精品解析：海南省定安中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

定安中学2023级高一年级第二学期期中考试 数学学科 试卷命题：高一数学备课组 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡 第I卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与不是共线向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模与向量的定义可判断AB的正误，根据共线向量的定义可判断CD的正误. 【详解】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A错误. 对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误. 对于C，若，则必定共线，故，故C成立. 对于D，当时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向， 故与可以为共线向量，故D错误. 故选： 2. 已知复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用复数相等建立方程组，解出即可. 【详解】设， 由，得， ，解得， 故的实部为， 故选：C. 3. 设，，且与的夹角为，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用数量积运算和性质即可得出． 【详解】解：， ． 故选：A． 【点睛】本题考查向量的数量积的运算律，熟练掌握数量积运算和性质是解题的关键，属于基础题． 4. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】依题意，. 故选：B 5. 下列说法正确的是（　　） A. 若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1⊥l3 B. 若a与b异面，b与c异面，则a与c异面 C. 若a，b不同在平面α内，则a与b异面 D. 若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与直线的关系逐项判断即可. 【详解】若l1⊥l2，l2⊥l3，且l1，l2，l3在同一平面内，则l1，l3平行，故A错误； 若a与b异面，b与c异面，则a与c可能异面也可能在同一平面内，故B错误； 若a，b不同在平面α内，则a与b可能异面也可能在同一平面内，故C错误； 若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3，故D正确. 故选：D. 6. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】在直观图中轴，可知原图形中轴，故，求直观图中的长即可求解. 【详解】因为直观图是等腰直角，，，所以，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半，所以的边上的高. 故选：D. 7. 在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示数量积，并求最小值，求得的坐标，即可求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系， 由，，则， 所以，，，设， 则，， 则， 当时，取得最小值，此时，. 故选：B 8. 已知向量，若向量与反向，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. 7 B. C. 17 D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助平面向量共线定理与投影向量定义计算即可得. 【详解】由向量与反向，故且， 即有，由向量在向量上的投影向量为， 可得，即，故， 则. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.两个正确选项只选对一个得3分，三个正确选项只选对一个得2分，选对两个得4分. 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C. 若，则的模为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数的模判断AC；由复数的基本概念和几何意义判断BD． 【详解】对A,由，可得，且，故A错误； 对B,若点的坐标为，则故对应的点的坐标为，在第三象限，故B正确； 对C,若，则的模为，故C错误； 对D,设,若，则， 则点的集合所构成的图形的面积为，故D正确． 故选：BD． 10. 某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东方向，距离为；在A处看灯塔C在货轮的北偏西方向，距离为.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东方向，则下列说法正确的是（　　） A. A处与D处之间的距离是24 B. 灯塔C与D处之间的距离是16 C. 灯塔C在D处的南偏西方向 D. D处在灯塔B的北偏西方向 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意作出图形，然后在中，结合正弦定理得求出，在中，由余弦定理得，然后求出相关角度，进而逐项分析即可. 【详解】 由题意可知，， 所以， 对于A，在中，由正弦定理得， 所以，故A正确； 对于B，在中，由余弦定理得， 即，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以灯塔在处的南偏西方向，故C正确； 对于D，由，在灯塔的北偏西处，故D错误. 故选：AC. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 若，则 C. 若，与垂直的单位向量只能为 D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A：根据模的运算公式代入计算，利用二次函数性质即可判断；对B：利用向量垂直的坐标运算性质即可判断；对C：举反例即可判断；对D：根据向量夹角是钝角，得到且向量与向量不反向共线，即可判断． 【详解】对A：，则当时，取最小值1，故A正确； 对B：若，则，解得，故B正确； 对C：若,，易知也是与垂直的单位向量，故C错误； 对D：若与的夹角为钝角，则， 且向量与向量不反向共线，即，解得且，故D错误； 故选：AB． 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案． 【详解】复数的实部与虚部互为相反数， ，解得． 故答案为： 13. 已知正四棱锥，其底面边长为8，侧棱长为，则正四棱锥的侧面积为_______. 【答案】80 【解析】 【分析】利用正四棱锥的性质，再根据条件，求出斜高，即可求出结果. 【详解】如图所示，正四棱锥的底面边长为8，侧棱长为， 取的中点，因为， 所以， 因为， ， 所以正四棱锥的侧面积为， 故正四棱锥的侧面积为. 故答案为：. 14. 设圆台的高为3，如图，在轴截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，则圆台的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】设上、下底面半径分别为，结合图形题意及几何性质可得，后由圆台体积公式可得答案. 【详解】设上、下底面半径，母线长分别为. 作于点D，则，. 又，则. 又，则. 则，又圆台高， 则圆台体积. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数，其中. （1）若是纯虚数，求的值； （2）所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义可得到解方程即可； （2）根据复数对应的点在复平面的第四象限内可以得到，解不等式即可. 【小问1详解】 是纯虚数，只需，解得. 【小问2详解】 由题意知， 解得， 故当时，所对应的点在复平面的第四象限内. 16. 已知． （1）求与的夹角； （2）求； （3）若，求实数k的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接将展开计算即可； （2）利用展开计算即可； （3）存在实数使，列方程求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，又， 所以与的夹角为； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为， 所以存在实数使，所以， 解得. 17. 设向量，，. （1）若A、B、C三点共线，求实数x的取值； （2）若，的夹角为锐角，求实数x的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求解即得. （2）利用向量夹角的余弦，结合共线向量求解即得. 【小问1详解】 向量，，，则， 由A、B、C三点共线，得，则，解得， 所以实数x的取值为. 【小问2详解】 由，，得， 由，的夹角为锐角，得，且与不共线， 于是，解得且， 所以实数x的取值范围是. 18. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合特殊角的三角函数值求解即可； （2）分类讨论，根据余弦定理求得，然后代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理知：. 因为为三角形内角，则，所以. 因为为三角形内角，则或. 【小问2详解】 若，由余弦定理得，， 则，即， 即，因为，则， 所以的面积； 若，则，即，因为，则， 所以的面积. 19. 已知的内角所对的边分别是，． （1）求角； （2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可得，结合范围，可求的值． （2）法一：由正弦定理可得，由余弦定理，基本不等式可求的范围，进而可求的周长的最大值；法二：利用正弦定理，将周长化为角A的函数求出范围即可. 【小问1详解】 由正弦定理可得，即． 由余弦定理得. 又，所以． 【小问2详解】 方法一：因为△外接圆的周长为，所以△外接圆的直径为． 由正弦定理得，则． 由余弦定理得． 因为，所以，即， 由三角形性质知， 当且仅当时，等号成立． 所以，故△周长的取值范围为． 方法二：因为△外接圆的周长为，所以△外接圆的直径为． 由正弦定理得，则． ∵ ∴ ，∴ 故△周长的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定安中学2023级高一年级第二学期期中考试 数学学科 试卷命题：高一数学备课组 总分：150分 时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡 第I卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与不是共线向量 2. 已知复数满足，则的实部为（ ） A. B. C. D. 3. 设，，且与的夹角为，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 3 4. 如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1⊥l3 B. 若a与b异面，b与c异面，则a与c异面 C. 若a，b不同在平面α内，则a与b异面 D. 若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3 6. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点，且，则的边上的高为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2 7. 在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，若向量与反向，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. 7 B. C. 17 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.两个正确选项只选对一个得3分，三个正确选项只选对一个得2分，选对两个得4分. 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 C. 若，则的模为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东方向，距离为；在A处看灯塔C在货轮的北偏西方向，距离为.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在货轮的南偏东方向，则下列说法正确的是（　　） A. A处与D处之间的距离是24 B. 灯塔C与D处之间的距离是16 C. 灯塔C在D处的南偏西方向 D. D处在灯塔B的北偏西方向 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 若，则 C. 若，与垂直的单位向量只能为 D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数________． 13. 已知正四棱锥，其底面边长为8，侧棱长为，则正四棱锥的侧面积为_______. 14. 设圆台的高为3，如图，在轴截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，则圆台的体积为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设复数，其中. （1）若是纯虚数，求的值； （2）所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围. 16. 已知． （1）求与的夹角； （2）求； （3）若，求实数k的值． 17. 设向量，，. （1）若A、B、C三点共线，求实数x的取值； （2）若，的夹角为锐角，求实数x的取值范围. 18. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 19. 已知的内角所对的边分别是，． （1）求角； （2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $