精品解析：四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

2024年春期高2022级高二期末考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题 58分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若直线过点，，则此直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用斜率的计算公式即可得出倾斜角． 【详解】解：已知直线过点，， 设直线的倾斜角为，则， 又，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查直线的倾斜角，掌握斜率的计算公式是解题的关键． 2. 已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】配方后化为标准方程即可得. 【详解】由已知圆的标准方程为，圆心是，半径是． 故选：A． 3. 记为等差数列的前 项和，若，则（ ） A. 20 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质求得，然后依次求得，公差，最后求得． 【详解】∵是等差数列， ∴，，所以， ∴公差， ∴， ∴， 故选：D． 4. 已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意得出双曲线的焦点在 轴上，设出双曲线的标准方程；再根据双曲线C经过点及离心率公式即可求解. 【详解】因为双曲线C经过点， 所以双曲线的焦点在 轴上，设双曲线的方程为. 因为双曲线 经过点 ， 所以，解得 ． 又因为， 所以， 则， 所以双曲线的标准方程为． 故选：C. 5. 将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解. 【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法， 所以不同放法的种数为. 故选：B 6. 衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出 ， ，根据条件概率公式求解即可． 【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B， 事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则， 又，则， 即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为． 故选：D． 7. 已知点M，N是抛物线 ：和动圆C：的两个公共点，点F是 的焦点，当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2，则当变化时，的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】直线 的方程为，联立直线与抛物线的方程得到，结合 是MN的中点，可得，由抛物线的定义可将转化为，当三点在一条直线时，可求得的最小值. 【详解】圆C：的圆心， 当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2， 设直线 的方程为，化简为：， ，消去 可得：， 设，，所以， 因为 是MN的中点，所以，解得：， 故，，由抛物线的定义可知，过点 作交 于点 ， 过点 作交 于点 ， 所以，所以， 当三点在一条直线时取等. 故选：B. 8. 已知，且，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再比较自变量的大小关系，最后利用函数单调性得到函数值的大小关系. 【详解】因函数的定义域为R， 且 ， 所以函数为偶函数； 当时，因单调递增，而在定义域内也为增， 故由同增异减原则，也为增， 也为增，又因 在上为增函数，故在上为增函数. 又因， 由， 因，故， 由在上为增函数可得:，即. 故选：D. 二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ） A. B. 只有第4项的二项式系数最大 C. 各项系数之和为1 D. 的系数为560 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二项式系数之和为运算求解，进而判断A；根据二项式系数的性质分析判断B；令 ，求各项系数之和，进而判断C；对于D：结合二项式系数的通项分析判断. 【详解】对于A：由题意可知：各项的二项式系数之和为，解得，故A正确； 可得， 对于B：因为，则第4项和第5项的二项式系数最大，故B错误； 对于C：令 ，可得各项系数之和为，故C错误； 对于D：因为二项展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数为，故D正确； 故选：AD. 10. 下列说法中正确的是（ ） 附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A. 已知离散型随机变量，则 B. 一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158 C. 若，则事件 与 相互独立 D. 根据分类变量 与 的观测数据，计算得到，依据 的独立性检验可得：变量 与 独立，这个结论错误的概率不超过0.05 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据二项分布的方差公式和方差的性质进行计算； B选项，根据百分位数的定义进行计算； C选项，根据对立事件的概率和事件独立的条件进行判断； D选项，根据独立性检验的标准进行判断. 【详解】对于A：根据二项分布的方差公式，可得， ∴，∴A错误； 对于B：，根据百分位数的定义， 这组数据的第75百分位数为第8个数158，∴B正确； 对于C：∵，∴，∴， 根据事件独立性的定义可知，事件 与 相互独立，∴C正确； 对于D：根据的值以及常用的概率值与相应临界值可知， 依据 的独立性检验，可得变量 与 相互独立， 即认为变量 与 不相互独立，犯错误的概率大于0.05小于0.1，∴D错误． 故选：BC 11. 将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为 C. 过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直 D. 直线平面 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，首先求得其中一个正三角形的面积，进一步即可验算；对于B，首先求得，进一步即可验算；对于C，证明面面 即可判断；对于D，建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可. 【详解】对于A，，所以表面积为，故A对； 对于B，如图所示： 设点 在平面 内的投影为， 为 的中点，则由对称性可知为三角形 的重心， 所以，又因为 ， 所以正三棱锥的高为， 所以题图所示几何体的体积为，故B错； 对于C，由B选项可知面 ，由对称性可知三点共线， 所以面 ，而面， 所以面面 ，故C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系： 其中轴平行 ，因为， 所以， 设平面的法向量为，所以， 不妨取 ，解得，所以取， 又， 而，所以直线 与平面不平行，故D错. 故选：AC. 第二卷非选择题（92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.） 12. 数列满足且，则数列的通项公式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意构造等比数列，进而求出通项公式即可. 【详解】设，则， 又因为，所以，则 ， 所以， 因为，所以， 所以为常数， 所以是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 13. 过点与曲线相切的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义得出切线方程，进而由切点的位置得出，从而得出切线方程. 【详解】设切点坐标为，，. 则切线方程为，因为在切线上， 所以，即 又，所以， 令，，当时，， 所以在上单调递增， 所以方程只有唯一解为. 即切点坐标为，故所求切线方程为，即. 故答案为： 14. 已知、为椭圆的左、右焦点，点 为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率. 【详解】根据题意画出图象如下图所示： 利用椭圆定义可知，且； 又，利用余弦定理可知： ， 化简可得； 所以的面积为； 设的外接圆半径为 ，内切圆半径为； 由正弦定理可得，可得； 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得； 又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即， 所以，即可得，所以； 离心率. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式可计算出内切圆半径，即可实现问题求解. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2. （1）顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率； （2）顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用独立事件的概率乘法公式结合对立事件运算求解； （2）根据题意列举所以可能性情况，利用独立事件的概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果， 甲购买一盒猕猴桃的概率. 【小问2详解】 用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能： 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 √ √ √ √ √ √ ╳ √ √ √ √ √ ╳ √ √ √ ╳ √ ╳ √ √ √ √ ╳ √ 故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率. 16. 已知直三棱柱中，侧面 为正方形，，E，F分别为 和的中点，D为棱上的点． （1）证明： ； （2）当 为何值时，面与面 所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）[方法一]：几何法 因为 ，所以 ． 又因为， ，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示， 过E作 的平行线分别与 交于其中点，连接 ， 因为E，F分别为 和的中点，所以 是BC的中点， 易证 ，则 ． 又因为 ，所以 ． 又因为，所以 平面． 又因为 平面，所以 ． [方法二] 【最优解】：向量法 因为三棱柱是直三棱柱， 底面 ， ，， ，又 ， 平面．所以两两垂直． 以 为坐标原点，分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图． ， ． 由题设 （）． 因为 ， 所以 ，所以 ． [方法三]：因为， ，所以 ，故 ， ，所以 ，所以 ． （2） 【解析】 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； 【详解】（1）略 （2）[方法一]【最优解】：向量法 设平面 的法向量为 ， 因为 ， 所以，即． 令 ，则 因为平面的法向量为 ， 设平面与平面 的二面角的平面角为 ， 则． 当时， 取最小值为， 此时 取最大值为． 所以，此时． [方法二] ：几何法 如图所示，延长 交的延长线于点S，联结 交于点T，则平面 平面 ． 作 ，垂足为H，因为 平面，联结 ，则为平面与平面 所成二面角的平面角． 设 ，过作交 于点G． 由得 ． 又，即，所以． 又，即，所以． 所以． 则， 所以，当时，． [方法三]：投影法 如图，联结 ， 在平面的投影为 ，记面与面 所成的二面角的平面角为 ，则． 设 ，在 中，． 在 中，，过D作 的平行线交 于点Q． 在 中，． 在中，由余弦定理得，， ， ，， 当，即，面与面 所成的二面角的正弦值最小，最小值为． 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维. 第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面 在面上的投影三角形的面积与 面积之比即为面与面 所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维． 17. 已知数列的通项公式为 ，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前 项和为， （1）求的通项公式及； （2）设，为数列的前 项和，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义求等差数列的公差，再用裂项求和法求. （2）利用错位相减法求数列的前 项和. 【小问1详解】 因为在 ，之间插入项，使这个数成公差为的等差数列， 所以， 所以. 【小问2详解】 易知，所以， 两式相减得 ， 所以. 18. 已知函数. (1)当时，求曲线 的单调减区间； (2)若 有两个极值点，且，，若不等式恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】 【分析】(1)时，对f(x)求导，解 得递减区间； (2)分析出由 所得的一元二次方程的两根的关系，再对分离参数，消元，构建新函数，求其最小值即得. 【详解】(1)， 令 得，，由 得. 所以，的单调减区间为. (2)，∵有两个极值点，且， ∴是方程 的两正根，则，， 不等式恒成立，即恒成立， ∴ ， 由，，得，∴， 令，， 令，，h(x)在上递增， 则有即， ∴在上是减函数， ∴，故 【点睛】不等式的恒成立，求参数的取值范围问题，等价转化是解题的关键，借助分离参数，构造函数，求其最值的思想. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右两个顶点分别为A，B，直线与直线的交点为D，且△ABD的面积为. （1）求C的方程； （2）设过C的右焦点F的直线，的斜率分别为，，且，直线交C于M，N两点，交C于G，H两点，线段MN，GH的中点分别为R，S，直线RS与C交于P，Q两点，记△PQA与△PQB的面积分别为，，证明：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）联立方程组，求出 点坐标，然后利用三角形面积列出 的一个方程， 再结合题目所给离心率为 ，解出 即可 （2）先设出直线 的方程，分别与椭圆联立方程组，求出交点坐标，再根据 斜率是否存在分类讨论，求出直线所过定点，最后利用高相等，面积比等于底边之比求出答案即可 【小问1详解】 由题意离心率为，所以① 由，知 由△ABD的面积为，得，得.② 由①②解得.所以C的标准方程为 . 【小问2详解】 由题意知，，， 联立方程消去y得， 设，，则，所以， 代入直线的方程，所以， 同理得 ①当直线PQ的斜率存在时，设直线， 将点R，S的坐标代入，得 易知，为方程的两个根， 则，得， 所以直线，所以直线PQ过定点. ②当直线PQ的斜率不存在时，由对称性可知， 因为不妨设，，所以 即直线，满足过定点. 因为的面积为，的面积为， 所以，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春期高2022级高二期末考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题 58分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若直线过点，，则此直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前 项和，若，则（ ） A. 20 B. 16 C. 14 D. 12 4. 已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 15 6. 衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点M，N是抛物线 ：和动圆C：的两个公共点，点F是 的焦点，当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2，则当变化时，的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知，且，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ） A. B. 只有第4项的二项式系数最大 C. 各项系数之和为1 D. 的系数为560 10. 下列说法中正确的是（ ） 附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A. 已知离散型随机变量，则 B. 一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158 C. 若，则事件 与 相互独立 D. 根据分类变量 与 的观测数据，计算得到，依据 的独立性检验可得：变量 与 独立，这个结论错误的概率不超过0.05 11. 将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为 C. 过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直 D. 直线平面 第二卷非选择题（92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.） 12. 数列满足且，则数列的通项公式是__________． 13. 过点与曲线相切的直线方程为______． 14. 已知、为椭圆的左、右焦点，点 为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2. （1）顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率； （2）顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率 16. 已知直三棱柱中，侧面 为正方形，，E，F分别为 和的中点，D为棱上的点． （1）证明： ； （2）当 为何值时，面与面 所成的二面角的正弦值最小? 17. 已知数列的通项公式为 ，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前 项和为， （1）求的通项公式及； （2）设，为数列的前 项和，求. 18. 已知函数. (1)当时，求曲线 的单调减区间； (2)若 有两个极值点，且，，若不等式恒成立，求实数 的取值范围. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右两个顶点分别为A，B，直线与直线的交点为D，且△ABD的面积为. （1）求C的方程； （2）设过C的右焦点F的直线，的斜率分别为，，且，直线交C于M，N两点，交C于G，H两点，线段MN，GH的中点分别为R，S，直线RS与C交于P，Q两点，记△PQA与△PQB的面积分别为，，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $