专题1.7 根的判别式与根与系数的关系（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.7 根的判别式与根与系数的关系（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 1. 一元二次方程根的判别式 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 【知识点二】一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】不解方程，判断一元二次方程根的情况 【例1】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）不解方程，判断下列方程根的情况： (1) (2) (3) 【变式1】（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）不解方程判断下列方程中无实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）不解方程，判断方程的根的情况是 ． 【题型2】已知方程根的情况确定参数的取值范围 【例2】（2024·湖南衡阳·一模）关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）对于m取一个适当的值，并求出一元二次方程的根． 【变式1】若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式2】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 . 【题型3】由一元二次方程根的判别式进行证明 【例3】（22-23九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知关于x的一元二次方程， （1）证明：当m取不为0的任何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个正整数根． 【变式1】（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于的一元二次方程的根情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 【变式2】（2024·吉林长春·一模）当时，关于的方程根的情况是 ． 【题型4】由根与系数关系求关于方程两根的代数式的值 【例4】（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 【变式1】（2024·湖南益阳·三模）已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（   ） A． B．0 C．2 D．6 【变式2】（2024·山东德州·二模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【题型5】根的判别式与根与系数关系的综合 【例5】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 【变式1】（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 【变式2】（2024·北京门头沟·一模）已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【例2】（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． （1）填空：________，________； （2）求，； （3）已知，求的值． 2、拓展延伸 【例1】（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的方程． （1）证明：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若k为整数，则当为何值时，方程的根是整数． 【例2】（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于A，B两点，其中． （1）求反比例函数表达式； （2）若把一次函数的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.7 根的判别式与根与系数的关系（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 1. 一元二次方程根的判别式 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 【知识点二】一元二次方程根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】不解方程，判断一元二次方程根的情况 【例1】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）不解方程，判断下列方程根的情况： (1) (2) (3) 【答案】(1)方程有两个相等的实数根，(2)方程没有实数根，(3)方程有两个不相等的实数根． 【分析】对于一元二次方程，当时，方程存在两个不等的实数根，当时，方程存在两个相等实数根，当时，方程无实数根，首先将已知方程化为一般式，求得其判别式与0比较，结合上述即可求解． （1）解：的一般形式为； ， 故方程有两个相等的实数根． （2）原方程化为一般形式为， ， 故方程没有实数根． （3）化为一般形式为， ， 所以此方程有两个不相等的实数根． 【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是关键． 【变式1】（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）不解方程判断下列方程中无实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，整理每个方程后，应用Δ与0的大小关系判断根的情况． （1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根． 解：A、∵， ∴， ∴． ∴方程有两个不相等的实数根．故不符合题意； B、∵， ∴． ∴方程没有实数根，符合题意； C、∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根．故不符合题意； D、∵， ∴， ∴． ∴方程有两个不相等的实数根．故不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）不解方程，判断方程的根的情况是 ． 【答案】没有实数根 【分析】本题考查了根的判别式判断根的情况，根据一元二次方程的根与有如下关系：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根，进行求解即可． 解：方程整理得：， ，，， ， 该方程没有实数根． 故答案为：没有实数根． 【题型2】已知方程根的情况确定参数的取值范围 【例2】（2024·湖南衡阳·一模）关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）对于m取一个适当的值，并求出一元二次方程的根． 【答案】(1)，且； (2)时，； 【分析】（1）本题考查了一元二次方程的定义及其有实数根的判定，须满足只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，然后判别式大于或等于零即可解决问题． （2）本题考查了一元二次方程的解法，可利用因式分解法，求根公式即可． （1）解： 是关于x的一元二次方程， ，即， 关于x的一元二次方程有实数根， ，即， ， 的取值范围为，且． （2）当时，方程为， 因式分解得，， 解得： 【变式1】若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】分两种情况讨论：当 方程为一元一次方程，再解方程即可判断，当 方程为一元二次方程，再根据根的判别式建立不等式求解即可． 解：∵关于的方程有实数根， 当 方程化为 解得： 此时方程有实数根， 当时，方程有实数根， ∴ 解得： 综上：关于的方程有实数根，则 故选A 【点拨】本题考查的是一元二次方程根的判别式，理解方程有实数根时的分类讨论是解本题的关键． 【变式2】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 . 【答案】a≤0且a≠-1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+1≠0且△=22-4×（a+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 解：根据题意得a+1≠0且△=22-4×（a+1）≥0， 解得a≤0且a≠-1． 故答案为a≤0且a≠-1． 【点拨】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式公式是解题得关键． 【题型3】由一元二次方程根的判别式进行证明 【例3】（22-23九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知关于x的一元二次方程， （1）证明：当m取不为0的任何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个正整数根． 【答案】(1)见详解 (2)m＝1 【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案． （2）根据因式分解法可求出方程的两根，根据题意给出的条件即可求出m的值． （1）解:由题意可知：， ∵m≠0， ∴当m取不为0的任何值时，方程总有实数根． （2）∵， ∴（x−1）（mx−2）＝0， ∴x＝1或x＝ ， ∵方程有两个正整数根，m为整数， ∴m＝1． 【点拨】本题考查一元二次方程的判别式，因式分解法解方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 【变式1】（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于的一元二次方程的根情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法，熟记判别式并灵活应用是解题关键．先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解． 解：由题意可知：，，， 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【变式2】（2024·吉林长春·一模）当时，关于的方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 解：关于的方程， ∴， ∵， ∴， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【题型4】由根与系数关系求关于方程两根的代数式的值 【例4】（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系可得，，再将所求代数式变形，最后代入求解即可； （2）根据题意可得，，推出，再将所求式子变形，最后代入求解即可． （1）解：，是方程有两个实数根， ，， ； （2），是方程有两个实数根， ， ， 【变式1】（2024·湖南益阳·三模）已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（   ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后展开代入求解即可． 解：由可得：， ∴； 故选B． 【变式2】（2024·山东德州·二模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】17 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算． 解：是一元二次方程的实数根， ， ， ，是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故答案为：17． 【题型5】根的判别式与根与系数关系的综合 【例5】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． （1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， ∴ 解得：． （2）解：原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去）， 【变式1】（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可． 解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ， 解得：或， 当时，原方程为，， 则原方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为，， 则原方程无实数根，不符合题意； 综上：． 故选：A． 【变式2】（2024·北京门头沟·一模）已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值 ． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的两个根为，，则两根分别与方程系数之间有如下关系：，． 根据得到，两根之和为正数，两根之积是负数可知，，找出一组符合题意的数即可． 解：一元二次方程有两个根， ， ， 两根之和为正数，两根之积是负数， ∴，， ， 令，． 故答案为：，（答案不唯一）． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． （1）求的取值范围． （2）若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． （1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 【例2】（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． （1）填空：________，________； （2）求，； （3）已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． （1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 2、拓展延伸 【例1】（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的方程． （1）证明：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若k为整数，则当为何值时，方程的根是整数． 【答案】(1)见解析 (2)当时，方程的根是整数 【分析】（1）由可得结论； （2）求方程得，要使方程的解为整数，则为平方数，设，整理得，根据与的奇偶性相同，得出或，求出或即可． （1）证明： ， ∵， ∴， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 要使方程的解为整数，则为平方数， 设， 整理得：， ∵与的奇偶性相同， ∴或， 解得：或， 当时，方程变为， 解得：或， ∴当时，方程的根是整数． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，以及一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【例2】（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于A，B两点，其中． （1）求反比例函数表达式； （2）若把一次函数的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意是解本题的关键； （1）把代入可得，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把一次函数的图象向下平移b个单位，平移后的解析式为，再结合一元二次方程根的判别式可得答案． （1）解：把代入可得： ∴， ∴； ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）∵把一次函数的图象向下平移b个单位， ∴平移后的解析式为， ∴， ∴， 整理得：， ∵与反比例函数的图象只有一个交点， ∴有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴或， 解得：， ∴或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$