精品解析：广东省深圳市富源学校2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

2023秋季学期富源学校高二年级期中考试 数 学 2024.4 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 和 3. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（ ） A. 9种 B. 12种 C. 24种 D. 72种 4. 五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同选法有（ ） A 60 B. 48 C. 54 D. 64 5. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 6. 从6位女学生和5位男学生中选出3位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这3位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有． A 810种 B. 840种 C. 1620种 D. 1680种 7. 函数在处取极小值，则（ ） A 6或2 B. 或 C. 6 D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 有名男生、名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数正确的是（ ） A. 排成前后两排，前排人，后排人，共有种方法 B. 全体排成一排，男生互不相邻，共有种方法 C. 全体排成一排，女生必须站在一起，共有种方法 D. 全体排成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边，共有种方法 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 直线是曲线的切线 D. 若在区间上的最大值为3，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某书架的第一层放有本不同的数学书，第二层放有本不同的英语书.从这些书中任取本数学书和本英语书，共有__________种不同的取法. 13. 曲线在点处的切线的倾斜角是_________. 14. 已知，分别是函数和的零点，且，，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：； 17. 若. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 富源学校高二年级有6名同学（简记为A，，，，，）到甲、乙、丙三个体育场馆做志愿者. （1）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？ （2）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且A、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？ 19. 记，为的导函数.若对，，则称函数为D上的“凸函数”.已知函数，. （1）若函数为上的凸函数，求a的取值范围； （2）若函数在上有极值，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023秋季学期富源学校高二年级期中考试 数 学 2024.4 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，再令即可得解. 【详解】， 所以 故选：A. 2. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】求导，根据导函数的符号求解. 【详解】 ，依题意， 或 ； 故选：D. 3. 某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（ ） A. 9种 B. 12种 C. 24种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可得解. 【详解】任选1部电影可分四类：第一类选的是科幻片，第二类选的是警匪片， 第三类选的是战争片，第四类选的是喜剧片， 由分类加法计数原理可得不同的选法共有（种）． 故选：B． 4. 五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ） A. 60 B. 48 C. 54 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，需分成两步完成，第一步安排甲，第二步安排乙和丙，运用分步乘法计数原理计算即得. 【详解】因甲不选景点，应该分步完成：第一步，先考虑甲在三个景点中任选一个，有3种选法； 第二步，再考虑乙和丙，从中分别任选一个景点，有中选法. 由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种. 故选：B. 5. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出展开式通项，然后令的指数部分为，由此求解出的值，则项的系数可求. 【详解】由二项展开式知其通项为， 令，解得. 所以的系数为. 故选：B. 6. 从6位女学生和5位男学生中选出3位学生，分别担任数学、信息技术、通用技术科代表，要求这3位科代表中男、女学生都要有，则不同的选法共有． A. 810种 B. 840种 C. 1620种 D. 1680种 【答案】A 【解析】 【分析】 先由排列数分别求出不考虑性别，与全部是男生和全部是女生的选法总数，然后用总数减掉全部是男生和全部是女生的即为男女生都有的选法. 【详解】解：不考虑男女生共有种 全部是男生的有种 全部是女生的有种 所以男、女学生都有的共有种 故选A. 【点睛】本题考查了排列数，对于需要分类讨论的问题可考虑用间接法解题. 7. 函数在处取极小值，则（ ） A. 6或2 B. 或 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导数，根据求得，再代入验证是否满足题意. 【详解】或 当时，， 当时，当时，函数在处取极大值，不符题意，舍去； 当时，， 当时，当时，函数在处取极小值， 故选：D 【点睛】本题考查函数极值，考查基本分析求解能力，属基础题. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数与，利用导数证得与，从而得解. 【详解】，， 设，则， 在上单调递减，， 即，； 令，则是增函数， 所以，即，则， 综上所述：. 故选：A. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数求导正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数逐项分析判断. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D． 10. 有名男生、名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数正确的是（ ） A. 排成前后两排，前排人，后排人，共有种方法 B. 全体排成一排，男生互不相邻，共有种方法 C. 全体排成一排，女生必须站在一起，共有种方法 D. 全体排成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边，共有种方法 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用排列的知识对每个答案一一分析即可. 【详解】对于：先选出前排3人，有种排法，剩余4人随机排序有种排法，故有种方法，正确. 对于：利用插空法，4名女生随机排序有种排法，旁边有5个空位，把男生排进去有种排法，故有种方法，错误. 对于：把4名女生放在一起有种排法种排法，再和3名男生排序有种排法，故有中方法，正确. 对于：从其他6人抽出两人排在两侧有种排法，再把剩余5人随机排序有种排法，故有种方法，正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 直线是曲线的切线 D. 若在区间上最大值为3，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数求函数的单调性、极值、最值，及导数的几何意义计算即可. 【详解】由题意可知， 易知时，时， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以在上取得极大值，在上取得极小值，即A正确； 又， 所以在区间上分别各有一个零点，即B正确； 联立与得， 若直线是曲线的切线，则切点为，而，所以C错误； 若在区间上的最大值为3，由上可知，所以， 故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某书架的第一层放有本不同的数学书，第二层放有本不同的英语书.从这些书中任取本数学书和本英语书，共有__________种不同的取法. 【答案】 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】从第一层中任取本数学书，有种取法；从第二层中任取本英语书，有种取法，由分步乘法计数原理，共有种不同的取法 故答案为： 13. 曲线在点处的切线的倾斜角是_________. 【答案】 【解析】 【详解】分析：求导y′=2x，代入即可得到切线的斜率，进而得到切线的倾斜角. 详解：的导数为y′=2x，则曲线在点处的切线的斜率为1 ∴切线的倾斜角为45° 故答案为：． 点睛：本题主要考查函数的切线斜率与导数之间的关系，直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题 14. 已知，分别是函数和的零点，且，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】求，判断函数在上的单调性，根据函数零点及单调性可得，化简可得的值. 【详解】由题意可得，， 又，当时，，所以在上单调递减， 因为，，且， 又，所以，所以． 故答案为：1. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为， （2）最小值为，最大值为40 【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后通过导数的正负可求出函数的单调区间， （2）由（1）可得在上递减，在上递增，然后求出，进行比较可求出函数的最值 【小问1详解】 的定义域为，， 令，解得， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 故的单调递减区间为，单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）得，当在区间上变化时，的变化情况如下表所示. 4 5 0 ＋ 40 单调递减 单调递增 所以函数在区间上的最小值为，最大值为40. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）根据导函数得到的单调性，即可得到. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 故曲线在点处切线方程为，即. 【小问2详解】 依题意知，函数的定义域为，， 令，则，解得； 令，则，解得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，取得最大值，，所以. 17. 若. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令代入等式求出结果； （2）令代入等式，再结合第一问等式组成方程组求出结果； （3）先变形，再求含项的系数即可. 【小问1详解】 令，则，① 【小问2详解】 令，则，② 令，则， ， ； 【小问3详解】 ， 即为含项的系数，为， 则. 18. 富源学校高二年级有6名同学（简记为A，，，，，）到甲、乙、丙三个体育场馆做志愿者. （1）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？ （2）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且A、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？ 【答案】（1）126 （2）114 【解析】 【分析】（1）因为6个相同的口罩，利用隔板法结合组合数分析求解； （2）分人数配比为1，1，3和1，2，2两种情况，结合排列数、组合数运算求解. 【小问1详解】 16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙， 插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可， 所以不同的发放方法种. 【小问2详解】 把A，视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆， 分组方法有两类：第一类1，1，3，去掉，在一组的情况，有种分组方法， 再分配给三个场馆，有种方法， 第二类1，2，2，去掉，在一组的情况，有种分组方法， 再分配给三个场馆，有种方法， 所以不同的安排方法有种方法 19. 记，为的导函数.若对，，则称函数为D上的“凸函数”.已知函数，. （1）若函数为上的凸函数，求a的取值范围； （2）若函数在上有极值，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数导数以及，由题意可得，令，利用导数判断其单调性，即可求得答案； （2）函数在上有极值，即在上有变号零点， 转化为在上有解，构造函数，利用导数判断其单调性，求出函数的值域，即可求得答案. 【小问1详解】 由，得，， 由于函数为上的凸函数，故， 即，令，则， 当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故， 故a取值范围为； 【小问2详解】 由，得， 函数在上有极值，即在上有变号零点， 即在上有解， 令， 令，则， 即在上单调递增， 且当x无限趋近于1时，无限接近于-1，， 故存在，使得， 且时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，由于， 故，， 而在时单调递减，故， 故，即a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$