第09讲 图形的旋转【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第09讲 图形的旋转 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.理解二次函数与一元二次方程的关系 2.能够判断二次函数与x轴交点 3.能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 4.理解抛物线与不等式的关系 1.旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 注意： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 2、旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 3、旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 注意：作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 教材习题01 已知：如图，矩形 AB′C′D′是矩形 ABCD 以点 A为旋转中心，按逆时针方向旋转 90°所得的图形. 求证：对角线 BD 与对角线 B′D′所在的直线互相垂直. 解题方法 ①证明BD与B′D′垂直，首先需要延长B′D′与BD相交，做相关辅助线，有了辅助线以后只需要证明∠D′EB是直角就可以得出相关结论。 ②根据题目可知，要证明∠D′EB是直角，可以利用△D′AB′与△DAB全等就可以得到结论，而根据矩形以及旋转的性质，两个三角形的全等也很容易证明。 【答案】 解：如图，线段 D′B′由对角线 DB 经旋转得到。延长 D′B′，交 DB 于点 E. 在矩形 ABCD 中，∠BAD＝90°， 又 ∵ ∠D′AD＝90° （一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度）， ∴点 D′，A，B 在同一条直线上. ∵ Rt△D′AB′≌Rt△DAB（图形经过旋转所得的图形和原图形全等）， ∴∠AD′B′＝∠ADB， ∴ ∠AD′B′＋∠ABD＝∠ADB＋∠ABD＝90°， ∴∠D′EB＝180°－（∠AD′B′＋∠ABD）＝180°－90°＝90°， 即 BD⊥B′D′. 考点一： 生活中的旋转现象 例1．下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．电梯上下运动的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转，平移的识别，掌握旋转的性质，即旋转前后图形的大小不变，平移的概念等知识是解题的关键． 根据旋转的性质，平移的概念结合实际情况即可求解． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误； B、电梯上下运动的过程是平移，故此选项错误； C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确； D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误； 故选：C． 变式1-1．下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程 【答案】D 【分析】此题主要考查了生活的旋转现象，关键是掌握旋转的定义．根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项错误； B、飞机起飞后冲向空中的时候不是旋转，故此选项错误； C、笔直的铁轨上飞驰而过的火车不是旋转，故此选项错误； D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项正确． 故选：D． 变式1-2．下列现象中属于旋转的有（      ）个． ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移．根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可． 【详解】解：属于旋转的有③④⑤⑥，共4个． 故选：C 考点二：旋转图形的判定 例2．通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折、旋转和平移，根据翻折及旋转的定义即可求解． 【详解】解： A、图形只能通过旋转变换得到，故不符合题意； B、图形通过翻折、旋转和平移都能得到，故符合题意； C、图形只可以通过旋转得到，不符合题意； D、图形可以通过平移得到，故不符合题意； 故选B． 变式2-1．2022年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．下面四个选项中，能由如图所示的图形经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，根据旋转只改变图形的方向不改变图形的形状和大小解答． 【详解】解：能通过旋转得到的是C选项图案． 故选：C． 变式2-2．北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应图形即可． 【详解】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是： ． 故选：D 考点三：旋转角的计算 例3．如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形旋转，旋转角，根据旋转角定义，对应点与旋转中心连线所夹的角是旋转角，可得旋转角为，即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转至， ∴旋转角为，． 故选：A． 变式3-1．如图，图形旋转多少度后能与自身重合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：如图所示， 这个图形平分5份， ∴图形旋转的最小的度数是． 故选：C． 变式3-2．如图，在中，，点D在斜边上．如果经过旋转后与重合，那么这一旋转的旋转角等于 度． 【答案】40 【分析】本题考查了旋转的相关概念，要求学生能找出旋转过程中的旋转中心和旋转角等，对学生的空间想象能力有一定的考查，涉及到了数形结合的思想，利用旋转的性质，进行求解即可． 【详解】解：由旋转中，点的对应点为它本身，因此可以判定旋转中心是点； 又，， ∴， ∵点D在斜边上 ∴旋转角为． 故答案为：40． 考点四：旋转中心的确定 例4．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【答案】A 【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH； 若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH； 若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH． 故选A． 变式4-1．如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)90° (3) 【分析】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求； （2）连接CO、C1O，结合网格特点可得旋转角∠COC1=α=90°； （3）利用割补法即可求面积． 【详解】（1）如图所示，连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点O即为所求； （2）如图所示，连接CO、C1O，结合网格特点可得∠COC1=α=90°， 故答案为； （3） ． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质． 变式4-2．如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中 点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数． (2)求出的度数和的长． 【答案】(1)旋转中心是点A，旋转角度是 (2)， 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． （1）根据旋转的定义即可解答； （2）根据旋转的性质可得即可求出，再由，C是中点即可求解． 【详解】（1）解：∵逆时针旋转一定角度后与重合，A为顶点， 旋转中心是点A； 根据旋转的性质可以知道：， 旋转角度是150°； （2）解：∵逆时针旋转一定角度后与重合， ∴， ∴， 又∵C为中点， ． 考点五：旋转的性质 例5．如图，中，，，，绕点顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长度是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余可得，根据直角三角形角所对的边是斜边的一半可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，根据旋转可得，，，根据有一个角是角的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等，三个角都是可得，，求得，，根据有一个角是角的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等，三个角都是可得，，求得，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得：，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 故选：A． 变式5-1．图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是（    ） A．形状不变，大小可能改变 B．大小不变，形状可能改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都可能改变 【答案】C 【分析】根据平移、旋转及翻折的性质可进行求解． 【详解】解：图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是形状和大小都不变； 故选C． 【点睛】本题主要考查平移、旋转及翻折的性质，熟练掌握平移、旋转及翻折的性质是解题的关键． 变式5-2．如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，则 ． 【答案】/41度 【分析】本题考查旋转，三角形的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，则，，再根据三角形的内角和，等边对等角，即可． 【详解】∵旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考点六·：旋转有关的坐标计算 例6．如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转中的坐标规律探究，由题意可得每8次旋转一个循环，然后利用等腰直角三角形的性质和正方形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴经过8次旋转后图形回到原位置． ∵， ∴旋转2024次后恰好回到原来图形位置， 过点D作轴于点E． 由题意可得，是等腰直角三角形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴点D的坐标为． 故选D． 变式6-1．如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质．先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第2025次旋转结束时，完成了506次循环，与的位置相同， 的坐标为． 故选：D． 变式6-2．将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，点的对应点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、含30度角的直角三角形及勾股定理，根据题意可得出每旋转六次点A的对应点循环出现，再结合图形旋转的性质即可解决问题． 【详解】解：因为， 所以每旋转六次，点的对应点循环出现． 又因为， 所以第秒，点的对应点与点重合． 过点作轴的垂线，垂足为， 在中， 所以 ， 同理可得， ， 所以点的坐标为， 即第秒时，点的对应点的坐标为． 故选：C． 考点七：旋转图形的作图 例7．按要求画图． (1)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形． (2)连接、、，则的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查作图旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：的面积为． 故答案为：9． 变式7-1．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．    (1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 【答案】(1)见详解 (2)40 (3)(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键． （1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出． （2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可． （3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标． 【详解】（1）解：如下图所示：    （2）连接，， ∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （3）∵根据网格信息可得出，， ∴是等腰三角形， ∴也是线段的垂直平分线， ∵B，C的坐标分别为，， ∴点， 即．（答案不唯一） 1．下列运动属于旋转的是（    ） A．火箭升空的运动 B．升旗时红旗上升的过程 C．大风车运动的过程 D．传输带的运动 【答案】C 【解析】火箭升空属于平移现象，红旗上升理想状态下也是平移现象，传输带的运动属于平移，二大风车的运动属于旋转，故选择C 2．下列运动：①钟表指针的转动；②钟摆的摆动；③汽车方向盘的转动；④汽车在笔直的公路上行驶，其中属于旋转的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的判断，根据旋转的概念解答即可．解题的关键是掌握旋转的概念：在平面内，将一个图形沿某一个定点转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：根据旋转的概念，可知： ①钟表指针的转动属于旋转；②钟摆的摆动属于旋转；③汽车方向盘的转动属于旋转； ④汽车在笔直的公路上行驶属于平移． 故其中属于旋转的是①②③，有3个． 故选：C． 3．如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转后得到的图片是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了寻转的性质，根据旋转下判断即可． 【详解】根据题意，旋转变化后的图片应是， 故选：B． 4．下列说法中正确的有（    ） （1）如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称； （2）如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等； （3）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形； （4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据中心对称图形定义及性质依次判断即可． 【详解】（1）只有旋转后重合才是中心对称，故此说法错误； （2）对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，但是距离不一定相等，故此说法错误； （3）如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为，那么它有可能是中心对称图形，此说法错误； （4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形，故此说法正确； 说法正确的只有1个， 故选：B． 【点睛】此题考查中心对称图形，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 5．如图，的顶点坐标分别为、、，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，按此作法进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化-旋转，规律型-点的坐标，根据旋转找到规律是解题的关键． 观察图形可知与重合，6次一个循环利用规律即可得出答案． 【详解】解：画图可知： ，，，，， 6次一个循环， 故选C． 6．如图，把绕点顺时针旋转得到，此时于，已知，则的度数是（    ） A．34° B．56° C．62° D．78° 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．由绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到，而于，得到，得到． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， 而， ∴， 又∵于， ∴， ∴． 故选：C． 7．如图，将绕点A逆时针旋转得到．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转性质得到旋转角，再进行角的运算即可求解． 【详解】解：绕点A逆时针旋转得到， ，又， ， 故选：A． 8．把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点C顺时针旋转得到（如图乙），此时与交于点O，则线段的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识， 证明出是等腰直角三角形，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵旋转角为， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：A． 9．如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：箕面与水平地面的夹角为， ，即箕面绕点旋转的度数为， 故选：A． 10．如图，在矩形中，是对角线，将绕点B顺时针旋转到位置，H是的中点，若，，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转的性质可得，，．作于点M，则可得，又由H是的中点，进而可证是的中位线，则可求出 、的长，进而可得的长，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点H作于点M， ∵将绕点B顺时针旋转到位置，，， ，，， ， ， ∵H是的中点， ， ， ∴是的中位线， ， ， 在中，． 答案：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、三角形中位线的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 11．如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查了几何—旋转问题．解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．根据旋转可得，再结合旋转角以及三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ， ， ，， ， 故答案为：． 12．如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、，由题意可知当在上时满足到点、的距离相等，得到，根据正方形性质可证明，从而推出，然后判定四边形是矩形，结合垂直平分，推出，即可根据勾股定理可算出，得到，最后再由勾股定理算出，即可得到答案． 【详解】作的垂直平分线，交于，交于，作，交于点，连接、、 由题意可知，当旋转到上时，到点、的距离相等，且 四边形是正方形 ，， ， 在和中 ，， 四边形是矩形 又 垂直平分， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形的旋转，垂直平分线的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意找到位置并作出相应的辅助线是解题的关键． 13．如图，点P是边长为6的等边内一点，连接，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，，，得为等边三角形，得出，证明，结合，能证明，得到，设，则，根据勾股定理即可得，解得x后，利用三角形面积公式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 【详解】将绕点A逆时针旋转得到，如图所示： 连接，则，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得（舍去）， ∴的面积是． 故答案为：． 14．在中，，，将绕点旋转到，记旋转角为，如果．那么与满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，再根据可得，即可得解． 【详解】 ∵中，，， ， ， ∵将绕点B旋转到，旋转角为， ，， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握图形的旋转性质，平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 15．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出是等边三角形，进而得出答案，正确掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，    ∴，， ∵点可以恰好落在的中点处， ∴点是的中点， ∵， ∴，             ∴， 即是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．请回答下列问题： (1)若先向右平移3个单位，然后向下平移2个单位得到，作出，并写出三个顶点的坐标； (2)将绕点O按逆时针方向旋转得到，作出． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】(1) 根据右加下减的原则，计算出平移坐标，再画图即可． (2) 根据旋转的全等性作图即可． 本题考查了平移作图，旋转作图，，熟练掌握平移规律，正确理解旋转的性质，是解题的关键． 【详解】（1）根据，，，先向右平移3个单位，然后向下平移2个单位得到， 故的三个顶点坐标分别为，画图如下： 则即为所求，且． （2）根据旋转的全等性作图如下： 则即为所求． 17．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点、、在同一条直线上，且，求及的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解决这类问题要找准旋转角以及旋转后对应的线段． 根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，所以，得，根据三角形外角性质可得度数，又，则可求． 【详解】解：根据旋转的性质可知，且， 所以是等腰直角三角形． 所以； 根据旋转的性质可得， ． ． ． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 图形的旋转 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.理解二次函数与一元二次方程的关系 2.能够判断二次函数与x轴交点 3.能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 4.理解抛物线与不等式的关系 1.旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 注意： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 2、旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 3、旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 注意：作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 教材习题01 已知：如图，矩形 AB′C′D′是矩形 ABCD 以点 A为旋转中心，按逆时针方向旋转 90°所得的图形. 求证：对角线 BD 与对角线 B′D′所在的直线互相垂直. 解题方法 ①证明BD与B′D′垂直，首先需要延长B′D′与BD相交，做相关辅助线，有了辅助线以后只需要证明∠D′EB是直角就可以得出相关结论。 ②根据题目可知，要证明∠D′EB是直角，可以利用△D′AB′与△DAB全等就可以得到结论，而根据矩形以及旋转的性质，两个三角形的全等也很容易证明。 【答案】 解：如图，线段 D′B′由对角线 DB 经旋转得到。延长 D′B′，交 DB 于点 E. 在矩形 ABCD 中，∠BAD＝90°， 又 ∵ ∠D′AD＝90° （一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度）， ∴点 D′，A，B 在同一条直线上. ∵ Rt△D′AB′≌Rt△DAB（图形经过旋转所得的图形和原图形全等）， ∴∠AD′B′＝∠ADB， ∴ ∠AD′B′＋∠ABD＝∠ADB＋∠ABD＝90°， ∴∠D′EB＝180°－（∠AD′B′＋∠ABD）＝180°－90°＝90°， 即 BD⊥B′D′. 考点一： 生活中的旋转现象 例1．下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．电梯上下运动的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 变式1-1．下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 D．幸运大转盘转动的过程 变式1-2．下列现象中属于旋转的有（      ）个． ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千． A．2 B．3 C．4 D．5 考点二：旋转图形的判定 例2．通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．2022年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．下面四个选项中，能由如图所示的图形经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 变式2-2．北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（    ） A． B． C． D． 考点三：旋转角的计算 例3．如图，将绕点顺时针旋转至．下列角中，是旋转角的是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．如图，图形旋转多少度后能与自身重合（    ） A． B． C． D． 变式3-2．如图，在中，，点D在斜边上．如果经过旋转后与重合，那么这一旋转的旋转角等于 度． 考点四：旋转中心的确定 例4．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 变式4-1．如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． 变式4-2．如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中 点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数． (2)求出的度数和的长． 考点五：旋转的性质 例5．如图，中，，，，绕点顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长度是（      ） A． B． C． D． 变式5-1．图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是（    ） A．形状不变，大小可能改变 B．大小不变，形状可能改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都可能改变 变式5-2．如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，则 ． 考点六·：旋转有关的坐标计算 例6．如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式6-2．将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点逆时针旋转，每秒旋转，则第秒时，点的对应点的坐标为(    ) A． B． C． D． 考点七：旋转图形的作图 例7．按要求画图． (1)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的图形． (2)连接、、，则的面积为________． 变式7-1．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．    (1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； (2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 1．下列运动属于旋转的是（    ） A．火箭升空的运动 B．升旗时红旗上升的过程 C．大风车运动的过程 D．传输带的运动 2．下列运动：①钟表指针的转动；②钟摆的摆动；③汽车方向盘的转动；④汽车在笔直的公路上行驶，其中属于旋转的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转后得到的图片是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中正确的有（    ） （1）如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称； （2）如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等； （3）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形； （4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，的顶点坐标分别为、、，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，点绕点旋转得点，按此作法进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，把绕点顺时针旋转得到，此时于，已知，则的度数是（    ） A．34° B．56° C．62° D．78° 7．如图，将绕点A逆时针旋转得到．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕点C顺时针旋转得到（如图乙），此时与交于点O，则线段的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 9．如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，是对角线，将绕点B顺时针旋转到位置，H是的中点，若，，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 11．如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于 ． 12．如图，正方形的边长为，将绕点旋转，得到，其中、的对应点分别是点、．如果点在正方形内，且到点、的距离相等，那么的长为 ． 13．如图，点P是边长为6的等边内一点，连接，且，则的面积是 ． 14．在中，，，将绕点旋转到，记旋转角为，如果．那么与满足的数量关系是 ． 15．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．    16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．请回答下列问题： (1)若先向右平移3个单位，然后向下平移2个单位得到，作出，并写出三个顶点的坐标； (2)将绕点O按逆时针方向旋转得到，作出． 17．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点、、在同一条直线上，且，求及的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$