第16讲 相似三角形及判定（6大考点）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第16讲 相似三角形及判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．理解相似三角形的概念及相似比，掌握相似三角形判定的预备定理的有关证明； 2．会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算； 3. 掌握相似三角形的常见判定方法 一、相似三角形的概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. （3）相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 三、相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 教材习题01 如图 ，D，E 分别是ΔABC 的 AB，AC 边上的点，ΔABC~ΔADE 已知 AD:DB＝1:2，BC＝9 cm，求 DE 的长. 解题方法 已知ΔABC~ΔADE，求DE的长，本题主要考察相似三角形对应便成比例的性质。 【答案】 解：∵ΔABC~ΔADE ∴ = （相似三角形的对应边成比例） ∵ = ∴ = ∴ = , 即 = , ∴DE = =3（cm） 考点一： 判断相似图形 例1．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 变式1-1．下列图标中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 考点二：相似三角形的性质 例2．若，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．如图，，且，则与的相似比为(       ) A． B． C． D． 考点三：格点中的相似三角形 例3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是 ． A． B． C． D． 变式3-1．如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 变式3-2．如图，在的方格图中，的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 考点四：添加条件证明三角形相似 例4．如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（　　） A． B． C． D． 变式4-2．如图，，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 考点五：确定相似三角形的对数 例5．如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 变式5-1．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式5-2．如图，的高、相交于，连结，则图中相似三角形的对数是（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 考点六：相似三角形的证明 例6．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 变式6-1．根据下列各组条件，不能判断和相似的是（    ） A．，， B．，，， C．，，；，， D．，，；，， 变式6-2．如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 1．如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与相似（不含）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④ 3．如图，H是平行四边形ABCD的边AD上一点，且，BH与AC相交于点K，那么AK：KC等于（      ） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 4．如图，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．如图，是的直径，弦于点．连接、、和．现从，，，中任取两个三角形，恰好都和相似的概率是（   ） A． B． C．1 D． 7．如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A．   B．   C．   D．   8．下列说法正确的是（    ） A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似 9．下列两个图形一定是相似图形的是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 10．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论： ； ； ； ； ．其中正确的是 ．    12．如图，在四边形中，平分，且，．当 时，． 13．如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，，为小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 ． 15．如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，． 16．如图，为平行四边形的对角线，且平分；点在的延长线上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求证：． 17．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 18．如图，在钝角中，，请用尺规作图法，在上求作一点，使得．(保留作图痕迹，不写作法) 19．如图，已知⊙O的半径长为1，是⊙O的两条弦，且，的延长线交于点D，连接    (1)求证：； (2)记的面积分别为S1，S2，S3，如果 ，求证：点D为线段的黄金分割点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 相似三角形及判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．理解相似三角形的概念及相似比，掌握相似三角形判定的预备定理的有关证明； 2．会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算； 3. 掌握相似三角形的常见判定方法 一、相似三角形的概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. （3）相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 三、相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 教材习题01 如图 ，D，E 分别是ΔABC 的 AB，AC 边上的点，ΔABC~ΔADE 已知 AD:DB＝1:2，BC＝9 cm，求 DE 的长. 解题方法 已知ΔABC~ΔADE，求DE的长，本题主要考察相似三角形对应便成比例的性质。 【答案】 解：∵ΔABC~ΔADE ∴ = （相似三角形的对应边成比例） ∵ = ∴ = ∴ = , 即 = , ∴DE = =3（cm） 考点一： 判断相似图形 例1．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 变式1-1．下列图标中，不是相似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义．根据相似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A，B，D是相似图形，选项C不是相似图形． 故选：C． 变式1-2．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 考点二：相似三角形的性质 例2．若，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，三角形的内角和定理． 根据，则，根据三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ． 故选：C． 变式2-1．如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的高之比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 【详解】解：和分别是和的高，，， 相似比为， 与的面积之比为， 故答案为：． 变式2-2．如图，，且，则与的相似比为(       ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个相似三角形的相似比等于这两个相似三角形的对应边的比，所以对于这道题，与的相似比只要找到即可． 【详解】∵，∴， ∴与的相似比为.故选项B正确. 【点睛】此题考查的是相似三角形的相似比的概念，利用相似比是相似三角形的对应边的比，结合已知条件找到两条对应边的长度是关键． 考点三：格点中的相似三角形 例3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是 ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 根据网格中的数据求出的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意可得： A．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似． B．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． C．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． D．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故答案为：A． 变式3-1．如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：设每个正方形网格的边长都为1， 则在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ，，， ∴， ∴， 与的周长之比为：， 故选：． 变式3-2．如图，在的方格图中，的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．先证明三角形是直角三角形，再利用长直角边与短直角边的比值逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，， A、三条边长分别为、、，且， 此三角形为直角三角形，且长直角边与短直角边之比为， 此三角形与相似，符合题意； B、此三角形的长直角边与短直角边之比为，不能证明相似，不符合题意； C、此三角形的长直角边与短直角边之比为，不能证明相似，不符合题意； D、此三角形的长直角边与短直角边之比为，不能证明相似，不符合题意； 故选：A． 考点四：添加条件证明三角形相似 例4．如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，，故A不符合要求； 当时，，故B不符合要求； 当时，，故C不符合要求； 当时，无法证明，故D符合要求； 故选：D． 变式4-1．如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答即可，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． 【详解】解：∵， ∴， 、添加，不能判定，此选项不符合题意； 、添加，不能判定，此选项不符合题意； 、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意； 、添加，不能判定，此选项不符合题意． 故选：C． 变式4-2．如图，，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可得，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：， ， ， A．添加后，满足两组对角相等，可判定，不合题意； B．添加后，满足两组对角相等，可判定，不合题意； C．添加后，不能判定，符合题意； D．添加后，可用两边及其夹角法判定，不合题意； 故选：C． 考点五：确定相似三角形的对数 例5．如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 变式5-1．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 根据相似三角形的判定作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ 同理可得，，，， ∴共有四个三角形与相似． 故选：A． 变式5-2．如图，的高、相交于，连结，则图中相似三角形的对数是（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关知识，用相似三角形的判定方法可判定．，，即可求解 【详解】解：∵的高、相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴． 同理可得， ∴共6对， ∵， ∴点B，点C，点D，点E四点共圆∶ ∴， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选D． 考点六：相似三角形的证明 例6．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可． 【详解】解：∵点D、E分别在边、上，， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故B正确； ∵，， ∴， ∴，故C正确； 与不一定相似，故D不正确； 故选：D． 变式6-1．根据下列各组条件，不能判断和相似的是（    ） A．，， B．，，， C．，，；，， D．，，；，， 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，则，故A不符合要求； ∵，，，， ∴，，则，故B不符合要求； ∵，，；，，， ∴，不能判断和相似，故C符合要求； ∵，，；，，， ∴，，则，故D不符合要求； 故选：C． 变式6-2．如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可． 【详解】解：∵，， ∴．故A正确； ∵，， ∴．故B正确； ∵，， ∴．故D正确； 没有条件可证，故C错误． 故选：C 1．如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与相似（不含）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论． 【详解】解：∵、分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 2．如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，求出所有三角形的边长是解题的关键．先利用勾股定理求出所有三角形的边长，由相似三角形的判定可求解． 【详解】解：图形①的三边为：； 图形②的三边为：； 图形③的三边为：； 图形④的三边为：； ∵， ∴①与③相似， 故选：A． 3．如图，H是平行四边形ABCD的边AD上一点，且，BH与AC相交于点K，那么AK：KC等于（      ） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 【答案】C 【分析】根据AH=DH求出AH：AD即AH：BC的值是1：3，再根据相似三角形对应边成比例求出AK：KC的值． 【详解】解：∵AH=DH， ∴AH：AD=， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，ADBC， ∴AH：BC= ∴△AHK∽△CBK， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键． 4．如图，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据有两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：、，， ∴，故此选项不合题意； 、，， ∴，故此选项不合题意； 、， ，， ∴，故此选项不合题意； 、，不存在夹角相等，不能判定，故此选项符合题意． 故选：D． 5．如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，连接，下列两个三角形不一定相似的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，根据旋转的性质得到，，，，，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质得，， ∴， ∴，， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故B不符合题意； 又，， ∴，故C不符合题意； 根据题意，无法求解与相似， 故D符合题意； 故选：D． 6．如图，是的直径，弦于点．连接、、和．现从，，，中任取两个三角形，恰好都和相似的概率是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，圆周角定理，概率等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先判断出四个三角形中，与相似的三角形个数，再根据概率公式即可得结论． 【详解】解：弦， ，， ， ， 是直径， ， ， ， ，， 与相似的三角形有：，，， ，，，中任取两个三角形有6种可能，两个都与相似的情况有3种， 从，，，中任取两个三角形，恰好都和相似的概率是， 故选：D． 7．如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故A不符合题意； 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B不符合题意； 如图3， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故C不符合题意； 如图4， ∵， ∴，， ∴， 假设， ∵， ∴，与已知条件不符， ∴与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 8．下列说法正确的是（    ） A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似图形的判定，对应角相等，对应边成比例的多边形相似，缺一不可．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、对应角都相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意； B、对应边成比例，但对应角不一定相等，故此选项不符合题意； C、对应角相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意； D、有一个角等于的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项符合题意； 故选：D． 9．下列两个图形一定是相似图形的是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形．根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可． 【详解】解：A、两个菱形的对应角不一定相等，对应边的比相等，故两个菱形不一定是相似图形，此选项不符合题意； B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故两个矩形不一定是相似图形，此选项不符合题意； C、两个等腰三角形对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，故两个等腰三角形不一定是相似图形，此选项不符合题意； D、两个等腰直角三角形的对应边的比相等，对应角相等，故等腰直角三角形一定相似，此选项符合题意； 故选：D． 10．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是相似图形的判断，掌握相似图形的概念及特征是解决此题的关键； 根据形状相同对应角相等、对应边成比例的图形为相似图形，对各组图形逐一进行分析，即可得到结果； 【详解】根据题意得：C选项的两个图象，形状相同、对应角相等、对应边成比例，为相似图形， 故选：C． 11．如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论： ； ； ； ； ．其中正确的是 ．    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据折叠的性质和矩形的性质分析判断；通过点为中点，点为中点，设，，利用勾股定理分析求得与的数量关系，从而判断；利用勾股定理求出，再分别求出、及，即可判断和；根据相似三角形的判定分析判断；掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可得，，，，，，，，， ∴，， ∴， ∴，故正确； 设，，则，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，故错误； 在中，设，则， ∴， 解得， ∴，， 在中， ，     ∴，，故正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴与不相似，故错误； 综上，正确的是， 故答案为：． 12．如图，在四边形中，平分，且，．当 时，． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：9． 13．如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，，为小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定，可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用两边比值以及夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：， 由题意可知：，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，． 【答案】70 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定，得出是解题关键．根据题意得出，进而由，，得出答案． 【详解】解：，， ， 时， ，， ． 故答案为：70． 16．如图，为平行四边形的对角线，且平分；点在的延长线上，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 17．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 18．如图，在钝角中，，请用尺规作图法，在上求作一点，使得．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握作线段垂直平分线的方法． 作的垂直平分线交于点即可． 【详解】解∶如图，点即为所作． 如图，作的是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19．如图，已知⊙O的半径长为1，是⊙O的两条弦，且，的延长线交于点D，连接    (1)求证：； (2)记的面积分别为S1，S2，S3，如果 ，求证：点D为线段的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定、黄金分割点等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）证得即可求证； （2）过点O作于N，于M，根据全等三角形对应边上的高相等可得，分别表示出S1，S2，S3，结合 即可推出，故可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 又∵， ∴； （2）证明：如图，过点O作于N，于M，    由（1）知，， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴的面积分别为： ∵ ， ∴ ∴ 即： ∴点D为线段的黄金分割点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$