2025-2026学年浙教版九年级上册数学期末复习课件---第8讲图形的旋转

这是一份初中数学期末复习课件，聚焦“图形的旋转”主题，包含情境引入（延续400多年的数字联故事）、概念性质（例1及解析）、旋转作图（例2步骤指导）、证明应用（如正方形中旋转证明）及变式练习，以学习支架形式构建从基础到综合的复习路径。 资料特色鲜明，以数字联故事激发学生好奇心（数学眼光），通过例题推理（如例1证△A′AC是等边三角形求旋转角）培养推理能力（数学思维），作图与证明题规范几何语言表达（数学语言），变式练习助学生掌握旋转应用，为教师提供分层教学素材，提升期末复习效率。九年级学生面临升学考试，需强化几何综合应用，本资料通过典型例题和变式训练，帮助学生巩固旋转性质、提升解题技能，贴合期末复习需求。

第8讲 图形的旋转 YOUR LOGO 第三章 圆的基本性质 延续400多年的数字联 数字对联，生动有趣，令人记忆犹新． 明朝嘉靖年间，江西吉水县的状元罗洪光与几位饱学之士同游九江．顺流而下，江风助行，眼看九江就要到了．这时，邻船一名船夫慕名来到罗洪光的船上，说有一个上联，请其续对．罗洪光根本没把船夫放在眼里，心想：凡夫俗子，能出什么妙联？上联无趣，我对之也无味．待船夫写出上联，罗洪光却傻了眼，迟迟无法下笔，同船的文人墨客你看我，我看你，也不知所措． 那船夫的上联是：“一孤舟，二客商，三四五六水手，扯起七八叶风篷，下九江，还有十里．” 上联不仅说出了事实，而且把从一到十的这十个数字按顺序嵌进去，成了“绝对”． 从那以后，400年没人能对出来．直到1959年夏，一个偶然事件的启发，才被一个叫李戎翎的人对上． 原来，1959年6月，佛山寺一位老装修工托人到十里外找一段叫“九里香”的名贵木材，只两天便运到了．据说，1943年也有人找这种木材，弄到手整整花了一年功夫，这一对比，使李戎翎想到那个“绝对”，于是他续出了下联： “十里远，九里香，八七六五号轮，虽走四三年旧道，只二日，胜似一年．” 旋转的概念及性质 例1　如图3－8－1，在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC 绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点 A′恰好落在AB上，则旋转角度为(　 　) A．30°　　 B．60° C．90° D．150° 【思路生成】根据直角三角形两锐角互余求出∠A＝60°，根据旋转的性质可得AC＝A′C，然后判断出△A′AC是等边三 角形，然后根据旋转角的定义解答即可． 图3－8－1 B 【解析】 ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝90°－30°＝60°. ∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上， ∴AC＝A′C， ∴△A′AC是等边三角形， ∴∠ACA′＝60°， ∴旋转角为60°. 一个图形绕着某一定点旋转一个角度后得到另一个图形的运动称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角叫旋转角． 旋转有以下性质 (1)旋转前后图形全等，即旋转前后的对应边相等，对应角相等； (2)对应点到旋转中心的距离相等； (3)任意一对对应点与旋转中心所连线段所成的角都等于旋转角． 1．如图3－8－2，把△ABC绕点C按 顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C， A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°， 则∠A＝_______°. 【解析】 ∵把△ABC绕点C按顺时 针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′ B′交AC于点D，∠A′DC＝90°， ∴∠ACA′＝35°，则∠A′＝90°－35°＝55°， 则∠A＝∠A′＝55°. 图3－8－2 55 2．如图3－8－3，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是_______． 【解析】 ∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形， 图3－8－3 ∴∠AOC＝∠BOD＝40°，AO＝CO， ∵∠AOD＝90°，∴∠BOC＝90°－40°×2＝10°， 60° 旋转作图 例2　在图3－8－4中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4. (1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1； (2)若点B的坐标为(－3，5)，试在图中画出直角坐标系，并标出A，C两点的坐标； 图3－8－4 (3)根据(2)中的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并标出B2，C2两点的坐标． 【思路生成】(1)根据网格结构找出点B，C的对应点B1，C1的位置，然后与点A顺次连结即可； (2)以点B向右3个单位，向下5个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出点A，C的坐标； (3)根据网格结构找出点A，B，C关于原点的对称点A2，B2，C2的位置，然后顺次连结即可． 解：(1)如答图所示的△AB1C1. (2)如答图所示的直角坐标系，点A的坐标为(0，1)，点C的坐标为 (－3，1)． (3)如答图所示的△A2B2C2，点B2的坐标为(3，－5)，点C2的坐标为(3，－1)． 例2答图 旋转作图 1．坐标系中的作图常与图形的平移、轴对称结合起来，三者的相同点是变换前后的图形全等，不同点是运动方式不同. 2．在作简单的图形旋转变换时，应当确定了旋转中心、旋转方向和旋转角度后，找准表示图形的特征点． 3．如图3－8－5，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)． (1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； (2)将△A1B1C1的三个顶点的横 图3－8－5 坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2； (3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即S△A1B1 C1∶S△A2B2C2＝_________(不写解答过程，直接写出结果)． 解：(1)(2)如答图所示． 变式跟进3答图 1∶4 利用旋转证明有关结论 图3－8－6 【思路生成】将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形△BP′A，连结PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B，进而可求出等边△ABC的边长． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， 如答图，把△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△ABP′， 例3答图 ∵∠PBC＋∠ABP＝∠ABC＝60°， ∴∠P′BA＋∠ABP＝∠P′BP＝∠ABC＝60°， 4．如图3－8－7，在正方形ABCD中，E，F分别是CB，CD延长线上的点，若EF＝BE＋DF，求证：∠EAF＝135°. 图3－8－7 证明：如答图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG的位置，则AE＝AG，BE＝DG，∠EAG＝90°，故EF＝BE＋DF＝DG＋DF＝GF，△AEF≌△AGF(SSS)， 变式跟进4答图 5．如图3－8－8，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF＝45°，试推断BE，CF，EF之间的数量关系，并说明理由． 图3－8－8 解：BE，CF，EF之间的数量关系为EF2＝BE2＋FC2. 理由如下： ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG， 连结FG，如答图， 变式跟进5答图 ∴AG＝AE，CG＝BE，∠1＝∠B，∠EAG＝90°， ∴∠FCG＝∠ACB＋∠1＝∠ACB＋∠B＝90°， ∴FG2＝FC2＋CG2＝BE2＋FC2. 又∵∠EAF＝45°，而∠EAG＝90°， ∴∠GAF＝90°－45°＝45°， 而AG＝AE，AF为公共边， ∴△AGF≌△AEF， ∴FG＝FE， ∴EF2＝BE2＋FC2. 6．如图3－8－9，P为正方形ABCD内一点，若PA＝a，PB＝2a，PC＝3a(a＞0)． (1)求∠APB的度数； (2)求正方形ABCD的面积． 解：(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ，如答图， 则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB， 图3－8－9 连结PQ，在△PQC中， ∵PC 2＝9a2，PQ 2＋QC 2＝9a2， ∴PC 2＝PQ 2＋QC 2. ∴∠PQC＝90°. 变式跟进6答图 ∵△PBQ是等腰直角三角形， ∴∠BPQ＝∠BQP＝45°， 故∠APB＝∠CQB＝90°＋45°＝135°. (2)∵∠APQ＝∠APB＋∠BPQ＝135°＋45°＝180°， ∴A，P，Q三点在同一直线上， 图形的旋转主要有如下的应用 (1)证明线段与角的相等以及和、差、倍分； (2)在旋转中探索规律，寻找图形性质的变化； (3)在旋转中寻找变量之间的函数关系； (4)利用旋转进行图案设计． 图3－8－10 7．如图3－8－11，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是 (　 　) 图3－8－11 C 【解析】 如答图，连结AC1，OA，∵四边形AB1C1D1是正方形， ∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1， 变式跟进7答图 ∴∠B1AB＝45°，∴∠DAB1＝90°－45°＝45°， ∴AC1过D点，即A，D，C1三点共线， ∵正方形ABCD的边长是1， ∴四边形AB1C1D1的边长是1， 旋转角 旋转角是旋转变换中一个很重要的概念，它是进行旋转变换(作图)和相关计算的一个重要依据，抓住对应点和旋转中心所连线段的夹角等于旋转角往往是解旋转类问题的常规思路． (1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图3－8－12②，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由； (2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3－8－12③，请你求出CF的长． 解：(1)AD与CF还相等． 理由：∵四边形ODEF、四边形ABCO为正方形，∴∠DOF＝∠COA＝90°，DO＝OF，CO＝OA，∴∠COF＝∠AOD，∴△COF ≌△AOD(SAS)，∴AD＝CF. 图3－8－12 例5答图 对应元素 在确定旋转变换前后的图形的对应线段，对应角时，要抓住图形在旋转过程中，只改变位置，不改变形状的性质．由此可利用全等确定对应线段与对应角． ∠ACO＝∠A＝(180°－∠AOC)＝(180°－40°)＝70°， 由三角形的外角性质得，∠B＝∠ACO－∠BOC＝70°－10°＝60°. 例3　如图3－8－6，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长． ∴AP′＝CP＝1，BP′＝BP＝，∠PBC＝∠P′BA， ∠AP′B＝∠BPC， ∴△BPP′是等边三角形， ∴PP′＝，∠BP′P＝60°， ∵AP′＝1，AP＝2，∴AP′2＋PP′2＝AP2， ∴∠AP′P＝90°，∴∠BPC＝∠AP′B＝90°＋60°＝150°， 如答图，过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M， ∴∠MP′B＝30°，BM＝，,　　由勾股定理得P′M＝， ∴AM＝1＋＝， 由勾股定理得：AB＝＝. ∴∠EAF＝∠GAF＝(360°－∠EAG)＝135°. 于是PB＝QB＝2a，PQ＝2a， 在Rt△AQC中，AC2＝AQ2＋QC2＝(a＋2a)2＋a2＝(10＋4)a2， ∴正方形ABCD的面积S＝AB2＝＝(5＋2)a2. －1 例4　如图3－8－10，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝，则图中阴影部分的面积等于__________． 【思路生成】根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出 AD＝BC＝1，AF＝FC′＝AC′＝1，进而求出阴影部分的面积． 【解析】 ∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝， ∴BC＝2，∠C＝∠B＝∠CAC′＝∠C′＝45°， ∴AD⊥BC，B′C′⊥AB， ∴AD＝BC＝1，AF＝FC′＝AC′＝1， ∴图中阴影部分的面积为S△AFC′－S△DEC′＝×1×1－×(－1)2＝－1. A. B. C.－1 D．1＋ ∴∠C1AB1＝×90°＝45°＝∠AC1B1， 在Rt△C1D1A中，由勾股定理得AC1＝＝， 则DC1＝－1， ∵∠AC1B1＝45°，∠C1DO＝90°，∴∠C1OD＝∠DC1O＝45°， ∴OD＝DC1＝－1，∴S△ADO＝×OD·AD＝， ∴四边形AB1OD的面积＝2×＝－1. 例5　在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图3－8－12①，他连结AD，CF，经测量发现AD＝CF. (2)如答图，连结DF，交EO于G，则DF⊥EO，DG＝OG＝EO＝1，∴GA＝4， ∴AD＝＝＝.∴CF＝AD＝. $