精品解析：广东省东莞市第四高级中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

2023-2024学年第二学期期中教学质量检测 高二数学 考试时间：2024年4月18日（上午8:20-10:20 ） 满分：150分 提醒：请将答案填写在答题卡相应的题号位置，用黑色字迹的签字笔做答，不要用铅笔做答. 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项） 1. 若一个物体的运动方程为，其中S的单位是m，t的单位是s，则该物体在3 s末的瞬时速度是（ ） A. 4 m/s B. 5 m/s C. 6 m/s D. 8 m/s 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 5. 回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；则用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A. 15 B. 30 C. 36 D. 72 6. 若函数在内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 若，，，则a，b，c与1的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题至少有两个正确选项，全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分） 9. 各地房产部门为尽快稳定房价，提出多种房产供应方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有（ ） A. B. C. D. 10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ） A. 在第10行中第5个数最大 B. C. 第8行中第4个数与第5个数之比为 D. 在杨辉三角中，第行的所有数字之和为 11. 已知函数，则（   ） A. 曲线在点处的切线方程是 B. 函数的极大值点 C. D. 函数有两个零点 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，将正确答案填写在答题卡指定位置上） 12. 已知函数，其导数为，若，则a =______. 13. 甲、乙等7名同学随机站成一排，则甲、乙相邻且甲不站两端的不同排列方式有______种． 14. 某学校有，两家餐厅，某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去餐厅的概率为__________． 四、解答题（共5小题，13+15+15+17+17，共77分，要求有解析过程） 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最值． 16. 已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求n的值，并求该展开式中二项式系数最大的项；（注意：组合数不需计算） （2）求含的项的系数． 17. 已知. （1）求的单调区间，并求其极值； （2）画出函数的大致图象； （3）讨论函数的零点的个数. 18. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． （1）求第2次摸到红球的概率； （2）设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； （3）对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 19. 已知函数，且 （1）求的解析式； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）证明函数的图象在图象的下方. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期期中教学质量检测 高二数学 考试时间：2024年4月18日（上午8:20-10:20 ） 满分：150分 提醒：请将答案填写在答题卡相应的题号位置，用黑色字迹的签字笔做答，不要用铅笔做答. 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题仅有一个正确选项） 1. 若一个物体的运动方程为，其中S的单位是m，t的单位是s，则该物体在3 s末的瞬时速度是（ ） A. 4 m/s B. 5 m/s C. 6 m/s D. 8 m/s 【答案】B 【解析】 【分析】图像中，函数图像上某点的切线的斜率即函数在该点处的导数的物理意义表示运动物体在该时刻的瞬时速度，故可利用导数的定义式求解. 【详解】解析：，则，即物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s． 故选：B 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率的计算公式求解即可. 【详解】由题意，知. 故选：C. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法，分别令可得. 【详解】令，则，； 令，则； . 故选：C. 4. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在单调递减，则在上恒成立，即可解出a的取值范围. 【详解】在上恒成立，即在上恒成立，又函数在上为增函数， 所以，故. 故选：D. 5. 回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；则用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A. 15 B. 30 C. 36 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】分两类，第1类，用一个数字组成四位数的回文数，第2类，用两个数字组成四位数的回文数，求出相加可得答案. 【详解】分两类， 第1类，用一个数字组成四位数的回文数，有6个； 第2类，用两个数字组成四位数的回文数， 只需从这6个数字中任取2个数字，排在前两位（后两位由前两位顺序确定）， 有个， 故全部4位回文数共有6+30=36个. 故选：C. 6. 若函数在内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数与单调性的关系得函数存在单调递减区间即为有解，再将有解问题转化成最值问题处理即可求解. 【详解】由题在内有解， 即在内有解，故， 因为当时，， 所以，故. 故选：D. 7. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出平行于的直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论． 【详解】设，函数的定义域为，求导得， 当曲线在点处的切线平行于直线时，， 则，而，解得，于是， 平行于的直线与曲线相切的切点坐标为， 所以点到直线的最小距离即点到直线的距离． 故选：D 8. 若，，，则a，b，c与1的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件构造函数，并求其导数，判断该函数的单调性，据此作出该函数的大致图象，由图象可判断a，b，c与1的大小关系. 【详解】令，则 当时，，当时， 即函数在上单调递减，在上单调递增, 而 ，由可知 ， 故作出函数大致图象如图： 由图象易知，， 故选：C.． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题至少有两个正确选项，全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分） 9. 各地房产部门为尽快稳定房价，提出多种房产供应方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处的导数的几何意义可得结果. 【详解】当单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大， 故曲线是上升的，且越来越陡峭， 所以函数的图象应一直是下凹的，则选项B满足条件， 所以在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有ACD选项． 故选：ACD． 10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ） A. 在第10行中第5个数最大 B. C. 第8行中第4个数与第5个数之比为 D. 在杨辉三角中，第行的所有数字之和为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项式定理，结合组合数运算性质逐一判断，即可求解． 【详解】对于A：第行是二项式的展开式的系数， 所以第行中第个数最大，故A错误； 对于B： ，故B正确； 对于C：第行是二项式的展开式的系数，又展开式的通项为， 所以第个数为，第个数为，所以第个数与第个数之比为，故C正确； 对于D：第行是二项式的展开式的系数，故第行的所有数字之和为，故D错误； 故选：BC 11. 已知函数，则（   ） A. 曲线在点处的切线方程是 B. 函数的极大值点 C. D. 函数有两个零点 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，求出即可验算；对于B，设，通过导数发现的单调性，进一步结合零点存在定理即可判断；对于C，由B选项结论即可判断；对于D，由零点的定义即可判断. 【详解】对于A，，所以， 所以在点处的切线方程是，即，故A正确； 对于B，设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 令，则，所以， 而， 由零点存在定理可知的零点， 即函数极大值点，故B正确； 对于C，由以上分析可知在单调递减，且， 所以，故C正确； 对于D，， 所以只有唯一的一个零点即.故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，将正确答案填写在答题卡指定位置上） 12. 已知函数，其导数为，若，则a =______. 【答案】2 【解析】 【分析】求导后令即可求得答案. 【详解】由题意得，所以，∴. 故答案为：2. 13. 甲、乙等7名同学随机站成一排，则甲、乙相邻且甲不站两端的不同排列方式有______种． 【答案】1200 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题并结合排除法列式计算即可. 【详解】把甲乙捆绑在一起视为一个对象，与其他5名同学作全排列，并考虑甲乙间的排列，有种， 其中甲站两端之一的有种， 所以甲、乙相邻且甲不站两端的不同排列方式有（种）. 故答案为：1200 14. 某学校有，两家餐厅，某同学第1天等可能地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4，则该同学第2天去餐厅的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得. 【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”， “第2天去餐厅用餐”，“第2天去餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式， 得， 因此该同学第天去餐厅用餐的概率为. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，13+15+15+17+17，共77分，要求有解析过程） 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是 （2）最大值，最小值 【解析】 【分析】（1）对函数求导，通过导函数的正负判断的单调区间； （2）根据（1）中的单调性可得的极值，与区间端点值比较可得最值. 【小问1详解】 定义域为，， 令，得， 列表如下： 2 0 ↗ ↘ 由上表知，在上，单调递增； 在上，单调递减； ∴的单调递增区间是，单调递减区间是； 【小问2详解】 ，， ∵，∴， 由（1）知，在上递增，在上递减， ∴当时，取最大值； ∴当时，取最小值. 16. 已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求n的值，并求该展开式中二项式系数最大的项；（注意：组合数不需计算） （2）求含的项的系数． 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】（1）写出二项式展开式的通项，根据第6项为常数项求出，即可得出二项式系数最大的项； （2）由二项式展开式的通项，代值求解即可． 【小问1详解】 由已知得，第6项为， 因为第6项为常数项，所以，解得， 所以该展开式中二项式系数最大的项为第8项和第9项， ． 【小问2详解】 由（1）可得，通项， 令得，， 所以含的项的系数为． 17. 已知. （1）求的单调区间，并求其极值； （2）画出函数的大致图象； （3）讨论函数的零点的个数. 【答案】（1）单调递增区间为,单调递减区间为，；极小值为，无极大值 （2）作图见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出，由的正负判断出的单调性可得极值； （2）根据的单调性极值可得答案； （3）转化为函数的零点的个数即为函数的图象与直线的交点个数，结合图象可得答案. 【小问1详解】 定义域为，， 令得，， 列表如下； 0 ↘ ↘ ↗ 由上表知，单调递增区间为， 单调递减区间为，； 当时，取极小值为，无极大值； 【小问2详解】 令得，；令得，， 当时，，，故； 当时，，，故； 据此信息及（1）可得的图象，如图所示； 【小问3详解】 令得， 则函数的零点的个数即为函数的图象与直线的交点个数， 结合图象及（2）可知，当或，即或时， 函数有1个零点； 当，即时，函数有2个零点 当，即时，函数有0个零点. 18. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． （1）求第2次摸到红球的概率； （2）设第1，2，3次都摸到红球的概率为，第1次摸到红球的概率为，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为，在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为，求，，，； （3）对于事件，试根据（2）写出，，，的等量关系式，并加以证明． 【答案】（1） （2） ，，， （3） 由（2）可得，即， 可猜想：. 证明如下：由条件概率及，， 得，， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求解即可； （2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解； （3）根据（2）猜想，由条件概率公式证明即可. 【小问1详解】 记事件“第次摸到红球”为，则第2次摸到红球的事件为， ，，，， 由全概率公式，得． 【小问2详解】 由已知得，， ，， ． 【小问3详解】 略 19. 已知函数，且 （1）求的解析式； （2）若存在，使得成立，求的取值范围； （3）证明函数的图象在图象的下方. 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【解析】 【详解】分析：（1）直接根据求出a的值即得的解析式.(2)分离参数得到恒成立,再利用导数求的最大值得解.(3)转化为恒成立，即，再转化为转化为最小值大于零. 详解：（1）易知，所以，又 ∴. ∴. （2）若对任意的，都有， 即恒成立，即：恒成立. 令，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减； ∴时，有最大值， ∴，即的取值范围为. （3）要证明函数的图象在图象的下方， 即证：恒成立， 即：. 由（2）可得：，所以， 要证明，只要证明，即证： 令中，则， 当时，，所以单调递增， ∴ 即， 所以，从而得到， 所以函数的图象在图象的下方. 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性、最值等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合的分析能力转化能力.(2)本题转化关键有二，其一是转化为恒成立，即，其二是转化为转化最小值大于零.转化是高中数学很普遍的数学思想，要理解掌握灵活运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $