1.2 配方法（二次项系数不为1）（第3课时）（教学课件） -2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第一章 一元二次方程 第三课时 配方法（二次项系数不为1） 1.2 一元二次方程的解法 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解配方的基本过程，会运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程. （重点） 2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想. 用配方法解方程: x2+4x+1=0 解： x2+4x+1=0 x2+4x=−1 移项 x2+4x+4=−1+4 两边都加上4 ( x+2)2=3 左边写成完全平方形式 用配方法解系数为1的一元二次方程的步骤: 1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解. 情景导入 当二次项系数为 1 时，已知一次项的系数，则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则一次项系数为常数项的平方根的两倍。 数学语言表示为： x2+px+( )2=(x+ )2 旧知回顾 1.用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 新知探究 上节课我们学习了当一元二次方程二次项系数是1时的配方法 当一元二次方程的二次项系数不是1时，怎样用配方法求解？ 例1 解方程2x2－5x＋2＝0. 比较方程x2－ x+1=0与方程2x2－5x+2=0有什么关系？ 2x2－5x+2=0中的二次项系数变为1，即方程两边都除以2就得到 x2－ x+1=0 ，这样就转化为上节课学过的方程的形式，用配方法即可求出方程的解 开方，得 例5：解方程2x2－5x＋2＝0. 解：两边都除以2，得 移项，得 配方，得 课本例题 例6 解方程－3x2＋4x＋1＝0． 解：两边都除以－3，得 移项，得 配方，得 开方，得 ∴　　　　　　　　　　　　． 课本例题 解： 常数项移到“＝”右边 1. 解方程：3x2－6x＋4＝0. 移项，得 3x2－6x＝－4 二次项系数化为1，得 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以 x取任 何实数时， (x－1)2 都是非负数， 上式均不成立， 即原方程无实数根．　　　　 x2－2x＝ . x2－2x ＋ 12 ＝ ＋ 12. (x－1)2＝ . 两边同时除以3 两边同时加上二次项系数一半的平方 练一练 2. 解下列方程． (1)x2－8x＋1＝0；　　 (2)2x2＋1＝3x； 点拨： (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法． 　 (2) 先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次项系数为2， 为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程 的两边都除以2. 练一练 解： (1) 移项，得 　　　　　x2－8x＝－1. 　　 　配方，得 　　　　　x2－8x＋42＝－1＋42， 　　　　　　　(x－4)2＝15. 　　　 由此可得 练一练 　　(2) 移项，得 2x2－3x＝－1. 二次项系数化为1，得 配方，得 由此可得　　　　　　　　　　 用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 概念归纳 1.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2 −4k＋5=k2−4k＋4＋1 =(k−2)2＋1 因为(k −2)2≥0，所以(k−2)2＋1≥1. 所以k2 −4k＋5的值必定大于零. 2.用配方法的应用 新知探究 2.应用配方法求最值. (1) 2x2 − 4x+5的最小值； (2)−3x2 + 6x−7的最大值. 解：原式 = 2(x −1)2 +3 当x =1时，有最小值3. 解：原式= −3(x − 1)2 －4 当x =1时，有最大值− 4. 归纳总结：含有二项式的代数式求最值或证明恒为正(负)等问题，都要想到运用配方法，将含字母部分配成a(x+m)2+n的形式来解决. 3.若a，b，c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ABC为直角三角形. 典例剖析 4.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，问几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ A C B P Q 典例剖析 解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． 整理，得x2-14x+24=0, 即(x-7)2=25,解得x1=12，x2=2， x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去． 配方法的应用 类别 解题策略 2.求最值或 证明代数式 的值恒为正 （或负） 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值. 1.完全平方式中的配方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 3.利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2−4b＋4=0，则a2＋(b−2)2=0，即a=0，b=2. 19 B C 随堂练 B 随堂练 随堂练 A C 分层练习-基础 3. 用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（　　） （x﹣2）2=3 B. 2（x﹣2）2=3 C. 2（x﹣1）2=1 D. 2（x﹣1）2=   4. 已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　） A. M＜N B. M=N C. M＞N D. 不能确定 5. 将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（　　） A. ﹣30 B. ﹣20 C. ﹣5 D. 0 C A A 分层练习-基础 6. 对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（　　） A. 非正数 B. 非负数 C. 正数 D. 负数 7. 若x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则m=________． 8. 若a为实数，则代数式的最小值为________． 9. 用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（x﹣______）2=________． 10. 已知方程x2+4x+n=0可以配方成（x+m）2=3，则（m﹣n）2016=________． D 1 3 1 1 分层练习-基础 11. 设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为________． 12. 若实数a，b满足a+b2=1，则a2+b2的最小值是________． 13. 将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=________． 14. 若代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣a）2﹣3，则b﹣a=________． 3 3 12 分层练习-基础 D C 分层练习-基础 A B B 分层练习-基础 B B 分层练习-基础 D 分层练习-基础 C x1＝55，x2＝15 －3 3 －1 小 －2 分层练习-基础 C 分层练习-基础 D C 分层练习-基础 2 14或16 分层练习-基础 15.用配方法解方程： （1）x2+4x﹣1=0． （2）x2﹣2x=4． 解：（1）∵x2+4x﹣1=0，∴x2+4x=1 ∴x2+4x+4=1+4，∴（x+2）2=5 ∴x=﹣2± ∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． （2）配方x2﹣2x+1=4+1 ∴（x﹣1）2=5 ∴x=1± ∴x1=1+，x2=1﹣． 分层练习-巩固 分层练习-巩固 16. “a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1， ∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：因为x2﹣4x+6=（x　　）2+　　； 所以当x=　　时，代数式x2﹣4x+6有最　　（填“大”或“小”）值，这个最值为　　． （2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小． x2﹣1＞2x﹣3． -2 2 2 小 2 分层练习-巩固 17. 阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0， 求△ABC的周长； （3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值． 分层练习-巩固 解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0， ∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0， ∴（a+3b）2+（b+1）2=0，∴a+3b=0，b+1=0， 解得b=-1，a=3， 则a-b=4； （2）∵2a2+b2-4a-6b+11=0， ∴2a2-4a++2+b2-6b+9=0， ∴2（a-1）2+（b-3）2=0， 则a-1=0，b-3=0， 解得，a=1，b=3， 由三角形三边关系可知， 三角形三边分别为1、3、3， ∴△ABC的周长为1+3+3=7； 分层练习-巩固 （3）∵x+y=2，∴y=2-x， 则x（2-x）-z2-4z=5， ∴x2-2x+1+z2+4z+4=0， ∴（x-1）2+（z+2）2=0， 则x-1=0，z+2=0， 解得x=1，y=1，z=-2， ∴xyz=2． 分层练习-巩固 分层练习-巩固 （1）求代数式m2+m+4的最小值； （2）求代数式4﹣x2+2x的最大值； （3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 分层练习-巩固 (3)、由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x， ∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0， ∴﹣2（x﹣5）2+50≤50， ∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5， 则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2． 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 二次项的系数 一半的平方 课堂反馈 2x2－3x＝2 C 2 －1 大 －1 课堂反馈 思路 步骤 配方法 (1)变形;(2)配方;(3)整理;(3)求解. 配方 方程两边同时加一次项系数一半的平方 ax2+bx+c=0→(x+n)2=p (p ≥0) 课堂小结 1．解一元二次方程3x2＋4x＋1＝0时，可以将方程化为(　　) A．(x＋2)2＝3　　　　 B．(x＋eq \f(2,3))2＝eq \f(1,9) C．(x＋eq \f(2,3))2＝eq \f(1,3) D．(3x＋eq \f(2,3))2＝eq \f(1,9) 2．若9x2－ax＋4是一个完全平方式，则a等于(　　) A．12 B．－12 C．12或－12 D．6或－6 3．将多项式x2＋6x＋2化为(x＋p)2＋q的形式为(　　) A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7 C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋4 4．方程2x2－5x－2＝0，配方后得　 　. 5．x＝　 　时，代数式3x2＋2x＋5的值是6. 6．如果a、b为实数，且满足eq \r(3a＋4)＋b2－12b＋36＝0，那么a＋b＝ 　 　. (x－eq \f(5,4))2＝eq \f(41,16) －1或eq \f(1,3) eq \f(14,3) 7．解下列方程： (1)2x2＋3x－2＝0； 解：x1＝－2，x2＝eq \f(1,2)； (2)4x2－8x＋1＝0. 解：x1＝1＋eq \f(\r(3),2)，x2＝1－eq \f(\r(3),2). 1. 用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0时，原方程应变形为（　　） A. （x﹣2）2=11 B. （x+2）2=11 C. （x﹣4）2=23 D. （x+4）2=23 2. 将代数式x2+6x﹣3化为（x+p）2+q的形式，正确的是（　　） A. （x+3）2+6 B. （x﹣3）2+6 C. （x+3）2﹣12 D. （x﹣3）2﹣12 1．用配方法解方程x2＋x＝1时，方程两边应同时加上( ) A．eq \f(1,2)　 　 B．1　　 　 C．－1　　 D．eq \f(1,4) 2．若已知x2＋6x＋m2是完全平方式，则m的值是( ) A．3 B．－3 C．±3 D．±eq \r(16) 3．一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为( ) A．(x－3)2＝14 B．(x－3)2＝4 C．(x＋3)2＝14 D．(x＋3)2＝4 4．对于任意实数x，多项式x2－2x＋3的值一定是( ) A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定 5．把方程2x2－4x－1＝0化为(x＋m)2＝n的形式，则m、n的值是( ) A．m＝2，n＝eq \f(3,2) B．m＝－1，n＝eq \f(3,2) C．m＝1，n＝4 D．m＝n＝2 8．若方程4x2－(m－2)x＋1＝0的等号左边是一个完全平方式，则m等于( ) A．－2　　　　　　　　 B．－2或6 C．－2或－6 D．2或－6 9．方程x2－2x－7＝0的两根为( ) A．x＝－1±2eq \r(2) B．x＝1±2eq \r(2) C．x＝2eq \r(2)±1 D．x＝±2eq \r(2) 10．用配方法解2x2－3x－6＝0，第一步是( ) A．方程两边都加上一次项系数一半的平方 B．方程两边都加上eq \f(9,4) C．方程两边都加上eq \f(9,16) D．方程两边都除以2 11．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为( ) A．1s B．2s C．1s或2s D．无法确定 12．解方程x2－70x＋825＝0，其根为 13．若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，则m＝ ，n＝ ． 14．当x＝ 时，代数式2x2＋4x有最 (填“大”或“小”)值为 ． 8．用配方法解下列方程时，配方有错误的是(　　) A．4x2－4x－19＝0化为(2x－1)2＝20 B．2t2－7t－4＝0化为(t－eq \f(7,4))2＝eq \f(81,16) C．2x2＋8x＋7＝0化为(x＋2)2＝15 D．3x2－4x－2＝0化为(x－eq \f(2,3))2＝eq \f(10,9) 9．若分式eq \f(2x2－x－10,x2－4)的值为零，则x的值为(　　) A．4　　 B．－2或eq \f(5,2)　　 C．3　　 D．eq \f(5,2) 10．a、b取任意实数，多项式a2＋b2－2a－4b＋16的值总是(　　) A．负数 B．零 C．正数 D．无法确定正负 11．(滨州中考)一元二次方程2x2－4x＋1＝0的解为 　 　. 12．用配方法求得代数式2x2－7x＋2的最小值是　 　.关于x的一元二次方程(k－1)x2＋5x＋k2－3k＋2＝0的一个根为0，则k的值为 . 13．已知一元二次方程(x－5)2＝1的两个根恰好是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为 . x1＝eq \f(2＋\r(2),2)，x2＝eq \f(2－\r(2),2) －eq \f(33,8) (3)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 解：x1＝2，x2＝4. 15．用配方法证明：无论x为何实数，代数式－x2＋4x－8的值恒小于零． 解：∵－x2＋4x－8＝－(x－2)2－4＜0，∴无论x为何实数，代数式－x2＋4x－8的值恒小于零． 14．用配方法解下列方程： (1)2x2－7x＋6＝0； 解：(x－eq \f(7,4))2＝eq \f(1,16)，x－eq \f(7,4)＝±eq \f(1,4)，∴x1＝2，x2＝eq \f(3,2)； (2)eq \f(1,2)x2－x－1＝0； 解：x1＝1＋eq \r(3)，x2＝1－eq \r(3)； 18. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4 ∵（y+2）2≥0 ∴（y+2）2+4≥4 ∴y2+4y+8的最小值是4． 解：(1) m2+m+4=（m+）2+， ∵（m+）2≥0， ∴（m+）2+≥， 则m2+m+4的最小值是； (2)4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5， ∵﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2+5≤5， 则4﹣x2+2x的最大值为5； 16．已知a、b为非负实数，∵a＋b－2eq \r(ab)＝(eq \r(a))2＋(eq \r(b))2－2eq \r(a)·eq \r(b)＝(eq \r(a)－eq \r(b))2≥0，∴a＋b≥2eq \r(ab)，当且仅当“a＝b”时，等号成立．示例：当x＞0时，求y＝x＋eq \f(4,x)＋1的最小值． 解：y＝(x＋eq \f(4,x))＋1≥2eq \r(x·\f(4,x))＋1＝5. 当且仅当“x＝eq \f(4,x)”时，即x＝2时，y的最小值为5. 探究：当x＞0时，求y＝eq \f(x2＋3x＋1,x)的最小值． 解：由y＝eq \f(x2＋3x＋1,x)，得y＝x＋eq \f(1,x)＋3. ∵x＞0，∴y＝x＋eq \f(1,x)＋3≥2eq \r(x·\f(1,x))＋3＝5. 当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，y＝eq \f(x2＋3x＋1,x)取最小值为5. 用配方法解二次项的系数不为1的方程　用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步骤：(1)化二次项系数为1——两边同除以 ；(2)移项——将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；(3)方程两边都加上一次项系数 ；(4)将原方程变成(x＋m)2＝n的形式；(5)判断右边代数式的符号，若n≥0，可以直接开平方求解；若n＜0，原方程无解． x1＝2，x2＝－eq \f(1,2) 1. 解方程：2x2－3x－2＝0.为了方便配方，我们将常数项移到右 边得： ，再把二次项系数化为1得：　 　，然后配方得：　 　，进一步得到：　 　， 解得方程的两个根是　 　. x2－eq \f(3,2)x＝1 x2－eq \f(3,2)x＋(eq \f(3,4))2＝1＋(eq \f(3,4))2 (x－eq \f(3,4))2＝eq \f(25,16) 配方法的应用　将ax2＋bx＋c(a≠0)化成a(x＋m)2＋n的形式． 1．若x2＋6x－7可化为(x＋m)2－n，则m、n分别是(　　) A．3，－16　　　　　　　　 B．±3，－16　　　　　　　　 C．3,16　　　　　　　　　 D．±3,16 2．式子－x2－4x－5可配方成－(x＋ )2 ，该式有最 值是 . $$