2024年北京市西城区北京师范大学附属中学中考数学三模试卷

2024年北京市西城区北京师范大学附属中学中考数学三模试卷 一、选择题(共24分,每题3分)第1-8题均有四个选项,其中符合题意的选项只有一个. 1.(3分)如图是某个几何体的展开图,该几何体是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.正方体 2.(3分)北京大力推动光通信技术发展应用,打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈,其中光传导工具是光纤,一种多模光纤芯的直径是0.0000625米,将0.0000625用科学记数法表示为( ) A.6.25 10﹣7 B.62.5 10﹣6 C.6.25 10﹣5 D.0.625 10﹣4 3.(3分)如图,A,B两点在数轴上表示的数分别是a,b,下列结论中正确的是( ) A.ab>0 B.a+b>0 C.|b|>|a| D.b﹣a>0 4.(3分)如图,AB∥CD,BC∥EF,ED平分∠AEF,若∠C=50 ,则∠D的度数为( ) A.40 B.50 C.55 D.65 5.(3分)一组数据的方差为,将这组数据中的每一个数都减去m(m>0),得到一组新数据,其方差为,则与的大小关系是( ) A. B. C. D.无法确定 6.(3分)若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a=0有两个相等的实数根、则实数a的值为( ) A.3 B.2 C.0 D.﹣1 7.(3分)不透明的袋子中有红,黄,绿三个小球,这三个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,两次摸出的小球的颜色相同的概率是( ) A. B. C. D. 8.(3分)如图1,在菱形ABCD中,∠B=60 ,P是菱形内部一点,动点M从顶点B出发,沿线段BP运动到点P,再沿线段PA运动到顶点A,停止运动.设点M运动的路程为x,=y,表示y与x的函数关系的图象如图2所示,则菱形ABCD的边长是( ) A. B.4 C. D.2 二、填空题(共24分,每题3分) 9.(3分)若代数式有意义,则实数x的取值范围是 . 10.(3分)分解因式:mx2﹣4my2= . 11.(3分)方程组的解为 . 12.(3分)在平面直角坐标系xOy中,若点A(3,y1)和B(2,y2)在反比例函数的图象上,则y1 y2(填“>”“=”或“<”). 13.(3分)若n边形的每个外角都是60 ,则n的值是 . 14.(3分)如图,在 ABCD中,E是AD上一点,,BE的延长线与CD的延长线相交于点F,若AB=6,则CF的长为 . 15.(3分)如图,在 ABC中,∠ACB=90 . ①以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别与AC,AB相交于点M1,M2;分别以M1,M2为圆心,大于M1M2的长为半径画弧,两弧相交于点M;作射线AM. ②以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别与BC,AB相交于点N1,N2分别以N1,N2为圆心,大于N1N2的长为半径画弧,两弧相交于点N;作射线BN,与射线AM相交于点P. ③连接CP. 根据以上作图,若点P到直线AB的距离为1,则线段CP的长为 . 16.(3分)甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛,成绩各不相同,根据成绩决出第1名到第4名的名次.甲和乙去询问名次,老师对甲说:“很遗憾,你和乙都不是第1名.”对乙说:“你不是第4名.”从这两个回答分析,4个人的名次排列可能有 种不同情况,其中甲是第4名有 种可能情况. 三、解答题(共52分,第17-19题每题5分,第20题6分,第21题5分,第22-24题每题6分,第25题8分) 17.(5分)计算:. 18.(5分)解不等式3x+4<5(x+2),并写出它的所有负整数解. 19.(5分)已知x﹣y﹣5=0,求代数式的值. 20.(6分)如图,在 ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,且AE=CF,DB平分∠EDF. (1)求证:四边形BEDF是菱形; (2)若AB=8,BC=4,CF=3,求证: ABCD是矩形. 21.(5分)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到,且经过点(1,5). (1)求这个函数的表达式; (2)当x<﹣1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值,直接写出m的取值范围. 22.(6分)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D的直线EF∥BC,分别交AB,AC的延长线于点E,F. (1)求证:直线EF是⊙O的切线; (2)若,BE=2,求BC的长. 23.(6分)如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=6cm,点P是BC边上一动点,连接AP,过点P作AP的垂线与AC,CD分别相交于点E,F. 小明根据学习函数的经验对线段BP,CE,CF的长度之间的关系进行了探究. 下面是小明的探究过程,请补充完整: (1)对于点P在BC边上的不同位置,画图、测量,得到了线段BP,CE,CF的长度的几组值,如表: 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 BP/cm 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 CE/cm 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 CF/cm 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在BP,CE,CF的长度这三个量中,确定 的长度是自变量, 的长度和 的长度都是这个自变量的函数; (2)①确定表格中m的值约为 (结果精确到0.1); ②在同一平面直角坐标系xOy中,画出(1)中所确定的函数的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当点P与点B,C不重合,且CE=CF时,BP= cm(结果精确到0.1). 24.(6分)在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣1,m)和点B(4,n)在抛物线y=ax2+bx﹣2(a>0)上,设抛物线的对称轴为x=t. (1)若m=1,n=6,求t的值; (2)已知点C(1,y1),在该抛物线上,若m>﹣2,n<﹣2,比较y1,y2的大小,并说明理由. 25.(8分)在Rt ABC中,∠A=90 ,AB=AC,将线段AB绕点A逆时针旋转 (0 < <90 ),得到线段AD,连接DB,DC. (1)依据题意,补全图形; (2)求∠CDB的度数; (3)作BE⊥CD于点E,连接AE,用等式表示线段AE,BD,CD之间的数量关系,并证明. 参考答案与试题解析 一、选择题(共24分,每题3分)第1-8题均有四个选项,其中符合题意的选项只有一个. 1.(3分)如图是某个几何体的展开图,该几何体是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.正方体 【解答】解:观察图形可知,该几何体是圆柱. 故选:A. 2.(3分)北京大力推动光通信技术发展应用,打造全市1毫秒、环京2毫秒、京津冀3毫秒时延圈,其中光传导工具是光纤,一种多模光纤芯的直径是0.0000625米,将0.0000625用科学记数法表示为( ) A.6.25 10﹣7 B.62.5 10﹣6 C.6.25 10﹣5 D.0.625 10﹣4 【解答】解:0.0000625=6.25 10﹣5. 故选:C. 3.(3分)如图,A,B两点在数轴上表示的数分别是a,b,下列结论中正确的是( ) A.ab>0 B.a+b>0 C.|b|>|a| D.b﹣a>0 【解答】解:a、b两点在数轴上的位置可知:a>1,﹣1<b<0, ∴ab<0,故A错误; ∴a+b>0,故B正确; ∴b﹣a<0,故D错误. ∵|a|>1,|b|<1,故C错误. 故选:B. 4.(3分)如图,AB∥CD,BC∥EF,ED平分∠AEF,若∠C=50 ,则∠D的度数为( ) A.40 B.50 C.55 D.65 【解答】解:∵BC∥EF, ∴∠EFD=∠C=50 , ∵AB∥CD, ∴∠AEF=180 ﹣50 =130 , ∵ED平分∠AEF, ∴∠AED=65 , ∵AB∥CD, ∴∠D=∠AED=65 , 故选:D. 5.(3分)一组数据的方差为,将这组数据中的每一个数都减去m(m>0),得到一组新数据,其方差为,则与的大小关系是( ) A. B. C. D.无法确定 【解答】解:∵一组数据中的每一个数据都加上(或都减去)同一个常数后,它的平均数都加上(或都减去)这一个常数,方差不变, ∴=, 故选:B. 6.(3分)若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a=0有两个相等的实数根、则实数a的值为( ) A.3 B.2 C.0 D.﹣1 【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2a=0有两个相等的实数根, ∴(﹣4)2﹣4 1 2a=0, 解得:a=2, 故选:B. 7.(3分)不透明的袋子中有红,黄,绿三个小球,这三个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,两次摸出的小球的颜色相同的概率是( ) A. B. C. D. 【解答】解:根据题意画图如下: 共有9种等可能的情况数,其中两次摸出的小球的颜色相同的有3种, 则两次摸出的小球的颜色相同的概率是=; 故选:B. 8.(3分)如图1,在菱形ABCD中,∠B=60 ,P是菱形内部一点,动点M从顶点B出发,沿线段BP运动到点P,再沿线段PA运动到顶点A,停止运动.设点M运动的路程为x,=y,表示y与x的函数关系的图象如图2所示,则菱形ABCD的边长是( ) A. B.4 C. D.2 【解答】解:当0<x≤4时,y=1,即=1, ∴MA=MC, ∴点M在线段AC的垂直平分线上, 连接AC、BD,如图, ∵四边形ABCD为菱形, ∴BD垂直平分AC, ∴点M先在BD上运动,且BM=4, ∵当点P运动到点A处时,x=6, ∴MA=6﹣4=2, 作MH⊥AB于H, ∵∠ABC=60 , ∴∠ABM=30 , ∴MH=BM=2, ∴点H与点A重合, ∴AB===2, 即菱形ABCD的边长为2. 故选:C. 二、填空题(共24分,每题3分) 9.(3分)若代数式有意义,则实数x的取值范围是 x≠4 . 【解答】解:由题可知, 代数式分母不为零, 即x﹣4≠0. 则x≠4. 故答案为:x≠4. 10.(3分)分解因式:mx2﹣4my2= m(x+2y)(x﹣2y) . 【解答】解:原式=m(x2﹣4y2)=m(x+2y)(x﹣2y). 故答案为:m(x+2y)(x﹣2y) 11.(3分)方程组的解为 . 【解答】解:, ① 2+②得:5x=﹣5, 解得:x=﹣1, 将x=﹣1代入①得:﹣2+y=﹣3, 解得:y=﹣1, 故原方程组的解为, 故答案为:. 12.(3分)在平面直角坐标系xOy中,若点A(3,y1)和B(2,y2)在反比例函数的图象上,则y1 > y2(填“>”“=”或“<”). 【解答】解:反比例函数的图象分布在第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大, ∵3>2, ∴y1>y2, 故答案为:>. 13.(3分)若n边形的每个外角都是60 ,则n的值是 6 . 【解答】解:∵n边形的外角和是360 , 又∵n边形的每个外角都是60 , ∴这个n边形的边数是360 60 =6, 故答案为:6. 14.(3分)如图,在 ABCD中,E是AD上一点,,BE的延长线与CD的延长线相交于点F,若AB=6,则CF的长为 10 . 【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD=6,AB∥CD, ∴ ABE∽ DFE, ∴, ∵,AB=6, ∴DF=4, ∴CF=CD+DF=6+4=10, 故答案为:10. 15.(3分)如图,在 ABC中,∠ACB=90 . ①以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别与AC,AB相交于点M1,M2;分别以M1,M2为圆心,大于M1M2的长为半径画弧,两弧相交于点M;作射线AM. ②以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别与BC,AB相交于点N1,N2分别以N1,N2为圆心,大于N1N2的长为半径画弧,两弧相交于点N;作射线BN,与射线AM相交于点P. ③连接CP. 根据以上作图,若点P到直线AB的距离为1,则线段CP的长为 . 【解答】解:过P点作PD⊥AB于D点,PE⊥BC于E点,如图,则PE=1, 由作法得PB平分∠ABC,PC平分∠ACB, ∴PF=PE=1,∠PCF=45 , ∴ PCF为等腰直角三角形, ∴PC=PF=. 故答案为:. 16.(3分)甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛,成绩各不相同,根据成绩决出第1名到第4名的名次.甲和乙去询问名次,老师对甲说:“很遗憾,你和乙都不是第1名.”对乙说:“你不是第4名.”从这两个回答分析,4个人的名次排列可能有 8 种不同情况,其中甲是第4名有 4 种可能情况. 【解答】解:依题意,甲和乙不是第1名,乙不是第4名,有以下8种情况, 第1名 第2名 第3名 第4名 ① 丙 乙 丁 甲 ② 丙 丁 乙 甲 ③ 丁 丙 乙 甲 ④ 丁 乙 丙 甲 ⑤ 丁 甲 乙 丙 ⑥ 丁 乙 甲 丙 ⑦ 丙 甲 乙 丁 ⑧ 丙 乙 甲 丁 其中①②③④四种情况是甲为第4名, 故答案为:8,4. 三、解答题(共52分,第17-19题每题5分,第20题6分,第21题5分,第22-24题每题6分,第25题8分) 17.(5分)计算:. 【解答】解: =2﹣2+3﹣2 =2﹣2+3﹣ =+1. 18.(5分)解不等式3x+4<5(x+2),并写出它的所有负整数解. 【解答】解:去括号得,3x+4<5x+10, 移项、合并同类项得,﹣2x<6, 化系数为1得x>﹣3. 故其所有负整数解为﹣2,﹣1. 19.(5分)已知x﹣y﹣5=0,求代数式的值. 【解答】解: = = = =2(x﹣y) =2x﹣2y, ∵x﹣y﹣5=0. ∴x﹣y=5, ∴当x﹣y=5时,原式=2(x﹣y)=2 5=10. 20.(6分)如图,在 ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,且AE=CF,DB平分∠EDF. (1)求证:四边形BEDF是菱形; (2)若AB=8,BC=4,CF=3,求证: ABCD是矩形. 【解答】证明:(1)在 ABCD中,AB∥CD,AB=CD, ∵AE=CF, ∴BE=DF, ∵BE∥DF, ∴四边形BEDF是平行四边形, ∵AB∥CD, ∴∠EBD=∠BDF, ∵DB平分∠EDF, ∴∠BDE=∠BDF, ∴∠BDE=∠DBE, ∴DE=BE, ∴四边形BEDF是菱形; (2)∵四边形BEDF是菱形,CD=AB=8, ∴BF=DF=CD﹣CF=5, ∵BC2+CF2=42+32=52=BF2, ∴∠C=90 , ∴ ABCD是矩形. 21.(5分)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移得到,且经过点(1,5). (1)求这个函数的表达式; (2)当x<﹣1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值,直接写出m的取值范围. 【解答】解:(1)∵函数y=x+b的图象是由y=2x的图象平移得到的, ∴k=2, 把(1,5)代入y=2x+b,解得b=3, ∴函数的表达式是y=2x+3; (2)当x=﹣1时,y=2x+3=1, 把点(1,﹣1)代入y=mx,求得m=﹣1, ∵当x<﹣1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值, ∴m≤﹣1. 22.(6分)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D的直线EF∥BC,分别交AB,AC的延长线于点E,F. (1)求证:直线EF是⊙O的切线; (2)若,BE=2,求BC的长. 【解答】(1)证明:如图1,连接OD, ∵AB是直径, ∴∠ACB=90 ; ∵EF∥BC, ∴∠AFE=∠ACB=90 , ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA; 又∵AD平分∠BAC, ∴∠OAD=∠DAC, ∴∠ODA=∠DAC, ∴OD∥AF, ∴∠ODE=∠AFD=90 , 即OD⊥EF, 又∵EF过点D, ∴EF是⊙O的切线; (2)解:∵sin∠ABC==, ∴设AC=3x,AB=5x, ∴BC=4x,OB=OD=2.5x, ∵BC∥EF, ∴∠ABC=∠E, 在Rt OED中,sin∠E=sin∠ABC==, ∵BE=2, ∴=, ∴x=, ∴BC=4x=4 =. 23.(6分)如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=6cm,点P是BC边上一动点,连接AP,过点P作AP的垂线与AC,CD分别相交于点E,F. 小明根据学习函数的经验对线段BP,CE,CF的长度之间的关系进行了探究. 下面是小明的探究过程,请补充完整: (1)对于点P在BC边上的不同位置,画图、测量,得到了线段BP,CE,CF的长度的几组值,如表: 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 BP/cm 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 CE/cm 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 CF/cm 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在BP,CE,CF的长度这三个量中,确定 BP 的长度是自变量, CE 的长度和 CF 的长度都是这个自变量的函数; (2)①确定表格中m的值约为 2.2 (结果精确到0.1); ②在同一平面直角坐标系xOy中,画出(1)中所确定的函数的图象; (3)结合函数图象,解决问题:当点P与点B,C不重合,且CE=CF时,BP= 1.9 cm(结果精确到0.1). 【解答】解:(1)在BP,CE,CF的长度这三个量中,确定BP的长度是自变量,CE的长度和CF的长度都是这个自变量的函数; (2)①如图,当BP=3时,而AB=CD=3,AD=BC=6, ∴P是BC的中点, ∴BP=CP=3=AB=CD, 此时D,F重合, 过P作PI∥CD交AD于J,交AC于1, ∵AB∥CD, ∴AB∥PI∥CD, ∴, PIE= DCE, ∴,, ∵AB=3,BC=6, , ∴, ∵ PIE∽ DCE, ∴, ∴; ②描点画图如下: (3)由函数图象可得:当CE=CF时,BP=1.9(cm); 24.(6分)在平面直角坐标系xOy中,点A(﹣1,m)和点B(4,n)在抛物线y=ax2+bx﹣2(a>0)上,设抛物线的对称轴为x=t. (1)若m=1,n=6,求t的值; (2)已知点C(1,y1),在该抛物线上,若m>﹣2,n<﹣2,比较y1,y2的大小,并说明理由. 【解答】解:(1)把点A(﹣1,1)和点B(4,6)代入y=ax2+bx﹣2, 得:, 解得:, ∴; (2)∵a>0, ∴当x>t时,y随x的增大而增大, 令x=0,得y=﹣2, ∴抛物线与y轴交点坐标为(0,﹣2). ∵m>﹣2,n<﹣2,﹣1<0<4, ∴(﹣1,m),(0,﹣2)在对称轴的左侧, 设点(0,﹣2)关于对称轴x=t的对称点坐标(x0,﹣2), ∴t=, ∴x0=2t, ∴点(0,﹣2)关于对称轴x=t的对称点坐标为(2t,﹣2), ∵n<﹣2, ∴2t>4, ∴t>2, ∴点C(1,y1)在对称轴左侧,点在对称轴右侧, 设点C(1,y1)关于对称轴x=t的对称点坐标(x′0,y1), ∴t=, ∴x′0=2t﹣1, ∴点C(1,y1)关于对称轴x=t的对称点坐标为(2t﹣1,y1), ∴ ∴, ∴y1>y2. 25.(8分)在Rt ABC中,∠A=90 ,AB=AC,将线段AB绕点A逆时针旋转 (0 < <90 ),得到线段AD,连接DB,DC. (1)依据题意,补全图形; (2)求∠CDB的度数; (3)作BE⊥CD于点E,连接AE,用等式表示线段AE,BD,CD之间的数量关系,并证明. 【解答】解:(1)补全图形,如图所示: (2)根据题意可知AB=AD=AC,∠BAD= , ∴, ∵∠BAC=90 , ∴∠DAC=90 + , ∴, ∴∠CDB=∠ADB﹣∠ADC=45 . (3),证明如下: 如图,作AF⊥AE,交CD于点F, ∴∠EAF=90 , ∴∠EAB=∠FAC, ∵BE⊥CD,∠BDC=45 , ∴∠DBE=45 , ∴, ∵∠BAD= , ∴, ∴ ABE≌ ACF(ASA), ∴AE=AF,BE=CF, ∴, ∴CD=DE+EF+CF=. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$