精品解析：2024年江苏省南京鼓楼区实验中学九年级中考数学模拟(三)

鼓实2024中考模拟（三） 班级______学号______姓名______评价______ 一．选择题（共6小题，12分） 1. 2平方根是（　　） A. 4 B. C. D. 2. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　） A. B. C. D. 3. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是(   ) A. 3,4,4 B. 3,4,5 C. 3,4,6 D. 3,4,7 5. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体H到焦点F的距离与焦点F到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共10小题，32分） 7. 因式分解结果是______． 8. 如图所示，若，则．依据是______． 9. 近日，嫦娥6号在月背挖了个“中”字，取出了约2000克“月壤”，用科学记数法表示2000为______． 10. 如图，点、、、为上的点，若四边形是菱形，则的度数为______． 11. 圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是_____cm2． 12. 数学兴趣小组想测量一棵树高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为 　　　米． 13. 我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），就是一个三阶“幻方”（图2所示）．观察图1、图2，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（图3所示）中，根据寻找出的关系，可推算出的值为______． 14. 如图，的直径是、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，则与的函数解析式为______． 15. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．时，两架无人机的高度差为________m． 16. 如图，在矩形纸片中，，，点O是对称中心，点P、Q分别在边上，且经过点O．将该纸片沿折叠，使点A、B分别落在点、的位置，则面积的最大值为 _____． 三．解答题（共11小题，共88分） 17. 计算： 18. （1）解方程： ； （2）解不等式： 19. 2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？ 20. 如图，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接． （1）求证：； （2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 21. 如图，经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同． （1）若有一辆小汽车经过这个十字路口，则这辆车直行的概率是_____； （2）若有两辆小汽车经过这个十字路口，求这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率． 22. 盐城市大丰国家级麋鹿自然保护区在过去的37年间，将濒临灭绝的39头世界珍稀野生动物麋鹿发展到如今的7033头． 某校生物兴趣小组去实地调查，绘制出如下统计图． （注：麋鹿总头数=人工驯养头数+野生头数） 解答下列问题： （1）①在扇形统计图中，哺乳类所在扇形圆心角度数为_________°； ②在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数的中位数为_________头． （2）填表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 人工驯养麋鹿头数 3473 3531 3666 3861 _________ 3917 （3）结合以上的统计和计算，谈谈你对该保护区的建议或想法． 23. 太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 24. 如图：已知直线，及同侧两点．用直尺与圆规作图． （1）在图（1）中作出点，使（保留作图痕迹）； （2）在图（2）中作出点，使（保留作图痕迹，简要说明画法） 25. 如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB=2，求BD的长． 26. 许多数学问题源于生活．雨伞是生活中常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； （3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值． 27. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． （1）如图 1， ABC 的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线” 的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点 D ，请你在图 1 中找出满足条件的点D ，保留画图 痕迹（找出 2 个即可） （2）①如图 2，在四边形 ABCD 中，DAB 90 , DCB 135 ，对角线 AC 平分 DAB ．请问 AC是四边形 ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由； ②若AC＝，求 AD AB 的值． （3）如图 3，在（2）条件下，若∠D=∠ACB=90°时，将△ADC 以 A 为位似中心，位似比为缩小 得到△AEF，连接 CE、BF，在△AEF 绕点 A 旋转的过程中，当 CE 所在的直线垂直于 AF 时，请你直接写出 BF的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鼓实2024中考模拟（三） 班级______学号______姓名______评价______ 一．选择题（共6小题，12分） 1. 2的平方根是（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解即可. 【详解】∵（±）2=2， ∴2的平方根是±． 故选：D. 2. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键. 3. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图． 根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形， 故选：B． 4. 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是(   ) A. 3,4,4 B. 3,4,5 C. 3,4,6 D. 3,4,7 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边组成钝角三角形的条件进行判断可得答案. 【详解】解：在能够组成三角形的条件下, 如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形; 满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形; 满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形. A项,因为3+4>4,所以这三条线段组成锐角三角形.故A项不符合题意. B项,因为3+4=5,所以这三条线段组成直角三角形. 故B项不符合题意. C项,因为3+4<6,所以这三条线段组成钝角三角形.故C项符合题意. D项,因为3+4=7,所以这三条线段不满足组成三角形的条件.故D项不符合题意. 故本题正确答案为C. 【点睛】本题主要考查三角形的基本概念和直角三角形,其中在能够组成三角形的条件下, 如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形; 满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形; 满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形. 5. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体H到焦点F的距离与焦点F到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键．先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【详解】解：∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即, ∴物体被缩小到原来的． 故选：C． 6. 若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法得到的两个根，，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为， ∴，， ∴关于y的方程的两根为， ∴． 故选C． 二．填空题（共10小题，32分） 7. 因式分解结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 8. 如图所示，若，则．依据是______． 【答案】平行线分线段成比例定理 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解．掌握平行线分线段成比例定理是关键． 【详解】∵ ∴． ∴依据平行线分线段成比例定理． 故答案为：平行线分线段成比例定理． 9. 近日，嫦娥6号在月背挖了个“中”字，取出了约2000克“月壤”，用科学记数法表示2000为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】用科学记数法表示2000为． 故答案为：． 10. 如图，点、、、为上的点，若四边形是菱形，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，根据圆周角定理可得，再由圆内接四边形对角互补可得，进而可得答案． 【详解】解∶∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， 故答案为∶． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，以及菱形的性质和圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 11. 圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，那么这个圆锥的侧面积是_____cm2． 【答案】60π 【解析】 【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】解：如图， 底面半径为6cm，高为8cm，则底面周长=12π， 由勾股定理得，母线长=10， 那么侧面面积=×12π×10=60π(cm2)． 故答案为：60π． 【点睛】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解． 12. 数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为米，落在地面上的影长为米，则树高为 　　　米． 【答案】4.2 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高． 【详解】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米． 则有， 解得x=3． ∴树高是3+1.2=4.2（米）， 故答案为4.2． 【点睛】本题实际是一个直角梯形的问题，可以通过作垂线分解成直角三角形与矩形的问题． 13. 我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），就是一个三阶“幻方”（图2所示）．观察图1、图2，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（图3所示）中，根据寻找出的关系，可推算出的值为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由图2中的数据，可得出“幻方”中各行、各列以及各对角线上三个数字之和相等，结合图3中的数据，先根据最左边竖列和左下到右上的对角线和相等列出方程，得出的值，再根据最右边竖列和中间一行和相等列出方程，得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】， “幻方”中各行、各列以及各对角线上三个数字之和相等． ∵最左边竖列和左下到右上的对角线和相等， ∴， 解得， ∵最右边竖列和中间一行和相等， ∴， 解得：， ． 故答案为：36． 14. 如图，的直径是、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，则与的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【详解】解：作交于F， ∵、与切于点定A、B， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵切于E， ∴，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 整理得：， ∴y与x的函数关系式是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 15. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．时，两架无人机的高度差为________m． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 利用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机所在的位置距离地面高度y与无人机上升的时间x之间的函数关系式，当时，分别求出两者的函数值，求出它们的差即可． 【详解】设甲无人机所在的位置距离地面的高度与无人机上升的时间x之间的为， 当时，， ，解得， ； 设乙无人机所在的位置距离地面的高度与无人机上升的时间x之间的为， 当时，；当时，， ， 解得：， ； 当时，，， ， 时，两架无人机的高度差为， 故答案为：20 16. 如图，在矩形纸片中，，，点O是对称中心，点P、Q分别在边上，且经过点O．将该纸片沿折叠，使点A、B分别落在点、的位置，则面积的最大值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中心对称，三角形的面积，矩形的性质，翻折变换等知识，如图，连接，交于点，连接，过点作于点．求出的值，可得结论，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图，连接，交于点，过点作于点． 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 当，，共线时，的面积最大，最大值为． 故答案为：． 三．解答题（共11小题，共88分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数值和实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算法则． 先计算负整数指数幂，绝对值，二实数乘法，特殊三角函数值，再合并即可； 【详解】解：原式 ． 18. （1）解方程： ； （2）解不等式： 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）可利用配方法解一元二次方程； （2）先求出每一个不等式的解集，再取它们的解集的公共部分即可得不等式组的解集． 本题主要考查了解一元二次方程和解不等式组，熟练掌握解一元二次方程的方法以及解不等式组的方法是解题的关键． 【详解】（1） ， ， ， ， ，， （2） 由①得：， 由②得：， ∴原不等式的解集为：． 19. 2024年春节联欢晚会的吉祥物“龙辰辰”具有龙年吉祥，幸福安康的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“龙辰辰”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“龙辰辰”玩具时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是多少钱？ 【答案】40元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元，根据该商场第二次同样用2400元购进的数量比第一次少10件，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元钱，则第二次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：第一次购进的“龙辰辰”玩具每件的进价是40元． 20. 如图，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接． （1）求证：； （2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由得，继而结合、即可判定全等； （2）根据，且是边上的中线可得，结合四边形是平行四边形可得答案． 【小问1详解】 解：是的中点， ， ， ，， ； 【小问2详解】 四边形是菱形． ，， 四边形是平行四边形， ，是边上的中线， ， 四边形是菱形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边中线的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键． 21. 如图，经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同． （1）若有一辆小汽车经过这个十字路口，则这辆车直行的概率是_____； （2）若有两辆小汽车经过这个十字路口，求这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中这辆车直行的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及这两辆车一辆向左转，一辆向右转的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中这辆车直行的结果有1种， 这辆车直行的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 直行 向左转 向右转 直行 （直行，直行） （直行，向左转） （直行，向右转） 向左转 （向左转，直行） （向左转，向左转） （向左转，向右转） 向右转 （向右转，直行） （向右转，向左转） （向右转，向右转） 共有9种等可能的结果，其中这两辆车一辆向左转，一辆向右转的结果有：（向左转，向右转），（向右转，向左转），共2种， 这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率为． 22. 盐城市大丰国家级麋鹿自然保护区在过去的37年间，将濒临灭绝的39头世界珍稀野生动物麋鹿发展到如今的7033头． 某校生物兴趣小组去实地调查，绘制出如下统计图． （注：麋鹿总头数=人工驯养头数+野生头数） 解答下列问题： （1）①在扇形统计图中，哺乳类所在扇形的圆心角度数为_________°； ②在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数的中位数为_________头． （2）填表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 人工驯养麋鹿头数 3473 3531 3666 3861 _________ 3917 （3）结合以上统计和计算，谈谈你对该保护区的建议或想法． 【答案】（1）， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先计算哺乳类所占百分比，再计算该部分扇形圆心角的度数； （2）先排序，再计算中间的两个数的平均数； （3）从人工驯养和野生保护两个方面表述即可． 【小问1详解】 解：①在扇形统计图中，哺乳类所占的百分比为：， ∴哺乳类所在扇形的圆心角度数为：； ②在折线统计图中，近6年野生麋鹿头数按从小到大顺序排序为： ， 近6年野生麋鹿头数的中位数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 加强对野生麋鹿的保护的同时，提高人工驯养的技术． 【点睛】本题考查了扇形统计图和拆线统计图，中位数，掌握从图形中获取信息的方法是解题的关键． 23. 太阳能路灯使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，先证和均为等腰直角三角形，四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，则，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的长． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图， 依题意得：，，， 又 和均为等腰直角三角形， ，， ，， ， ，，， 四边形为矩形， ，，， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， 在中，， 即：， ， 解得：， 检验：是原方程的根． ， 在等腰中，由勾股定理得：， 点为的中点， ， 答：太阳能电池板宽的长度约为． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键． 24 如图：已知直线，及同侧两点．用直尺与圆规作图． （1）在图（1）中作出点，使（保留作图痕迹）； （2）在图（2）中作出点，使（保留作图痕迹，简要说明画法） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）以点M为圆心，以适当长度为半径画弧，交于C，D两点，然后分别以点C，D为圆心，以长度为半径画弧，两弧交于点Q，连接交于点P，即为所求； （2）首先作出点N关于的对称点E，连接，作出的垂直平分线，连接两弧的交点交于点F，以点E为圆心为半径画圆，以点F为圆心，以为半径画圆，两圆交于点G，连接交于点Q，即为所求． 【小问1详解】 如图所示，点P即为所求； ∵点Q和点M关于对称 ∴ ∵ ∴； 【小问2详解】 如图所示，点Q即为所求； ∵点N和点E关于对称 ∴ ∵是直径 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】此题考查了复杂作图，切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质，轴对称性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB=2，求BD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）BD=． 【解析】 【分析】（1）连接OC，由已知可得∠BOC=90°，根据SAS证明△OCE≌△BFE，根据全等三角形的对应角相等可得∠OBF=∠COE=90°，继而可证明直线BF是⊙O的切线； （2）由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF的长，然后由S△ABF=，即可求出BD=． 【详解】解：（1）连接OC， ∵AB是⊙O的直径，， ∴∠BOC=90°， ∵E是OB的中点， ∴OE=BE， 在△OCE和△BFE中， ， ∴△OCE≌△BFE（SAS）， ∴∠OBF=∠COE=90°， ∴直线BF是⊙O的切线； （2）∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE， ∴BF=OC=2， ∴AF=， ∴S△ABF=， 即4×2=2BD， ∴BD=． 【点睛】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键． 26. 许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离； （3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值． 【答案】（1）； （2） （3）2或4； 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，，设抛物线的解析式为代入求解即可得到答案； （2）分别求出，所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案； （3）求出抛物线与坐标轴的交点得到，表示出新抛物线找到交点得到，根据面积公式列方程求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为，由题意可得， ，，， ∴，， 把点A坐标代入所设解析式中得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：设的解析式为：，的解析式为：， 分别将，代入得， ，， 解得：，， ∴的解析式为：，的解析式为：， 联立直线解析式与抛物线得：， 解得（舍去）， 同理，解，得（舍去）， ∴，， ∴E，F两点之间的距离为：； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ∴， ∵抛物线向右平移个单位， ∴， 当时，， 当时，，解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去）， 综上所述：m等于2或4； 【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及平移的规律：左加右减，上加下减． 27. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． （1）如图 1， ABC 的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线” 的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点 D ，请你在图 1 中找出满足条件的点D ，保留画图 痕迹（找出 2 个即可） （2）①如图 2，在四边形 ABCD 中，DAB 90 , DCB 135 ，对角线 AC 平分 DAB ．请问 AC是四边形 ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由； ②若AC＝，求 AD AB 的值． （3）如图 3，在（2）的条件下，若∠D=∠ACB=90°时，将△ADC 以 A 为位似中心，位似比为缩小 得到△AEF，连接 CE、BF，在△AEF 绕点 A 旋转的过程中，当 CE 所在的直线垂直于 AF 时，请你直接写出 BF的长． 【答案】（1）见解析；（2）①AC 是四边形 ABCD的“相似对角线”，理由见解析；② AD  AB 的值为10；（3） BF的长为或． 【解析】 【分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形； （2）先判断出即可得出结论． （3）分两种情况，①延长CE交AF于点H，先由得出 ，，再得出，再求出，继而求出即可得出结论．②设AF与EC交于点G，先得出△AGE为等腰直角三角形，再得出，再得出，继而求出，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1所示．AB＝，BC＝2，∠ABC＝90°，AC＝5， ∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形， ①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA， ∴ 或 ， ∴ 或 ， ∴CD＝2.5或CD＝10， 同理：当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10， 如图中， 即为所求； （2）①∵，AC平分 ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴AC是四边形 ABCD的“相似对角线”， ②∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （3）①由（2）可知△ADC为等腰直角三角形，， ∴ ， ∵ ，且相似比为 ， ∴ ， ， 如图，延长CE交AF于点H，由题意可得：EH⊥AF于H， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ , ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴即 ， ∴ ； ②如图，设AF与EC交于点G， ∵AF⊥CE， ∴△AGE为等腰直角三角形， ∵ ， ∴ ， 在Rt△AGC中， ， ∴ ， 同理可证 ， ∴ 即 ， ∴ ， 综上，或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，理解新定义，勾股定理，判断两三角形相似是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$