专题1.12 一元二次方程（全章专项练习）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.12 一元二次方程（全章专项练习） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 2．（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·甘肃兰州·三模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）已知点的坐标为，则点到直线的距离最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 6．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）解一元二次方程，其中一个根为，则等于（    ） A．1 B． C．0 D．2 7．（2024八年级下·江苏·专题练习）若分式方程无解，则实数a的取值是（　　） A．0或2 B．4 C．8 D．4或8 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若关于的方程的解为，，则方程的解为（  ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．23 B．15 C．10 D．5 10．（2024·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）若m是方程的一个根，则代数式的值是 ． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如果的值与的值相等，则 ． 13．（23-24九年级上·湖南怀化·期中）若点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是 . 14．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知，则的值是 ． 15．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知三角形两边长分别为7和4，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 16．（2024·四川达州·三模）已知，是一元二次方程的两根，那么的值为 ． 17．（2024·山东淄博·二模）已知点是一次函数的图象上位于第一象限的点，其中实数，满足，则点的坐标是 ． 18．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图，中，，，，点从点出发向终点以1个单位长度移动，点从点出发向终点A以2个单位长度移动，、两点同时出发，一点先到达终点时、两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）19．（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程：． 20．（8分）（23-24八年级下·山东淄博·期中）选择合适的方法解方程． (1)； (2) 21．（10分）（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根； （2）如果方程有两个实数根，当时，求m的值． 22．（10分）（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，在等腰直角三角形中，，且A，B，C三点的坐标分别为，，． （1）求直线的解析式； （2）若双曲线与的边共有两个交点，求k的取值范围． 23．（10分）（2024·福建福州·模拟预测）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍， （1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元； （2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值． 24．（12分）（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式　　； （2）若可配方成（m、n为常数），则　　； 【探究问题】（1）已知，则　　； （2）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】已知实数x、y满足，求的最值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】本题考查一元二次方程解的定义以及一元二次方程的定义及其解法，熟练掌握定义，根据定义要求得出方程及不等式求解是解决问题的关键．根据方程解的定义，将代入求解，再结合一元二次方程定义确定即可得出结论． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， ，解得， 关于x的一元二次方程有一个根是1， ， 化简得，解得， 综上所述：， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：A． 3．A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：∵，且无论x取任何实数，代数式都有意义， ∴， ∴． 故选：A 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时，方程没有实数根．将方程化为一般式，再利用判别式求解即可． 【详解】解：将方程化为一般形式， 其中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5．B 【分析】考查了配方法的应用，非负数的性质，坐标与图形性质，关键是得到点到直线的距离是． 点到直线的距离是，利用配方法即可得到点到直线的最小值． 【详解】解：点到直线的距离是， 当时，点到直线的最小值为1． 故选：B． 6．B 【分析】本题主要考查用公式法解一元二次方程，牢记求根公式：，利用求根公式可直接求解c的值． 【详解】解：已知一元二次方程； 直接利用公式法可得：； 因为其中一个根为； 可得，，； 即，； ∴； 故选：B． 7．D 【分析】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0叫做原方程的增根．先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可． 【详解】解： 去分母，得， 去括号、移项、合并同类项，得， 两边同时除以2，得． 若原分式方程无解，则， 解得或2． 当时，，解得； 当时，，解得． ∴或8． 故选：D． 8．B 【分析】此题考查的是根据已知方程的解，求新方程的解，掌握换元法是解决此题的关键．设方程中，，根据已知方程的解，即可求出关于t的方程的解，然后根据即可求出结论． 【详解】解：设方程中， 则方程变为 ∵关于的方程的解为，， ∴关于的方程的解为，， ∴对于方程，或， 解得：，， 故选B． 9．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键．将，进行变形可知，为方程的两个不相等实根，然后利用根与系数的关系得到，的值,利用完全平方公式对代数式进行变形即可求得其值． 【详解】解： ，是不为0的实数， 由 ，，得，， 又， ，为一元二次方程的两个不相等实根， ，， ， 故选：A． 10．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．每一支队伍都要和另外的支队伍进行比赛，于是比赛总场数每支队的比赛场数参赛队伍重复的场数，即可解答． 【详解】解：共有n支队伍参加比赛，根据题意， 可列方程为； 故选：B． 11． 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先根据一元二次方程解的定义得到，则，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 12．或1 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元一次方程，等式的性质等知识，根据题意得到方程，求出方程的解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 分解因式得：， ∴，， 解方程得：，． 故答案为：或1． 13．有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了根的判别式以及点的坐标，由点P在第二象限，可得出，，进而可得出，结合，进而可得出关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】 解：点在第二象限，，， ， ， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 14．2 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，令，根据换元法求解方程作答即可． 【详解】令，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 15．20 【分析】本题考查解一元二次方程及三角形的三边关系，利用因式分解法解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定符合题意的x的值，然后计算其周长即可． 【详解】 因式分解得： 解得： ∵ ∴舍去 ∴这个三角形的周长是 故答案为：20 ． 16． 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到，，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，， ． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元二次方程，根据题意已知等式可得，根据点是一次函数的图象上位于第一象限的点，得出，且，，联立解方程，即可求解． 【详解】， 化简，得， 点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点， ， ， 解得，或， 点是一次函数的图象位于第一象限部分上的点， ，， 故点的坐标为， 故答案为． 18．1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 19． 【分析】本题考查解分式方程和解一元二次方程，熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法是解题的关键．根据解分式方程的步骤化简，再解一元二次方程，注意要验根． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 因式分解，得， 解得：，， ∵，且， ∴或， ∴． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再进行因式分解，得，令每个因式为0，进行计算，即可作答． （2）先移项，提公因式得，令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： 解得 （2）解： 解得 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．也考查了根的判别式． （1）先计算根的判别式的值得到，则，于是根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用根与系数的关系得，，再利用得到，然后解一次方程即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论m取何值时，方程总有实数根； （2）解：根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 解得， 即m的值为． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，反比例函数的图形和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及反比例函数的图象和性质． （1）设直线的解析式为，将，代入求出k和b 的值，即可得出函数解析式； （2）联立双曲线和直线的解析式，求出当直线与双曲线只有一个交点时k的值，再求出当双曲线经过点B时k的值，即可解答． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：联立和得： ， 整理得：， 当直线与双曲线只有一个交点时：， 解得：， 当双曲线经过点B时，把代入得： ， 解得：， ∵双曲线与的边共有两个交点， ∴． 23．(1)桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元； (2)m的值为2 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出桂花鱼的单价，再将其代入中，即可得出大罗非的单价； （2）利用数量=总价÷单价，可求出第一次购买大罗非的数量，再利用总价=单价×数量，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元； （2）第一次购买大罗非的数量是（斤）． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：m的值为2． 24．解决问题：（1）；（2）；探究问题：（1）；（2）当时，为“完美数”，理由见解析；拓展结论：当时，最大，最大值为 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． [解决问题]（1）把34分为两个整数的平方即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，确定出与的值，即可求出的值； [探究问题]（1）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； （2）根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； [拓展结论]由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：解决问题：（1）根据题意得：； 故答案为：； （2）根据题意得：， ，， ∴； 故答案为：； 探究问题：（1）∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； （2）当时，为“完美数”，理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； 拓展结论：， ，即， ， ， ∵， ∴， ∴ ∴当时，最大，最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$