精品解析：河南驻马店经济开发区2023-2024学年高二下学期第三次月考（5月）数学试题

2023-2024学年高二下学期第三次月考 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二、三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用排列数、组合数公式计算即得. 【详解】. 故选：A 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列通项公式列式求，进而可得结果. 【详解】设等比数列的公比为q， 由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为，求出，即切线的斜率，结合点斜式方程，即可得到答案. 【详解】因为，所以，则， 故函数的图象在点处的切线方程为，即. 故选：C. 4. 已知由样本数据组成的一个样本，变量具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量之间的相关系数为，则经验回归直线经过（ ） A. 第一､二､三象限 B. 第二､三､四象限 C. 第一､二､四象限 D. 第一､三､四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知负相关，已知条件求得样本中心点，然后根据经验回归直线经过样本点中心即可得出结果. 【详解】由相关系数为，知负相关，所以. 又，求得样本中心点为， 由于在经验回归直线上，且点在第三象限， 所以经验回归直线经过第二､三､四象限. 故选：B. 5. 已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线恒过的定点，由几何法可知当时，最小，用勾股定理求出。 【详解】将l的方程转化为， 令解得，即过定点， 当时，圆心到直线的距离最大值为， 此时取得最小值,根据勾股定理：. 故选：A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，求出，再将其和代入条件概率公式，即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 故. 故选：B. 7. 已知函数，则“有极值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，再求出有极值时的取值范围，利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】，若有极值，则有两个不相等的实数根， ，解得； 反之，时，有两个不相等的实数根，有极值. 所以“有极值”是“”的充要条件. 故选：C. 8. 已知抛物线的焦点为F，过点作C的两条切线，切点为A，B，且Q为C上一动点，若的最小值为5，则的面积为（ ） A. 75 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线定义得到，再利用导数得到切点弦所在直线方程，再求出直线的长和点P到直线的距离，最后利用三角形面积公式即可． 【详解】当F，Q，P三点共线时，取得最小值，且， 所以，解得，所以． 由，得． 设，，则曲线在处的切线方程为， 即．因为切线过点，所以． 同理可得，所以直线的方程为，即． 联立方程组，得， ，则． 因为直线过焦点F，所以， 点P到直线的距离， 所以． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是利用抛物线定义和三点共线得到p，再然后是利用导数得到切点弦所在直线方程，最后再求出和点P到直线的距离． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，各奇数项的二项式系数之和为32，则（ ） A. 常数项为 B. C. 项的系数为40 D. 项的系数为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质求出，利用二项式定理逐项判断得解. 【详解】由展开式中各奇数项的二项式系数之和为32，得，解得，B正确； 的展开式的常数项为，A错误； 展开式项的项的系数为，C错误，D正确. 故选：BD 10. 若数列满足对任意的正整数，都有，则称为“凸数列”．下列结论正确的是（ ） A. 若，则数列为“凸数列” B. 若，则数列为“凸数列” C. 若单调递减数列的前项和为，则数列为“凸数列” D. 若数列的前项和为，数列为“凸数列”，则为单调递减数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由“凸数列”的定义，即可判断AB，再由单调数列的定义以及“凸数列”的定义分别判断CD，即可得到结果. 【详解】因为，， 且，则，所以数列不是“凸数列”，故A错误； 因为，， 且，所以， 则数列为“凸数列”，故B正确； 因为，， ， 则， ， 所以， 又数列是单调递减数列，则，即， 所以，即， 即数列为“凸数列”，故C正确； 因为数列为“凸数列”，则， 即，即， 所以，而的符号不确定， 故不一定为单调递减数列，故D错误； 故选：BC 11. 已知，且成等差数列，随机变量的分布列为 1 2 3 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合分布列的性质计算判断AB；求出期望、方差的函数关系推理判断CD. 【详解】对于AB，由，得，A错误，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D， ， 当时，取得最大值，且最大值为，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由，可得，则. 【详解】因为，所以，则. 故答案为：. 13. 用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有______种. 【答案】72 【解析】 【分析】先对1，2，3三个区域涂色，再讨论1和5区域是否同色，结合排列数分析求解. 【详解】先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法， 当1和5区域同色时，有种涂法； 当1和5区域不同色时，有种涂法； 综上所述：共有种涂法. 故答案为：72. 14. 已知函数在上连续且存在导函数，对任意实数满足，当时，.若，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先变形等式，并构造函数，并判断函数的对称性和单调性，将不等式变形为，利用函数的性质，即可求解不等式. 【详解】由，可得. 令，则，，所以的图象关于直线对称. 当时，，所以， 又在上连续，所以在上单调递增，且在上单调递减， 由，可得，即， 所以，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件构造函数,利用函数的性质，求解不等式. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和． （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 当时，． 当时，． 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 则． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为锐角，是正三角形，平面底面，，且四棱锥的体积为2． （1）证明：． （2）若是PC的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为底面是菱形，，所以 因为是正三角形，所以，， 因为平面底面，平面底面，平面， 所以底面， 因为四棱锥的体积为2， 所以， 所以，得， 因为为锐角，所以， 所以为等边三角形，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，则可得，再由面面垂直的判定可得底面，然后结合四棱锥的体积可求出，则为等边三角形，得，再由线面垂直的判定定理得平面，则可得； （2）由（1）可知两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，底面， 所以， 因为，， 所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为是PC的中点，所以， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，，，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立. （1）求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率； （2）求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望. 【答案】（1） （2） 2 3 4 5 6 ，数学期望为 【解析】 【分析】（1）恰有一次获得A等级分:“笔试A等级且面试非A等级”与“面试A等级且笔试非A等级”两种情况，然后利用相互独立事件概率乘法公式计算每一种情况的发生的概率，再利用互斥事件概率加法公式求解. （2）根据题意求出的所有可能取值，然后利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式求出每一个取值对应随机事件的概率，列出分布列，用期望公式求出期望. 【小问1详解】 甲在笔试和面试中恰有一次获得等级的概率为. 【小问2详解】 由题意得的可能取值为2，3，4，5，6， ， ， ， ， ， 则的分布列为 2 3 4 5 6 所以. 18. 已知双曲线的离心率为，半焦距为，为的左顶点，直线． （1）求的方程． （2）若l过定点，且交于，两点（异于点），证明：直线与的斜率之积为定值． （3）若与有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别与轴，轴相交于，两点，当点运动时，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 设，，因为直线过定点，所以直线， 联立方程组消去x得， 由，，得，且． 则，， 直线AE的斜率，直线AF的斜率， 所以 ， 即直线AE与AF的斜率之积为定值． （3）． 【解析】 【分析】（1）半焦距为，得，离心率为，得，由得； （2）设，，直线直线与双曲线联立方程得，根据韦达定理得，，根据斜率公式得，最后化简计算即可得证； （3）设直线，根据题意直线与双曲线联立方程计算得，设切点，则，代入l得，则过点M且与l垂直的直线方程为．求出，得，最后化简计算即可. 【小问1详解】 因为半焦距为，所以． 因为离心率为，所以，解得， 由，得，则C的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为与C有唯一的公共点， 因为直线与双曲线相切． 所以时，过且与垂直的直线与轴重合，不符合题意，所以． 联立方程组消去x得． 由，得，且． 设切点，则，， 代入得，即． 过点且与垂直的直线方程为． 令，得，令，得，所以 因为，，所以． 因为， 所以，代入，化简得． 因为，所以，故点的轨迹方程为． 【点睛】 关键点点睛：第三问的关键在于建立等式，再结合前面计算所得条件化简可得出. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：. 【答案】（1） 当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为. （2） 要证，需证， 而，即有， 则只需证明，即证，即证， 令，则，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，则， 令，则，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 从而，即成立. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出的解集即可. （2）根据给定条件，借助分析法将不等式转化为，再求出左右两边函数的最值即可推理得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 若，则，且当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减； 若，令，解得， 若，即，则恒成立，当时，，当时，， 即函数在上递减，在上递增； 若，即，则当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减； 若，即，则在上恒成立，函数在上递增； 若，即，则当时，，当时，， 即函数在上递增，在上递减， 所以当时，的递增区间为，递减区间为； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递增区间为和，递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年高二下学期第三次月考 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二、三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 8 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知由样本数据组成的一个样本，变量具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量之间的相关系数为，则经验回归直线经过（ ） A. 第一､二､三象限 B. 第二､三､四象限 C. 第一､二､四象限 D. 第一､三､四象限 5. 已知直线与圆相交于A，B两点，则|的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则“有极值”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知抛物线的焦点为F，过点作C的两条切线，切点为A，B，且Q为C上一动点，若的最小值为5，则的面积为（ ） A. 75 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，各奇数项的二项式系数之和为32，则（ ） A. 常数项为 B. C. 项的系数为40 D. 项的系数为 10. 若数列满足对任意的正整数，都有，则称为“凸数列”．下列结论正确的是（ ） A. 若，则数列为“凸数列” B. 若，则数列为“凸数列” C. 若单调递减数列的前项和为，则数列为“凸数列” D. 若数列的前项和为，数列为“凸数列”，则为单调递减数列 11. 已知，且成等差数列，随机变量的分布列为 1 2 3 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则__________. 13. 用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有______种. 14. 已知函数在上连续且存在导函数，对任意实数满足，当时，.若，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和． （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，为锐角，是正三角形，平面底面，，且四棱锥的体积为2． （1）证明：． （2）若是PC的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立. （1）求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率； （2）求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望. 18. 已知双曲线的离心率为，半焦距为，为的左顶点，直线． （1）求的方程． （2）若l过定点，且交于，两点（异于点），证明：直线与的斜率之积为定值． （3）若与有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别与轴，轴相交于，两点，当点运动时，求点的轨迹方程． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $