第08讲 圆的基本概念【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第08讲 圆的基本概念 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握圆的基本概念； 2、掌握点与圆的位置关系； 3、掌握三角形的外接圆概念； 4、掌握圆的确定条件； 1.圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 2.点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 3.过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 4．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 5．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 教材习题01 如图，在A地正北80m的B处有一幢民房，正西100 m的C处有一变电设施，在BC的中点D处是一古建筑。因施工需要，必须在A处进行一次爆破。为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，爆破影响面的半径应控制在什么范围内？ 解题方法 ①若使BCD三点都不被影响，可以理解为以A点为圆心做圆，在BCD三点都在圆外面的条件下，圆的半径最大值。 ②求圆的半径最大值，就是比较AB、AC、AD三条线段的长短，并且求出其中最短的线段长度 【答案】 解：，连结AD ∵ ∠BAC＝90°， ∴BC2＝AC2＋AB2＝100 2＋80 2＝16400， ∴BC＝ ＝20 （m）. ∵D 是斜边 BC 的中点， ∴AD＝ BC＝ ×20＝10（m） ∵10 ＜10×7，AB＝80m，AC＝100m， ∴AD ＜ AB ＜ AC 答：爆破影响面的半径应小于10m 考点一： 圆的基本概念 例1．下列说法正确的是（    ） A．弧是半圆 B．半圆是圆中最长的弧 C．直径是弦 D．弦是直径 变式1-1．下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 变式1-2．下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二：圆的弦的相关概念 例2．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条． 变式2-1．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式2-2．已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 考点三：圆的周长和面积 例3．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 变式3-1．周长相等的正方形和圆，它们的面积相比（    ） A．圆的面积大 B．正方形面积大 C．一样大 D．无法确定 变式3-2．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切于点C，若的长为8cm，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 考点四：点与圆的位置关系 例4．已知圆的面积为，设点到圆心的距离为，若点在圆外，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式4-1．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点 在外时，的值可能是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 变式4-2．已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（    ） A．的外部 B．的内部 C．上 D．无法判断 考点五：三角形的外接圆 例5．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标为(　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，2) D．(3，3) 变式5-1．如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和，则它的外心到直角顶点的距离为（　　） A． B． C． D． 考点六：确定圆的条件 例6．下列命题中真命题的个数是（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ②同角的余角相等 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④长度相等的弧是等弧 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式6-1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 变式6-2．下列命题中，真命题是（    ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．过三点一定可以作圆 C．优弧一定大于劣弧 D．任意三角形一定有一个外接圆 考点七：尺规作图做圆的圆心 例7．如图，线段是的一条弦．请用尺规作图法，作出圆心．（保留作图痕迹，不写作法）    变式7-1．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，． (1)圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置． (2)判断点与的位置关系，并写出过程． 1．已知的直径为，若，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 2．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 4．圆外一点到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知的半径为，点P在外，则可能等于（　　） A． B． C． D． 6．已知的半径为7，点在外，则的长可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，直线，相交于点，则在直线，上到点的距离为的点有（    ） A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 8．在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 10．如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 12．若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 ． 13．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 14．已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 15．如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明． 16．如图，已知点A、、不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过A、、三点的．（不写作法，保留作图痕迹） 17．如图，在中，利用尺规作图法求作，使得与的交点C到点O的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 圆的基本概念 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握圆的基本概念； 2、掌握点与圆的位置关系； 3、掌握三角形的外接圆概念； 4、掌握圆的确定条件； 1.圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 2.点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 3.过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 4．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 5．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 教材习题01 如图，在A地正北80m的B处有一幢民房，正西100 m的C处有一变电设施，在BC的中点D处是一古建筑。因施工需要，必须在A处进行一次爆破。为使民房、变电设施、古建筑都不遭到破坏，爆破影响面的半径应控制在什么范围内？ 解题方法 ①若使BCD三点都不被影响，可以理解为以A点为圆心做圆，在BCD三点都在圆外面的条件下，圆的半径最大值。 ②求圆的半径最大值，就是比较AB、AC、AD三条线段的长短，并且求出其中最短的线段长度 【答案】 解：，连结AD ∵ ∠BAC＝90°， ∴BC2＝AC2＋AB2＝100 2＋80 2＝16400， ∴BC＝ ＝20 （m）. ∵D 是斜边 BC 的中点， ∴AD＝ BC＝ ×20＝10（m） ∵10 ＜10×7，AB＝80m，AC＝100m， ∴AD ＜ AB ＜ AC 答：爆破影响面的半径应小于10m 考点一： 圆的基本概念 例1．下列说法正确的是（    ） A．弧是半圆 B．半圆是圆中最长的弧 C．直径是弦 D．弦是直径 【答案】C 【分析】根据弧：本题主要考查了圆的基本性质，“圆上两点所夹的部分”，弦：“连接圆上两点形成的线段”，进行判断即可． 【详解】解：A、半圆是弧，弧不一定是半圆，选项错误； B、半圆不是圆中最长的弧，优弧大于半圆，选项错误； C、直径是弦，选项正确； D、弦不一定是直径，选项错误； 故选C． 变式1-1．下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念辨析．根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误； C、弦不一定是直径，故选项错误； D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确； 故选D． 变式1-2．下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是对圆的认识，弦，直径，弧，半圆，等弧的概念，对每个命题进行判断，然后作出选择． 【详解】解：①直径是弦，故原说法正确； ②弦不一定是直径，故原说法错误； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法正确； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，所以长度相等的两条弧是等弧，故原说法错误； 所以，正确的命题有①③共2个． 故选：B． 考点二：圆的弦的相关概念 例2．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条． 【答案】三/3 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论． 【详解】解：根据弦的定义可得： 图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键． 变式2-1．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答． 解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点， 图中的弦有AB、BC、CE，一共3条． 故选B． 考点：圆的认识． 变式2-2．已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意两点之间的线段就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦的范围． 【详解】解：A、是上不同的两点，， ， 的半径为，， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 考点三：圆的周长和面积 例3．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据图形的特征，四边形内角和为，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 【详解】解：因为四边形内角和为， 所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积， 即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为． 故选：C 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为°得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积． 变式3-1．周长相等的正方形和圆，它们的面积相比（    ） A．圆的面积大 B．正方形面积大 C．一样大 D．无法确定 【答案】A 【分析】要比较周长相等的正方形和圆形，谁的面积最大，谁面积最小，可以先假设这二种图形的周长是多少，再利用这二种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这二种图形面积的大小. 【详解】解：为了便于理解，假设正方形和圆形的周长都是16, 则圆的半径为： ，面积为： 正方形的边长为：，面积为：， ∵ ∴周长相等的正方形和圆形，圆面积最大， 故选：A． 【点睛】此题主要考查正方形、圆形的面积公式及灵活运用，解答此题可以先假设这二种图形的周长是多少，再利用这二种图形的面积公式，分别计算出它们的面积，最后比较这二种图形面积的大小. 变式3-2．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切于点C，若的长为8cm，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设AB于小圆切于点C，连接OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2），以及勾股定理即可求解． 【详解】解：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB． ∵AB于小圆切于点C， ∴OC⊥AB， ∴BC=AC=AB=×8=4cm． ∵圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2） 又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2 ∴圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2）=π•BC2=16πcm2． 故选：B． 【点睛】此题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=π•OB2-π•OC2=π（OB2-OC2），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系． 考点四：点与圆的位置关系 例4．已知圆的面积为，设点到圆心的距离为，若点在圆外，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，圆的面积，理解点与圆的位置关系定理，熟练掌握圆的面积公式是解决问题的关键．设圆的半径为，根据圆的面积可求出，再根据点与圆的位置关系可得出的取值范围． 【详解】解：设圆的半径为， 圆的面积为， ， ， 点到圆心的距离为，且点在圆外， ． 故选：C． 变式4-1．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点 在外时，的值可能是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种，熟知的半径为r，点P到圆心的距离，则有∶①点P在圆外②点P在圆上；③点P在圆内是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由点与圆的位置关系即可得出结论 【详解】解：在中，，，， ， 当点在内且点在外时， ， 的值可能是8． 故选：B． 变式4-2．已知的半径是4，点到圆心的距离为方程的一个根，则点在（    ） A．的外部 B．的内部 C．上 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，解一元二次方程，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此解方程求出即可得到答案． 【详解】解：解方程得， ∴， ∴点在的内部， 故选：B． 考点五：三角形的外接圆 例5．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标为(　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，2) D．(3，3) 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形的外接圆与外心，作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆圆心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图所示，作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆圆 即外接圆圆心的坐标为． 故选：A． 变式5-1．如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心， 由图可知，点的坐标是：， 故选：B． 变式5-2．在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和，则它的外心到直角顶点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理、直角三角形外心、直角三角形斜边中线的性质等知识，用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形的外心为斜边的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案． 【详解】解：在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和， 斜边长， ∵直角三角形的外心为斜边的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴该直角三角形的外心到直角顶点的距离为． 故选：B 考点六：确定圆的条件 例6．下列命题中真命题的个数是（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ②同角的余角相等 ③垂直于同一条直线的两直线平行 ④长度相等的弧是等弧 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据平行线公理，余角的性质，圆的基本概念，逐一判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； ②同角的余角相等，原命题是真命题； ③同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题； ④只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧，原命题是假命题； ∴真命题有1个， 故选：A． 变式6-1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】 本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选：A． 变式6-2．下列命题中，真命题是（    ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．过三点一定可以作圆 C．优弧一定大于劣弧 D．任意三角形一定有一个外接圆 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及切线的判定、圆的确定、弧的定义、三角形的外接圆，熟练掌握相关知识是解答的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、垂直于半径并且垂足在圆上的直线是圆的切线，故本选项假命题，不符合题意； B、过不在同一直线上的三点一定可以作圆，故本选项假命题，不符合题意； C、在等圆或同圆中，优弧一定大于劣弧，故本选项假命题，不符合题意； D、任意三角形一定有一个外接圆，故本选项真命题，符合题意； 故选：D． 考点七：尺规作图做圆的圆心 例7．如图，线段是的一条弦．请用尺规作图法，作出圆心．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，在圆上任取一点（异于、两点），连接，分别作出、的垂直平分线，交于点，点即为所作，熟练掌握作线段垂直平分线的方法是解此题的关键． 【详解】解：如图，圆心即为所求，   ． 变式7-1．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，． (1)圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置． (2)判断点与的位置关系，并写出过程． 【答案】(1)，图见解析 (2)点D在内，证明见解析 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断． 【详解】（1）解：画图如下： 由图可知：圆心是， 故答案为：； （2）解：圆的半径， 线段， 点D在内． 1．已知的直径为，若，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的关系，进行判断即可． 【详解】解：的直径为， 的半径为， 且， 点A在外， 故选：A． 2．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，是解决问题的关键． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故选：A． 3．已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案． 【详解】解：设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， A、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； B、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； C、当时，，则此时点在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意； D、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键． 4．圆外一点到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9，那么这个圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，过这个点和圆心的直线与圆的两个交点得到这个点到圆周上一点的最长距离和最短距离，则它们的差为圆的直径，由此计算出直径，即可得出答案． 【详解】解：∵圆外一点到圆上各点的最短距离为3，最长距离为9， ∴的直径， ∴半径为3； 故选：B． 5．已知的半径为，点P在外，则可能等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 根据题意可以求得的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：∵的半径为，点在外， ． 故选：D． 6．已知的半径为7，点在外，则的长可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系得出即可，熟记点与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为7，点在外， ∴， ∴5、6、7都不符合，只有8符合题意， 故选：D． 7．如图，直线，相交于点，则在直线，上到点的距离为的点有（    ） A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了圆的定义．以点为圆心，以为半径作圆，该圆与两直线的交点即为所求的点． 【详解】如图，以点为圆心，以为半径作圆，该圆与两直线有个交点，则满足条件的点有个， 故选C． 8．在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形外接圆，根据勾股定理得出，再由直角三角形的外接圆的直径是斜边长即可得出答案，熟练掌握直角三角形的外接圆的直径是斜边长是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在中，若两条直角边的长分别为6和8，即，， ， ， 是外接圆直径， 这个三角形的外接圆半径为， 故选：C． 9．如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，确定点所处的位置是解题关键．首先根据点的坐标，确定，由题意可知点在以点为圆心，以5为半径的圆上，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵，，， ∴，，， ∴， 由题意可知，， 则点在以点为圆心，以5为半径的圆上， ∴当点在线段上时，取最小值， 此时， 当点在线段的延长线上时，取最大值， 此时， ∴的取值范围为， ∴的长不可能是4，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 10．如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，圆的基本性质，由勾股定理得到，由题意得到，即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点B为圆心，为半径画弧交边于点P， ∴， ∴， 故选：D． 11．平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上，， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 12．若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 ． 【答案】或者 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在外和内两种情况讨论，当点P在外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得． 【详解】解：点P在外时， 外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于； 点P在内时， 内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：或者． 13．将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案． 【详解】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 14．已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【答案】可以 【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．用待定系数法求一次函数解析式．先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线上，然后根据确定圆的条件进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以直线的解析式为， 当时，， 所以点不在直线上， 即点A、B、C不在同一条直线上， 所以过A、B、C这三个点能确定一个圆． 故答案为：可以 15．如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明． 【答案】大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长，见解析 【分析】利用圆的周长公式分别求出大、小蚂蚁爬行的路程，然后比较即可． 【详解】解：大圆的周长，两个小圆的周长和， ∴大圆的周长＝两个小圆的周长和， ∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长． 【点睛】本题考查了圆的认识，圆的周长的计算，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键． 16．如图，已知点A、、不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过A、、三点的．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—三角形的外接圆，连接得到，分别作线段、的垂直平分线交于点O，然后以O点为圆心，为半径作圆即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 17．如图，在中，利用尺规作图法求作，使得与的交点C到点O的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查复杂作图，垂线段最短，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图（过直线外一点作已知直线的垂线），逐步操作．过点作于点，以点为圆心，为半径画圆即可． 【详解】解：过点作于点，以点为圆心，为半径画圆， ∴点到的距离为的长， 此时与的交点到圆心的距离最短， 则即为所作． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$