精品解析：福建省莆田市锦江中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

莆田锦江中学2023-2024学年下学期期中试卷 高一数学试题 一、单选题（5*8=40分） 1. 已知，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法求出，由共轭复数的定义和复数模的公式计算. 【详解】，则， 所以，. 故选：B 2. 如图，平行四边形中，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加减运算直接求解. 【详解】 ． 故选:B． 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理即可得解. 【详解】因为，即，所以， 由余弦定理可得， 又，所以. 故选：B． 4. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示列式计算即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以，解得. 故选：B. 5. 如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图与原图的关系分析求解即可； 【详解】由图可知，所以四边形的面积为； 根据轴不变，轴减半的原则，的坐标为： 四边形周长为 所以四边形周长与面积的数值之比为, 故选：A. 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台侧面积公式计算得解. 【详解】圆台的上底面圆半径，下底面圆半径， 设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为，依题意有：，解 得, 所以圆台的侧面积. 故选：B 7. 如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中不正确的是（ ） A. ，， ， 四点共面 B. C. D. 四边形 为梯形 【答案】D 【解析】 【分析】利用中位线定理和等角定理即可解决. 【详解】由图可知，在中，,,分别是 ,的中点， 所以 且， 同理在中， 且， 所以所以四边形为平行四边形， 所以，， ， 四点共面，所以A正确; 在中,由中位线定理得 同理在中，由中位线定理得, 所以由等角定理知，，所以B正确; 在中，由中位线定理得 所以, 所以由等角定理可知， ，,, 所以，所以C正确; 由上述分析得四边形为平行四边形，所以D错误; 故选:D. 8. 八卦是中国古代哲学和文化中的一个重要概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中，给出下列结论：①与的夹角为；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正八边形的性质，结合向量的线性运算及数量积的定义逐一分析运算即可. 【详解】对①：为正八边形，则与的夹角为，①错误； 对②：，平分，则，②错误； 对③：因为，则，③正确； 对④：因为，即与的夹角为， 所以，④正确. 故选：B. 二、多选题（6*3=18分） 9. 下列有关向量命题，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若， 则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相等向量的定义判断A、C，根据共线向量的定义判断D，根据数量积的定义及数量积的几何意义判断B. 【详解】对于A：若，由于无法确定、的方向，故无法得到与是否相等，故A错误； 对于B：若，则， 当时，即与在方向上的投影相等，故B错误； 对于C：若，，则，故C正确； 对于D：当、、且与不共线时， 满足，，但是与不共线，故D错误. 故选：ABD 10. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A. 若，，，则符合条件的有二个 B. 若，，则角的大小为 C. 若，则是锐角三角形 D. 若为斜三角形，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用余弦定理可构造方程求得，知A正确；利用正弦定理边化角可求得，知B错误；利用正弦定理角化边可知为锐角，但无法判断三角形形状，知C错误；结合两角和差正切公式可化简知D正确. 【详解】对于A，由余弦定理得：， 解得：，符合条件的有二个，A正确； 对于B，，又，，B错误； 对于C，由正弦定理得：，， 为锐角，但无法判断的大小，C错误； 对于D，在斜中， ，， 整理可得：，D正确. 故选：AD. 11. 已知三棱柱，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，记三棱柱的体积为V，则（ ） A. 棱锥的体积为 B. 棱锥的体积为 C. 多面体的体积为 D. 多面体的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据棱锥、棱柱和棱台的体积公式整体减部分法一一分析即可. 【详解】对A，设三棱柱底面积为，高为，则三棱柱的体积为， 因为D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则， 则棱锥的体积为，故A错误； 对B，因为，，，所以， 则四边形为平行四边形，所以， 则，故B正确； 对C，因为，且棱柱上下底面平行，并且E，F分别是棱BC，CA的中点， 则线段延长交于一点， 则多面体为棱台，且， 则， 所以，故C正确； 对D，因为，所以， 则，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（5*3=15分） 12. 若复数（是虚数单位），则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义，结合复数乘法、减法求解即得. 【详解】复数，则， 所以. 故答案为： 13. 已知向量，且，那么______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示建立方程，解出后得到，继而利用向量模的坐标表示进行计算即可. 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 故， 则， 所以， 故答案为：5. 14. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理，得，再结合三角函数的定义，求得，，得解． 【详解】由题意知，，， 所以， 在中，， 且 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中，米， 所以小明估算索菲亚教堂的高度为米． 故答案为：． 四、解答题（14+14+15+17+17=77分） 15. 已知复数（为虚数单位），求适合下列条件的实数的值； （1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数． （4）若z在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】（1）或； （2）且； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据虚部为0得到方程，求解即可； （2）根据虚部不为0得到方程，解出即可； （3）根据实部为0，虚部不为0得到方程，求解即可； （4）根据复数与对应点关系得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 当为实数时，，解得或； 【小问2详解】 当为虚数时，，解得且； 【小问3详解】 当为纯虚数时，，解得. 【小问4详解】 由题意得，解得. 16. 已知，. （1）若，，且、、三点共线，求的值. （2）当实数为何值时，与垂直? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出、的坐标，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值； （2）依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得． 【小问1详解】 因为，， 所以，， 因为、、三点共线， 所以， 所以，解得. 【小问2详解】 因为， ， 又与垂直， ，解得． 17. 已知直三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 连接交与O，则为的中点， 连接，则, 因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明； （2）利用锥体体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，平面， 所以. 18. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理边化角，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 所以根据正弦定理得， 因为， 所以， 即， 即． 因为，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 ． 因为，所以①． 因为， 所以②． 联立①②可得，解得（负根舍去）， 故的面积为． 19. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. （1）求证：； （2）设，，，，求的值； （3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围. 【答案】（1）见详解 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明； （2）根据题意，用和表示， 结合，，三点共线，即可求解； （3）根据题意，结合（1）（2）用和分别表示出和，进而可以表示出，再结合均值不等式与二次函数的最值，即可求解. 【小问1详解】 证明：因，所以，又因为的中点，所以，所以. 【小问2详解】 因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三点共线，所以，即. 【小问3详解】 设，，，，由（1）（2）可知，，即. 因，， 所以 ， 又因是边长为的等边三角形， 所以， 令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以. 因此， 又因，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田锦江中学2023-2024学年下学期期中试卷 高一数学试题 一、单选题（5*8=40分） 1. 已知，则（ ） A. B. 2 C. 1 D. 2. 如图，平行四边形中，，设，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图，正方形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，若，则四边形周长与面积的数值之比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中不正确的是（ ） A. ，， ， 四点共面 B. C. D. 四边形 为梯形 8. 八卦是中国古代哲学和文化中的一个重要概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中，给出下列结论：①与的夹角为；②；③；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（6*3=18分） 9. 下列有关向量命题，不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若， 则 10. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A. 若，，，则符合条件的有二个 B. 若，，则角的大小为 C. 若，则是锐角三角形 D. 若为斜三角形，则 11. 已知三棱柱，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，记三棱柱的体积为V，则（ ） A. 棱锥的体积为 B. 棱锥的体积为 C. 多面体的体积为 D. 多面体的体积为 三、填空题（5*3=15分） 12. 若复数（是虚数单位），则____________. 13. 已知向量，且，那么______． 14. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为__________米． 四、解答题（14+14+15+17+17=77分） 15. 已知复数（为虚数单位），求适合下列条件的实数的值； （1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数． （4）若z在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 16. 已知，. （1）若，，且、、三点共线，求的值. （2）当实数为何值时，与垂直? 17. 已知直三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 19. 如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点. （1）求证：； （2）设，，，，求的值； （3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $