴.x1=√3十1，x2=3一1是原方程的解. (4)4x2-4m.x-10.x+m2+5m+6=0可转化为a4.x2-2(2m十5)x+(m+2)(m+3)=0, 即[2.x-(m+2)][2x-(m+3)]=0,.2.x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0. -”士号。=m士是原方程的解。 9.【分析】此方程如果先做乘方、乘法，再合并同类项转化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔 22 HENGSHUI JINJUAN 初高中数学牧材衔接第二篇 细观察题日我们发现，如果把x十1和x一4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘 法分解因式（实际上是运用换元的方法）， 解：3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0可转化为[(x+1)+(x-4)][3(x+1)+ 2(x-4)]=0,即(2x-3)(5.x-5)=0,.∴.2x-3-0或5x-5=0. 5=号=1是原方程的解。 10.解：x2十px十q=0可变形为x2十p.x=一g. 方程两边都加上一次项系数一半的平方，得x+px+套=一q十 配方，得(+号)广=，9当p-4g>0时，=二生P=9 2 ,=二p十P4,=二二P9:当p-4<0时，原方程无实根 2 11.解：由2x+5.x-3=0,得(x+3)(2x-1)=0,即x+3=0或2x-1=0, 得=-3=2 81-=-3-引-子+=（一3+（侵》=平 6+* 37 23