精品解析：山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高一下学期第三次质量检测数学试题

2023-2024学年第二学期第三次教学质量检测 数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，则在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：,对应的点为,在第四象限 考点：复数运算及其相关概念 2. 三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据棱锥的体积公式即可求解. 【详解】解：因为三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4， 所以该三棱锥的体积为， 故选：A. 3. 已知，，与之间的夹角为60°，那么向量的模为（ ） A. 2 B. 2 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先求的平方，再开方即可. 【详解】 ，. 故选：B. 4. 如果直线平面，那么直线与平面内的（ ） A. 一条直线不相交 B. 两条直线不相交 C. 无数条直线不相交 D. 任意一条直线不相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行定义直接判断即可. 【详解】由线面平行定义知：直线与平面无交点，直线与平面内任意一条直线不相交. 故选：D. 5. 如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】取BC的中点G，连接FG、EG，则为EF与AC所成的角．解． 【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG． ，F分别是CD，AB的中点， ，， 且，． 为EF与AC所成的角． 又，． 又，，， 等腰直角三角形， ，即EF与AC所成的角为45°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，找角证角求角，主要是通过平移将空间角转化为平面角，再解三角形，属于基础题． 6. 已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为(　　) A. 5 B. 6 C. 4 D. 5.5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据中位数求出，从而求出众数. 【详解】因为中位数，所以，所以这组数的众数是. 故选：B. 7. 数据12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位数是（ ） A. 14 B. 17 C. 19 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】根据总体百分位数的估计的含义求解. 【详解】因为8×70%＝5.6， 故70%分位数是第6项数据23. 故选：D 【点睛】本题主要考查总体百分位数的估计，还考查了理解辨析的能力，所以基础题. 8. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ） 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据平均数、方差、标准差的概念直接运算即可． 解：∵， ∴ = =，． 故选B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是（ ） A. 成绩在内的考生人数最多 B. 不及格的考生人数为1000 C. 考生竞赛成绩的平均分约为分 D. 考生竞赛成绩的中位数为75分 【答案】ABC 【解析】 【分析】读懂题目提供的直方图，根据图中的数据逐项分析即可. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得，成绩在内的面积最大，因此考生人数最多， 故A正确； 对于B，由频率分布直方图可得，成绩在内的频率为， 因此不及格的人数为， 故B正确； 对于，由频率分布直方图可得，平均分约为： 分）， 故C正确； 对于D，因为成绩在内的频率为， 在内的频率为，所以中位数为， 故错误； 故选：. 10. 已知平面平面，，点，，若直线，直线，直线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】AB选项，根据线面平行的性质和基本事实判断；C选项，线面平行的判定定理判断；D选项，根据面面垂直的性质判断. 【详解】因为，，，所以， 又，所以，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为，，，所以，，，所以，故C正确； 因为，当点在内时，成立，当点不在内时，不成立，故D不正确． 故选：ABC. 11. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意可知三棱锥的体积是三棱锥体积的倍，进而确定相应高，并求出体积. 【详解】解: 由于三棱锥与三棱锥的底面都是，是的中点， 因此三棱锥的高是三棱锥高的倍，所以三棱锥的体积也是三棱锥体积的倍，在三棱锥中，其棱长都为， 如图，， 高， 则， ． 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算即可求得结果. 【详解】易知； 故答案： 13. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生． 【答案】15 【解析】 【详解】试题分析：应从高二年级学生中抽取名学生,故应填. 考点：分层抽样及运用． 14. 已知数据的平均数为，则数据的平均数为________． 【答案】 【解析】 【分析】由平均数的计算公式及性质求解即可. 【详解】由于平均数为＝5， 所以的平均数为． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量反向， （1）求向量的坐标． （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两向量反向和数量积坐标公式计算出的坐标； （2）利用数量积和向量数乘坐标公式计算得出结果； 【小问1详解】 因为向量反向， 又 所以设． 由得， 所以，所以 【小问2详解】 因为， 所以 16. 设的内角所对边分别为，且有 （1）求角的大小； （2）若，为中点，求的长． 【答案】（1）A＝；（2）. 【解析】 【分析】（1）对等式右边使用正弦两角和公式，化简可得； （2）用余弦定理求出,利用已知数据得,在直角三角形中利用勾股定理求解. 【详解】解（1）由题设知， 因为，所以 由于，故 （2）因， 所以，所以. 因为为中点，所以 所以 【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题. 其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 17. 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的众数和中位数和平均数． 【答案】（1）0.3；频率分布直方图见解析 （2）众数为75；中位数为；平均数为71 【解析】 【分析】（1）利用所有小矩形的面积之和为1，可求得分数在内的频率，再根据小矩形的高等于频率与组距的比值求得小矩形的高，即可补全频率分布直方图. （2）根据频率分布直方图中众数和中位数和平均数的求法即可得到答案. 【小问1详解】 设分数内的频率为，根据频率分布直方图，则有 ，解得. 所以频率分布直方图为 【小问2详解】 因为在分数内的频率值最大，所以众数为； 以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线将频率分布直方图分为面积相等的两部分， 因为，所以中位数在内， 因为分数内的频率为0.3，而， 所以中位数在区间中从左数处， 所以中位数为； 平均数为， 故本次考试成绩的众数为75；中位数为；平均数为71. 18. 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点． （1）求证：EF∥平面A1B1BA； （2）求证：直线AE⊥平面BCB1； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用中位线可证明线线平行，再证明线面平行； （2）利用等腰三角形的三线合一可证明线线垂直，再利用线面垂直再证明一条线线垂直，即可证明线面垂直. 【小问1详解】 证明：如图，连接A1B． 在中，因为E和F分别是和的中点，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 证明　因为为的中点， 所以． 因为平面所以平面， 又平面，从而． 又因为平面， 所以平面． 19. 已知直三棱柱中，，，为的中点．（Ⅰ）求点C到平面的距离;（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【详解】（Ⅰ）因，D为AB的中点，得．又故面所以到平面的距离为 （Ⅱ）取为的中点，连接，则又由（Ⅰ）知面故，故为所求的二面角的平面角． 因是在面上的射影，又已知由三垂线定理的逆定理得从而，都与互余，因此，所以≌，因此，得 从而所以在中， 【考点定位】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面垂直的关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用，解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，熟练进行线线垂直与线面垂直的转化，主要考查学生的空间想象能力与推理论证能力．本题可以利用空间向量来解题从而降低了题目的难度 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期第三次教学质量检测 数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，则在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 3. 已知，，与之间的夹角为60°，那么向量的模为（ ） A. 2 B. 2 C. 6 D. 12 4. 如果直线平面，那么直线与平面内（ ） A 一条直线不相交 B. 两条直线不相交 C 无数条直线不相交 D. 任意一条直线不相交 5. 如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6. 已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为(　　) A 5 B. 6 C. 4 D. 5.5 7. 数据12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位数是（ ） A. 14 B. 17 C. 19 D. 23 8. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（ ） 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A. B. C. 3 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是（ ） A. 成绩在内考生人数最多 B. 不及格的考生人数为1000 C. 考生竞赛成绩的平均分约为分 D. 考生竞赛成绩的中位数为75分 10. 已知平面平面，，点，，若直线，直线，直线，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的体积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：________． 13. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生． 14. 已知数据的平均数为，则数据的平均数为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量反向， （1）求向量的坐标． （2）若，求． 16. 设的内角所对边分别为，且有 （1）求角的大小； （2）若，为中点，求的长． 17. 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的众数和中位数和平均数． 18. 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点． （1）求证：EF∥平面A1B1BA； （2）求证：直线AE⊥平面BCB1； 19. 已知直三棱柱中，，，为的中点．（Ⅰ）求点C到平面的距离;（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$