第二篇 第二章 因式分解-【衡水金卷·先享题】数学初高中知识衔接手册

国会器 少带知回丽 在初中我们学习了简单的因式分解，你还记得什么是因式分解吗？多项式的乘法和多项 式的因式分解有什么区别与联系？ 在回忆这些知识的基础上，试将下列多项式进行因式分解： (1)x2-2xy+y2=( ): (2)x2-4=( )( (3)a2(x-y)-(x-y)=( )( )( (4).x2+(a+b)x+ab=( )( 把一个多项式分解成几个整式的乘积的形式叫做多项式的因式分解，也叫做将多项 式分解因式 从上面的例子可以看到，多项式的因式分解过程与多项式的乘法过程是互逆的变形过程. 初中我们已经学习过因式分解的两种基本方法：提取公因式法和公式法.下面我们来学习另外 两种非常重要的方法：分组分解法与十字相乘法。 一、分组分解法 1,分组后能提取公因式 思考1：如何把多项式2ax一10ay十5by一bx进行因式分解？ 把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组 分别提取公因式2a与一b,这时另一个因式正好都是x一5y,这样可以继续提取公因式， 2ax-10ay+5by-bx=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b). 说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方 法.本题也可以将一、四项分为一组，二、三项分为一组，同学们不妨一试. 2.分组后能直接运用公式 思考2：如何把多项式x2-y2十ax十ay进行因式分解？ 把第一、二项分为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一 个因式是x十y:把第三、四项作为另一组，在提取公因式：后，另一个因式也是x十y. 即x2-y2+十ax十ay=(x-y)(x十y)十a(x+y)=(x+y)(x-y+a). 说明：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且 各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分 解因式。 o 第三 (1)特征：一般适用于四项以上的多项式，且没有公因式，又不能直接利用公式法分解，但是如 果将前两项与后两项分别结合，把原多项式分成两组，再提取公因式，即可达到分解因式的目的 (2)原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 (3)有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正 确分解即可， 圆将下列各式分解因式： (1)a2-ab+ac-bc; (2)a2-b2+a+b. 【分析】使用分组分解法的关键在于如何恰当的分组，目的是在分组后进行恰当的变形，为使用 提取公因式法和公式法创造条件， :(1)a2-ab+ac-be=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a+c)(a-b). (2)a2-b+a+b=(a-b)(a+b)+(a+b)=(a+b)(a-b+1) 思考：上面两个例题除了给出的分组形式外还有其他的分组形式吗？ 将下列各式分解因式： (1)x3-2.x+1: (2)4.x+3x2+1. 【分析】当所给的多项式无法提取公因式时，可以适当地添项或者把某些项拆成两项，从而达 到分解因式的目的， 解：(1)法一：x2-2x+1=(x2-1)-(2x-2)=(x-1)(.x+x十1)-2(x-1) =(x-1)(x2+x-1). 法二：x-2x+1=(x3-x）-(x-1)=x(x2-1)-(x-1)=(x-1)[x(x+1)-1] =(x-1)(x2+x-1). (2)原式=(4x+4x2+1)-x2=(2x2+1)2-x2=(2.x2+x+1)(2x2-x+1). 思考：上面两个例子还有其他的添项、拆项方法吗？ 二、十字相乘法 思考3：多项式x2十5.x+6能用上面的方法分解因式吗？分解后各因式的系数和原多项 式的系数有什么样的关系？ 我们知道(.x十2)(x+3)=x2十5.x十6，反过来，就得到二次三项式x2十5.x十6的因式分 解，即x+5x+6=(x+2)(x+3). 为方便起见，将系数和常数项的关系写成如下交叉表示图： 1×3+1×2=5 想一想：这里1×1= 系数)，2×3= 系数)，1×3+ 1×2= 系数). 一般地，由多项式乘法(x十a)(x十b)=x2+(a十b)x+ab,反过来，就得到x2+(a十b)x十 ab=(x十a)(x+b). 为方便起见，将系数和常数项的关系写成如下交叉表示图： 1×6+1×a=a+b 归纳：x2十(a十b)x十ab型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1)二次项系数是1：(2)常数项是两个数之积：(3)一次项系数是常数项的两个因数之和. x2+(a+b)x+ab=x2+a.x+b.x十ab=x(x十a)十b(x+a)=(x十a)(.x+b), 因此，x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式. ■将下列各式分解因式： (1)x2+3.x+2: (2)x2-7x+6: (3)x2-4x-21; (4).x2+2.x-15. 【分析】按照上述分解方法的规则分解二次项系数和常数项有： (1)1 (2)1. 1 2 6 1×2+1×1=3 1×(-6)+1×(1=7 (3)1 3 (4)1 1 7 23 1×(-7+1×3=-4 1×(-3)+1×5-2 解：(1)x2+3.x十2=(x+1)(x十2). (2)x2-7x+6=(x-1)(x-6). (3)x2-4x-21=(.x+3)(x-7) (4)x2+2x-15=(x+5)(x-3). 推广：一般二次三项式a.x2十bx十c型的因式分解 大家知道，(a1x十c1)(a2x十c2）=a1a2x2十(a1c2十a2c1)x十c1c2,反过来，就得到a1a2x2十 (aic2+a2c)x+cic2=(ax+c)(azx+cz). 我们发现，二次项系数a分解成a1a2,常数项c分解成c1c,把a1,a,写成X,这里 按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2十a2c1,如果它正好等于a.x2十b.x十c的一次项系数b,那 么ax2+bx+c就可以分解成(a1x+十)(agx十c2）,其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行. 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法 把下列各式分解因式： (1)12x2-5.x-2: (2)5x2+6xy-8y. 12 【分析】按照十字相乘法的规则分解二次项系数和常数项有： (1)3 -2 (2)1 4 5 3×1+4×(-2)=-5 1×(-4+5×2-6 解：(1)12x2-5.x-2=(3.x-2)(4x+1). (2)5.x2+6.xy-8y=(x+2y)(5.x-4y). 注意：利用十字相乘法对二次三项式分解因式，应注意的是二次项系数及常数项的分解不 是唯一的，所以使用时往往需要多次尝试，正确的分解形式必须保证对角线上的两数乘积之和 恰好为一次项的系数.并且当常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数的 符号相同：当常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数 的符号相同. 利用十字相乘法将下列各式分解因式： (1)x+6.x2+8: (2)(x+y)2-8(x+y)+7. 【分析】(1)x=(x2)2,所以把x看成整体，然后利用十字相乘法分解因式.(2)将x十y作为 整体看待。 解：(1)x+6.x2+8=(.x2+2)(x2+4). (2)(x+y)-8(x+y)+7=(x+y-7)(x+y-1). 将下列各式分解因式： (1)15.x2+x-2: (2)21x2-31x-22 【分析】当x项系数不为1时，可以把此系数与常数项都分解，只要交叉乘积之和为一次 项系数即可 (103 (2）)21 11 5 1 3×2+5×(-11 21×(-2+1×11-31 解：(1)15.x2+x-2=(3.x-1)(5.x+2) (2)21x2-31x-22=(21.x+11)(x-2). 将下列各式分解因式： (1)8.x2+2.xy-3y: (2)(x2+2x)-23(x2+2x)-24. 解：(1)8x2+2xy-3y2=(2x-y)(4x+3y). (2)(x2+2.x)2-23(.x2+2x)-24=(x2+2x-24)(x2+2x+1)=(.x+6)(x-4)(x+1)2. 三、大除法 思考4：如何求方程x2一2x2+3.x-2=0的解？ 显然，由观察得出x=1是方程的一个根，那么该方程左边的多项式必定可以写成下面形 式：x3一2.x2十3.x一2=(x-1)(_x2一x十2_)，那么我们如何确定空缺部分呢？下面我们介绍 大除法： 13 x2-x+2 x13-2x2+3.r-2 I-x2 -x2+3r2 -x2+x 2x2 2x-2 0 所以x3-2x2+3x-2=(x-1)(x2-x+2), 又因为x2-x十2>0恒成立，所以方程x一2x2十3.x-2=0的解为x=1. 分解因式：x3-3.x2+4= 解：法一：易得x一2为其中一个因式，由大除法： x2-x2 x-2x3-32+4 x3-2r2 x2+4 x2+2x -2x+4 2r+4 0 x3-3.x2+4=(.x-2)(x2-x-2)=(.x+1)(x-2)2. 法二：拆项 x3-3x2+4=x3+1-3.x2+3=(.x+1)(x2-x+1)-3(x+1)(x-1)=(.x+1)(x-2)2. 注意：从上面所学的知识中我们可以看出，因式分解的常用方法有：提取公因式法、公式 法、分组分解法、十字相乘法、大除法等，我们需要灵活、熟练地使用以上方法.因式分解一般按 如下原则进行： ①如果所给多项式有公因式，则先提取公因式： ②如果所给多项式没有公因式，则考虑能否使用公式法： ③如果所给的多项式是二次三项式，可使用十字相乘法： ④如果所给的多项式是四项或更多项，一般考虑分组分解，有时需要适当添项或拆项后再分组： ⑤分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止. 1.完成下列各题： (1)x2- -24=(.x+4)( (2)x2+9x+ =(x+4)( 2.将下列各式分解因式： (1)ac+bc+2a+2b: (2)ma十a3-mb-b. 3.将下列各式分解因式： (1)x2+9.x+14: (2)x2-10.x-39: (3)x2-3.xy+2y2. 4.已知多项式x2十a.xy十by2-5.x十y十6的一个因式是x+y-2,计算a+b. 1.如果x”十Ax一27可因式分解为(x一3)(x十B),那么A·B的值是 A.-54 B.54 C.-3 D.3 2.如果2x2-m.x十6可因式分解为(x一2)(2x-3),那么m的值是 A.7 B.-7 C.12 D.-1 3.如果x2+kx十4可以分解成两个一次因式的积，且k为整数，那么k应该是 A.±5，±3 B.±4 C.±4，±3 D.士4，±5 4.把x2-m2十4mn一4n2因式分解为 A.(x+m+2n)(x-m+2n) B.(x十m-2n)(x-m+2n) C.(x-1-2n)(x-m+2n) D.(x+m+2n)(x+m-2n) 5.在下列二次三项式中，不是x2十(p十q)x十pg型的式子的是 A.x2+12.x+20 B.x2+9x-18 C.x2-13x-14 D.x2+9.x-52 6.将下列各式分解因式： (1)x2+5.x-6: (2)x2-x-20: (3)x2+30.x+144. 7.将下列各式分解因式： (1)-m-16m+17: (2)3.x-7x2y2-20y; (3)x3-2.x3-8x. 8.将下列各式分解因式： (1)(x2-7x)2+4(x2-7x)-96: (2)x-2.x2(y2+2)+(y2+22)2. 9.将下列各式分解因式： (1)x2-bx-a2+ab;(2)a2+b2-2ab-c2: (3)m2+2+6n-6m-2mn+9. 5 10.已知15.x2-xy-28y2=0,求的值. 11.已知x2十(a十b)x十ab=x2+5x-6,试将多项式(a十b)x2十abx一8分解因式. 12.已知a2+9b-2a+6b十2=0，求a,b的值. 13.把6.x3+7x2-5x+1987用含有3x2-x-1的代数式表示. 1.解：(1)x2-2x-24=(x+4)(x-6) (2)x2+9x十20=(x十4)(x+5). 2.解：(1)ac+bc+2a十2b=c(a+b)+2(a+b)=(c+2)(a+b). (2)ma+a3-mb-b3=m(a-b)+(a-b)(a2+ab+b)=(a-b)(a2+ab+b2+m). 3.解：(1)x2+9x+14=(x+7)(x+2). (2)x2-10.x-39=(x+3)(x-13). (3)x2-3.xy+2y2=(x-2y)(x-y). 4.解：法一：大除法 x +-3 x+y-2/x'+axy+by2-5x +y +6 x2+xy -2x (a-1)xy+by2-3x +y +6 bxy+by2 -2by (a-b-1)y -3x +(1+2b)y+6 -3x -3y+6 (a-b-1)xy +(4+2b)y 故 -6-1=0→=-1, .a+b=-3. 4+2b=0 b=-2 法二：设x2+a.xy+by2-5x+y+6=(x十y-2)(.x+my-3), 展开得x2+axy+by2-5x+y+6=x2+(m+1)xy+my2-5x-(3+2m)y+6, 6 m+1=a, a=-1, 比较两边对应的系数得m一b, 解得b=-2,故a十b=-3. -3-2m=1, m=-2, 1.B2.A3.D4.B5.B 6.解：(1)x2+5.x-6=(x+6)(x-1). (2)x2-x-20=(.x-5)(x+4). (3).x2+30x+144=(.x+24)(x+6). 7.解：(1)-m-16mm+17=-(m+16m2-17)=-(m2+17)(2-1)=-(m+17)(m+1)(-1). (2)3.x-7x2y2-20y=(x2-4y2)(3.x2+5y2)=(x+2y)(x-2y)(3.x2+5y2). (3)x5-2.x3-8x=x(x3-2.x2-8)=x(x2-4)(x2+2)=x(x十2)(x-2)(.x2+2). 8.解：(1)(x2-7x)2+4(x2-7x)-96=(x2-7x+12)(x2-7x-8)=(x-3)(x-4)(x-8)· (x+1). (2)x1-2x2(y2+g2)+(y2+g2)2=[x2-(y2+2x2)]2=(x2-y2-22)2. 9.解：(1)原式=(x2-a2)-(bx-ab)=(x-a)(x十a)-b(x-a)=(x-a)(.x+a-b). (2)原式=(a2+6-2ab)-c2=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c). (3)原式=(m2+2-2mn)+(61-6m)+9=(m-n)2+6(n-m)+9=(n-m+3)2 10.解：15.x2-xy-28y2=0,即(3x十4y)(5.x-7y)=0,∴.3x+4y=0或5x-7y=0. 当+4y=0时号一言当5-7=0时号-子 a+b=5, 11,解：由题意，得 ab--6, 所以多项式可转化为5.x2-6.x一8=(5.x十4)(x-2). 12.解：a2+9b-2a十6b+2=0,即(a2-2a+1)+(9b+6b+1)=0. a-102+(36+12=0a=1.b=-3 13.解：由大除法 2x+3 3x2-x-16x2+7x2-5x+1987 6.r3-2x2-2x 9x2-3r+1987 9x2-3x-3 1990 .6.x3+7x2-5x+1987=(2x+3)(3.x2-x-1)+1990. 07