第06讲 综合与实践 一次函数模型的应用（2大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（沪科版）

第06讲 综合与实践 一次函数模型的应用（2大知识点+5大典例+变式训练） 题型一 分配方案问题(一次函数的实际应用) 题型二 最大利润问题(一次函数的实际应用) 题型三 行程问题(一次函数的实际应用) 题型四 几何问题(一次图数的实际应用) 题型五 其他问题(一次函数的实际应用) 知识点01 理解一次函数的基本形式 掌握一次函数的定义，即形如 y = ax + by=ax+b 的线性关系，其中 aa 和 bb 为常数，分别代表斜率和截距。 了解一次函数图像的特点，例如，当 a > 0a>0 时，函数图像是上升的；当 a < 0a<0 时，函数图像是下降的。 知识点02 模型的求解与应用 学习如何利用一次函数模型解决问题。这可能包括求解方程、不等式，或者利用模型进行预测和决策 掌握如何解释模型的结果。在应用模型解决问题时，重要的是要将数学结果转化为实际问题的解答 【典型例题一 分配方案问题(一次函数的实际应用)】 1．（22-23八年级上·福建厦门·期中）某公司要印制宣传材料，现有甲、乙两个印刷厂.甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费.设印制数量为x(份)，甲，乙两印刷厂的收费分别为y1和y2(单位是：元). (1)请写出y1=______________；y2=_____________. (2)印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？并说明理由. 2．（22-23八年级下·四川凉山·期末）随着西昌葡萄种植面积不断扩大，现新推广甲、乙两种葡萄苗，已知乙种葡萄苗比甲种葡萄苗每株贵3元，且用100元钱购买甲种葡萄苗的株数与用160元钱购买乙种葡萄苗的株数刚好相同． (1)求甲、乙两种葡萄苗每株的价格； (2)小颖家计划购买甲、乙两种葡萄苗共1000株，调查统计发现，甲、乙两种葡萄苗的成活率分别为90%、95%，要使这批葡萄苗的成活率不低于92%，且使购买葡萄苗的费用最低，应如何选购葡萄苗？最低费用是多少？ 3．（22-23八年级上·陕西·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，王阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子2条和原价均为600元/个的颈椎枕若干个，已知两家店铺在活动期间分别给予以下优惠： 店铺：“双11”当天购买所有商品可以享受8折优惠； 店铺：买2条被子，可赠送1个颈椎枕，同时“双11”当天下单，还可立减160元； 设购买颈椎枕（个），若王阿姨在“双11”当天下单，两个店铺优惠后所付金额分别为（元）、（元）． （1）试分别表示、与的函数关系式； （2）王阿姨准备在“双11”当天购买4个颈椎枕，通过计算说明在哪家店铺购买更省钱？ 4．（22-23八年级下·河南濮阳·期末）端午节放假期间，某学校计划租用辆客车送名师生参加研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车辆，租车总费用为元． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 租金（元/辆） （1）求出（元）与（辆）之间函数关系式； （2）求出自变量的取值范围； （3）选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？ 5．（22-23八年级下·河南·期末）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 1800元 1600元 B地区 1600元 1200元 （1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围： （2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，为农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由. 【典型例题二 最大利润问题(一次函数的实际应用)】 1．（22-23八年级下·山东潍坊·期末）为了加强学生球类运动的训练，某学校计划购买篮球和排球共30个，已知每个篮球80元，每个排球60元，设购买排球x个，购买排球和篮球的总费用为y元 （1）求y与x的函数表达式； （2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的5倍，应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 2．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在新冠病毒防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示： 项目 购进数量（件） 购进所需费用（元） 酒精消毒液 测温枪 第一次 第二次 (1)求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)公司决定酒精消毒液以每件元出售，测温枪以每件元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的倍，求该公司销售完上述件商品获得的最大利润． 3．（2023·福建厦门·模拟预测）一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A，B两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利的情况如表所示： 销售品种 A种蔬菜 B种蔬菜 每吨获利（元） 1200 1000 其中A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8吨．设销售利润为W元（不计损耗），购进A种蔬菜x吨． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？ 4．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）A城有某种农机30台，B城有该农机40台．现要将这些农机全部运往C、D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C、D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C、D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台 （1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来； （3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（100＜a＜250）作为优惠，其他费用不变．在（2）的条件下，若总费用最小值为10740元，直接写出a的值． 5．（22-23八年级上·广东深圳·期末）某厨具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如下表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 200 250 电压锅 160 200 （1）一季度，厨具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中赚了多少钱？ （2）为了满足市场需求，二季度厨具店决定采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不大于电压锅的，请你通过计算判断，如何进货厨具店赚钱最多？最大利润是多少？ 【典型例题三 行程问题(一次函数的实际应用)】 1．（23-24八年级下·上海闵行·期中）甲、乙两位同学一次晨跑的路程S（米）与时间t（分）的关系如图所示．已知他们从同一地点出发，跑步的路线和总路程（1500米）也相同，其中甲先出发，途中由于鞋子问题耽误了一些时间．图中．根据图形所提供的信息，回答下列问题： (1)甲在途中耽误了______分钟； (2)乙跑步的速度是______米/分； (3)如果甲想与乙同时到达终点，那么他在解决鞋子问题后速度应提高到______米/分． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知两地相距，甲、乙两人沿同一条道路从地到达地．如图，分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系． (1)在甲出发______时，两人相遇，这时他们离开地______； (2)甲的速度是______，乙的速度是______； (3)乙从地出发______时到达地． 3．（22-23七年级下·江西九江·期中）如图所示的图像反映的过程是：小强星期天从家跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后又走到文具店去买笔，然后步行回家，其中表示时间，表示小强离家的距离，根据图像回答下列问题．    (1)体育场距文具店多远？ (2)小强在文具店逗留了多长时间？ (3)小强从文具店回家的平均速度是多少？ 4．（2023·陕西咸阳·一模）周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后（段）与之间的函数关系式； (2)在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？ 5．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示时间，、表示路程），根据图象解答下列问题： (1)“龟兔再次赛跑”路程为 米； (2)它们两个约定先出发 （填“兔子”和“乌龟”），先出发 分钟； (3)乌龟跑完全程用了 分钟，兔子跑完全程用了 分钟，乌龟平均速度是 米/分，兔子平均速度是 米/分． 【典型例题四 几何问题(一次图数的实际应用)】 1．（2023八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4， 0）． （1）求直线的解析式； （2）设直线与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足 ， 求P的坐标． 2．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知直线和直线相交于点． （1）求点坐标； （2）若与轴交于点，与轴交于点，求面积． 3．（22-23八年级下·吉林·期末）在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝5cm．现将AB的长减少x（cm），BC的长度不变． （1）求出矩形的面积y（单位：cm2）与x的函数关系式； （2）直接写出自变量x的取值范围； （3）此函数 　 　一次函数（填“是”或“否”）． 4．（22-23八年级下·山西·阶段练习）综合与探究： 如图，直线的表达式为，与轴交于点，直线交轴于点，，与交于点，过点作轴于点，． （1）求点的坐标； （2）求直线的表达式； （3）求的值； （4）在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知平面直角坐标系内的点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，B（3，1）． （1）求点A的坐标； （2）点P是x轴上一动点，当PA+PB最小时，求：①点P的坐标；②PA+PB的最小值． 【典型例题五 其他问题(一次函数的实际应用)】 1．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上的物体后，弹簧伸长．求弹簧总长y（单位：）与所挂物体质量x（单位：）的函数表达式．（不用写出自变量的取值范围） 2．（22-23八年级下·浙江台州·期末）如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中的信息，解答问题：    碗的数量（个） 高度 (1)求整齐叠放在桌面上碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式； (2)当碗的数量为个时，这摞碗的高度是多少？ 3．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）据研究，地面上空处的气温（℃）与地面气温（℃）有如下关系：．现用气象气球测得某时离地面处的气温为8.8℃，离地面处的气温为6.8℃． (1)求，的值． (2)求地面上空处的气温． 4．（22-23八年级上·上海·期中）某水电站的蓄水池有个进水口，个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图（甲）所示，出水口出水提与时间的关系如图（乙）所示．已知某天点到点，进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图（丙）所示，根据图像说明： (1)进水口单位时间内进水量是多少？出水口单位时间内出水量是多少？ (2)求点到点这段时间水池内水量与时间的函数解析式及定义域； (3)试说明点到点和点到点这个时间段内进出水口的开放情况． 5．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）如图是温度计的示意图，图中左边的刻度表示摄氏温度，右边的刻度表示华氏温度． 摄氏温度 … 0 10 … 华氏温度 … 68 … (1)从图中提供的信息，完成下表 (2)小明发现华氏温度与摄氏温度之间成一次函数关系，试求出与之间的关系式 【变式训练1 分配方案问题(一次函数的实际应用)】 1．（2023·上海虹口·二模）甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y（件）与时间x（小时）为一次函数关系，部分数据如下表所示． x（小时） 2 4 6 y（件） 50 150 250 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？ 2．（22-23八年级下·四川成都·期中）某通讯移动通讯公司手机费用有A、B两种计费标准，如下表： 月租费（元/部） 通讯费（元/分钟） 备注 A种收费标准 50 0.4 通话时间不足1分钟按1分钟计算 B种收费标准 0 0.6 设某用户一个月内手机通话时间为x分钟，请根据上表解答下列问题： （1）分别写出按A类、B类收费标准，该用户应缴纳手机费用的关系式； （2）如果该用户每月通话时间为300分钟，应选择哪种收费方式？说说你的理由； （3）如果该用户每月手机费用不超过90元，应选择哪种收费方式？说说你的理由； 3．（2024·陕西宝鸡·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 4．（2024·陕西榆林·三模）刘阿姨从陕西老家通过快递公司给在外省的亲人邮寄本地土特产，寄快递时，快递公司规定：不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用．若刘阿姨给外省的亲人邮寄了千克本地土特产，所支付的快递费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若刘阿姨所支付的快递费用为元，求刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量． 5．（2024·辽宁抚顺·二模）过去几年，某公司经历了重重考验，也在挑战中不断成长，2024年该公司为促进生产，提供了两种付给员工周报酬的方案，两种方案员工得到的周报酬y（元）与员工生产的件数x（件）之间的关系如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：    (1)求方案二y关于x的函数表达式； (2)如果你是该公司的员工，你该如何根据自己的生产能力选择方案． 【变式训练1 大利润问题(一次函数的实际应用)】 1．（2024·陕西渭南·二模）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件，其进价与售价如表所示： 价格 类型 进价(元/件) 售价(元/件) 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为x件，销售完甲、乙两种汉服的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润． 2．（2024·江苏无锡·二模）某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如下表： A型产品（元/件） B型产品（元/件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． (1)求A、B两种型号产品各生产了多少件？ (2)若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值． 3．（23-24九年级下·湖南永州·期中）某公司每月生产甲、乙两种型号的配件共20万个，且所有配件当月全部售出，其中成本、售价 （单位元）如下表： 配件 甲 乙 成本 售价 (1)若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的配件分别是多少万个？ (2)如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． 4．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）某水果超市想购进甲、乙两种水果进行销售，甲种水果每千克的价格为30元，如果一次性购买超过40千克，超过部分的价格打八折．设水果超市购进甲种水果x千克，付款y元． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)已知乙种水果的价格为每千克26元，若超市计划一次性购进甲、乙两种水果共80千克，且甲种水果多于40千克，但又不超过50千克，问如何分配甲、乙两种水果的购进数量，才能使超市付款总金额W最少？最少付款额是多少元？ 5．（23-24八年级下·山西太原·期中）1987年6月18日“国槐”被定为太原市的市树，今年春季，小区为绿化环境分别购买了两种规格的国槐树苗，其中A种国槐树苗的价格为75元/株，B种国槐树苗的价格为100元／株．若购买这两种国槐树苗共45株，其中A种国槐树苗的数量不超过B种国槐树苗数量的2倍，请你通过计算设计最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【变式训练3 行程问题(一次函数的实际应用)】 1．（2024·江苏盐城·三模）小丽驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小丽往返均匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，出行全程一共用时小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图所示． (1)该电动汽车每小时的充电量为 ，小丽在景区游玩了 ； (2)电动汽车从家出发时电量为，求的值； (3)求线段所表示的与之间的函数表达式． 2．（2024·河南信阳·三模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； (2)当时，写出的函数关系式为________； (3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 3．（2024·天津河东·二模）已知甲、乙、丙三地依次在同一条直线上，乙地距离甲地，丙地离甲地，一艘游轮从甲地出发，先用了匀速航行到乙地；从乙地驶出后接着匀速航行了到丙地；从丙地进行休整后，返航回甲地．在返航途中，因天气影响匀速航行了后减速，继续匀速航行回到甲地．下面图中x表示时间，y表示游轮离甲地的距离．图象反映了这个过程中游轮离甲地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息解答下列问题： (1)①填表： 游轮离开甲地的时间/ 10 15 20 58 游轮离开甲地的距离/ ______ 280 ______ ______ ②填空：游轮从乙地到丙地的速度为______； ③当时，请直接写出游轮离甲地的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当游轮到达乙地时，一艘货轮从甲地出发匀速航行去丙地，已知货轮的速度为，求货轮追上游轮时离甲地的距离是多少？（直接写出结果即可）． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）小明和小强两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，1小时后小强出发，小明则放慢速度继续前行，小明和小强距甲地的距离y（千米）与小明出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小强同学骑自行车的速度为___________千米/小时； (2)求小明距甲地的距离y与x之间的函数关系式； (3)当小强到达乙地时，求小明距乙地的距离． 5．（23-24七年级下·山东淄博·期中）五一节期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，如图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象． (1)求出段图象的函数表达式； (2)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？ 【变式训练4 几何问题(一次图数的实际应用)】 1．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，求点的坐标． 2．（22-23九年级下·山东滨州·期中）已知y关于x的一次函数的图象经过两点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图所示，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．    (1)求A、B两点的坐标； (2)若P是x轴上的点，且，求的面积． 4．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，点为直角边边上一动点，现从点出发，沿着的方向运动至点A处停止，设点运动的路程为的面积为．（点不与点重合） (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当的面积等于面积一半时，求出点运动的路程的值． 5．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，A为直线上一点，轴于点C，交直线于点B． (1)若点A的坐标为，，求k的值； (2)若，当点A在第一象限内直线上运动时，求的值． 【变式训练5 其他问题(一次函数的实际应用)】 1．（22-23八年级上·全国·课后作业）图中两个时针的指针分别表示同一时刻的北京时间和东京时间．设北京时间为t（时），东京时间为y（时），就的范围，分别求y关于t的函数表达式，并填写下表（同一时刻的两地时间）． 北京时间 8：30 4：30 东京时间 12：10 2．（2023·江苏无锡·模拟预测）某批发商欲将一批水产品委托货运公司由地运往地销售，已知、两地相距，货运车辆的平均速度是，货运公司的收费项目及收费标准如下表： 运输量单价（元/吨千米） 冷藏费单价（元/吨时） 过路过桥费（元） (1)若该批发商有水产品要运输，货运公司收取的总费用为元，写出与之间的函数表达式． (2)如果该批发商想运送水产品，支付运费元，货运公司愿意运送这批水产品吗？ 3．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）某汽车行驶时油箱中余油量（升）与行驶时间（小时）的关系如下表： 行驶时间t/小时 余油量Q/升 1 55 2 50 3 45 4 40 5 35 观察表格解答下列问题 (1)汽车行驶之前油箱中有多少升汽油？ (2)写出用时间表示余油量的代数式； (3)当时，求余油量的值． 4．（22-23八年级上·山东青岛·期中）杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同．称重时，秤钩所挂物重为x（斤）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y（厘米）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据，且y是x的一次函数． x（斤） 0 0.75 1.00 2.25 3.25 y（厘米） －2 1 2 4 7 注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y（厘米）为正，在右侧时为负． （1）根据题意，完成表格； （2）请求出y与x的关系式； （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？ 5．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样？费用是多少？ (3)小马准备300元去该体育馆办理套餐，选择哪种套餐划算？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 综合与实践 一次函数模型的应用（2大知识点+5大典例+变式训练） 题型一 分配方案问题(一次函数的实际应用) 题型二 最大利润问题(一次函数的实际应用) 题型三 行程问题(一次函数的实际应用) 题型四 几何问题(一次图数的实际应用) 题型五 其他问题(一次函数的实际应用) 知识点01 理解一次函数的基本形式 掌握一次函数的定义，即形如 y = ax + by=ax+b 的线性关系，其中 aa 和 bb 为常数，分别代表斜率和截距。 了解一次函数图像的特点，例如，当 a > 0a>0 时，函数图像是上升的；当 a < 0a<0 时，函数图像是下降的。 知识点02 模型的求解与应用 学习如何利用一次函数模型解决问题。这可能包括求解方程、不等式，或者利用模型进行预测和决策 掌握如何解释模型的结果。在应用模型解决问题时，重要的是要将数学结果转化为实际问题的解答 【典型例题一 分配方案问题(一次函数的实际应用)】 1．（22-23八年级上·福建厦门·期中）某公司要印制宣传材料，现有甲、乙两个印刷厂.甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费.设印制数量为x(份)，甲，乙两印刷厂的收费分别为y1和y2(单位是：元). (1)请写出y1=______________；y2=_____________. (2)印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？并说明理由. 【答案】（1）； （2）乙印刷厂，理由详见解析. 【分析】（1）甲印刷厂的收费为印刷数量乘以1元再加上1500元，乙印刷厂的收费为印刷数量乘以2.5元. （2）将分别代入两个方程，比较哪家印刷厂费用较低. 【详解】（1）由题意可知： 甲厂每份材料收1元印制费，另收1500元制版，则 乙场每份材料收2.5元印制费，不收制版费，则 （2）当时，，，乙印刷厂费用较低. 【点睛】本题主要考查了一元一次函数的应用，根据题意，找出收费y（元）与印刷数量x（套）之间的关系，然后列出函数关系式. 2．（22-23八年级下·四川凉山·期末）随着西昌葡萄种植面积不断扩大，现新推广甲、乙两种葡萄苗，已知乙种葡萄苗比甲种葡萄苗每株贵3元，且用100元钱购买甲种葡萄苗的株数与用160元钱购买乙种葡萄苗的株数刚好相同． (1)求甲、乙两种葡萄苗每株的价格； (2)小颖家计划购买甲、乙两种葡萄苗共1000株，调查统计发现，甲、乙两种葡萄苗的成活率分别为90%、95%，要使这批葡萄苗的成活率不低于92%，且使购买葡萄苗的费用最低，应如何选购葡萄苗？最低费用是多少？ 【答案】(1)甲种葡萄苗每株的价格为5元，乙种葡萄苗每株的价格为8元 (2)购买甲种葡萄苗600株，乙种葡萄苗400株时费用最低，最低费用是6200元 【分析】（1）设甲种葡萄苗每株的价格为x元，则乙种葡萄苗每株的价格为元，根据题目中的等量关系列分式方程，求解即可； （2）设甲种葡萄苗购买b株，则乙种葡萄苗购买株，根据总成活率不低于92%列不等式，求出b的取值范围，列出总费用W与b的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种葡萄苗每株的价格为x元，则乙种葡萄苗每株的价格为元， 由题意得， 解得：， 经检验是原方程组的解． 所以甲种葡萄苗每株的价格为5元， 乙种葡萄苗每株的价格为元． 答：甲种葡萄苗每株的价格为5元，乙种葡萄苗每株的价格为8元； （2）解：设甲种葡萄苗购买b株，则乙种葡萄苗购买株，购买的总费用为W元， 由题意，， 解得， 由题意，， ∴， ∴W随b的增大而减小， ∴时，元． 答：购买甲种葡萄苗600株，乙种葡萄苗400株时费用最低，最低费用是6200元． 【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的实际应用，根据已知等量关系正确列方程是解题关键，注意分式方程求解后要进行检验． 3．（22-23八年级上·陕西·期中）每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，王阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子2条和原价均为600元/个的颈椎枕若干个，已知两家店铺在活动期间分别给予以下优惠： 店铺：“双11”当天购买所有商品可以享受8折优惠； 店铺：买2条被子，可赠送1个颈椎枕，同时“双11”当天下单，还可立减160元； 设购买颈椎枕（个），若王阿姨在“双11”当天下单，两个店铺优惠后所付金额分别为（元）、（元）． （1）试分别表示、与的函数关系式； （2）王阿姨准备在“双11”当天购买4个颈椎枕，通过计算说明在哪家店铺购买更省钱？ 【答案】(1) yA=1600+480x; yB=1240+600x;(2)A店铺更省钱 【分析】(1)根据题意列出关系式即可． (2)将x=4分别代入关系式比较大小即可判断． 【详解】(1)yA=0．8×(2×1000+600x)=1600+480x． yB=2×1000+600×(x－1)－160=1240+600x． (2)当x=4时, yA=1600+480×4=3520,yB=1240+600×4=3640． ∵yA＜yB, ∴A店铺购买更省钱． 【点睛】本题考查一次函数的应用,关键在于理解题意列出函数关系式． 4．（22-23八年级下·河南濮阳·期末）端午节放假期间，某学校计划租用辆客车送名师生参加研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车辆，租车总费用为元． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 租金（元/辆） （1）求出（元）与（辆）之间函数关系式； （2）求出自变量的取值范围； （3）选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？ 【答案】（1）；（2），且为整数；（3）租用甲种客车辆，租用乙种客车辆，所需的费用最低，最低费用元． 【分析】（1）根据租用甲种客车x辆，则租用乙种客车（6-x）辆，进而表示出总租金即可． （2）由实际生活意义确定自变量的取值范围． （3）由题意可列出一元一次不等式方程组．由此推出y随x的增大而增大． 【详解】解：（1）设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆， 由题意可得出：； （2）由得：． 又， 的取值范围是：，且为整数； （3），且为整数， 取或或 中 随的增大而增大 当时，的值最小． 其最小值元． 则租用甲种客车辆，租用乙种客车辆，所需的费用最低，最低费用元． 故答案为（1）；（2），且为整数；（3）租用甲种客车辆，租用乙种客车辆，所需的费用最低，最低费用元． 【点睛】本题考查一次函数的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．要会利用题中的不等关系找到x的取值范围，并根据函数的增减性求得y的最小值是解题的关键． 5．（22-23八年级下·河南·期末）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如下表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 1800元 1600元 B地区 1600元 1200元 （1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围： （2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，为农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由. 【答案】（1）y=200x+74000（10≤x≤30）；（2）将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，理由见解析． 【分析】（1）根据未知量，找出相关量，列出函数关系式； （2）利用不等式的性质进行求解，对x进行分类即可；根据一次函数的单调性可直接判断每天获得租金最高的方案，得出结论． 【详解】解：（1）由于派往A地的乙型收割机x台，则派往B地的乙型收割机为（30-x）台，派往A，B地区的甲型收割机分别为（30-x）台和（x-10）台． ∴y=1600x+1200（30-x）+1800（30-x）+1600（x-10）=200x+74000（10≤x≤30）． （2）由题意，得200x+74000≥79600，解得x≥28， ∵10≤x≤30，x是正整数，∴x=28、29、30 ∴有3种不同分派方案： ①当x=28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全部派往B地区； ②当x=29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，余者全部派往B地区； ③当x=30时，派往A地区的甲型收割机0台，乙型收割机30台，余者全部派往B地区；∵y=200x+74000中， ∴y随x的增大而增大，∴当x=30时，y取得最大值， 此时，y=200×30+74000=80000， ∴农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租金为80000元． 故答案为（1）y=200x+74000（10≤x≤30）；（2）将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，理由见解析． 【点睛】本题考查利用一次函数解决实际问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答． 【典型例题二 最大利润问题(一次函数的实际应用)】 1．（22-23八年级下·山东潍坊·期末）为了加强学生球类运动的训练，某学校计划购买篮球和排球共30个，已知每个篮球80元，每个排球60元，设购买排球x个，购买排球和篮球的总费用为y元 （1）求y与x的函数表达式； （2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的5倍，应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）；（2）购买排球5个，篮球25个，最小值为2300． 【分析】（1）由总费用等于购买篮球与购买排球的费用之和，可得答案； （2）先求解购买排球的数量的范围，利用（1）中的函数关系式，利用函数性质求解最小费用即可． 【详解】解：（1）根据题意得，购买的篮球数为（30-x）个， （2） 由（1）知：， ＜ 所以：随x的增大而减少 所以：当x=5时有最小值， 此时购买排球5个；篮球25个； 最小值为． 答：购买排球5个；篮球25个时的费用最小，最小费用为元． 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，同时考查了一元一次不等式的应用，利用一次函数的性质求最小值，掌握以上知识是解题的关键． 2．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在新冠病毒防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示： 项目 购进数量（件） 购进所需费用（元） 酒精消毒液 测温枪 第一次 第二次 (1)求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)公司决定酒精消毒液以每件元出售，测温枪以每件元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的倍，求该公司销售完上述件商品获得的最大利润． 【答案】(1)酒精消毒液每件的进价元，测温枪每件的进价元 (2)最大利润元 【分析】（1）根据表格信息，设酒精消毒液每件的进价元，测温枪每件的进价元，列方程即可求解； （2）两种商品共件，设测温枪有件，则酒精消毒液有件，根据（1）中的进价，设利润为，由此可列出方程求解． 【详解】（1）解：设酒精消毒液每件的进价元，测温枪每件的进价元， ∴，解方程组得，， ∴酒精消毒液每件的进价元，测温枪每件的进价元． （2）解：两种商品共件，设测温枪有件，则酒精消毒液有件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的倍， ∴，即， 利润为， ∵，随的值增大而增大，且有， ∴当时，有最大值，最大值为：元， ∴该公司销售完上述件商品获得的最大利润元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组解实际问，一次函数解最大利润问题，理解题目意思，找出数量关系立方程是解题的关键． 3．（2023·福建厦门·模拟预测）一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购A，B两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利的情况如表所示： 销售品种 A种蔬菜 B种蔬菜 每吨获利（元） 1200 1000 其中A种蔬菜的5%、B种蔬菜的3%须运往C市场销售，但C市场的销售总量不超过5.8吨．设销售利润为W元（不计损耗），购进A种蔬菜x吨． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？ 【答案】（1）W＝200x+140000；（2）最多可获得利润156000元． 【分析】（1）根据两种蔬菜的每吨获利情况和蔬菜的总重量求得W与x之间的关系即可； （2）首先根据两种蔬菜的运往市场的量的关系确定x的取值范围，然后即可确定W的最值． 【详解】解：（1）根据题意得：W＝1200x+1000（140﹣x）＝200x+140000． （2）根据题意得，5%x+3%（140﹣x）≤5.8， 解得 ：x≤80． ∴0＜x≤80． 又∵在一次函数W＝200 x+140000中，k＝200＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝80时，W最大＝200×80+140000＝156000． ∴将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得利润156000元． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的应用以及解一元一次不等式，属于基础题目，易于理解掌握． 4．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）A城有某种农机30台，B城有该农机40台．现要将这些农机全部运往C、D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C、D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C、D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台 （1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来； （3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元（100＜a＜250）作为优惠，其他费用不变．在（2）的条件下，若总费用最小值为10740元，直接写出a的值． 【答案】（1）W关于x的函数关系式为W＝140x+12540，自变量x的取值范围为0≤x≤30；（2）有三种调运方案：①A城运往C乡28台，运往D乡2台；B城运往C乡6台，运往D乡34台；②A城运往C乡29台，运往D乡1台；B城运往C乡5台，运往D乡35台；③A城运往C乡30台，运往D乡0台；B城运往C乡4台，运往D乡36台；（3）a的值为200元． 【分析】（1）设A城运往C乡x台农机，可以表示出运往其它地方的台数，根据调运单价和调运数量可以表示总费用W； （2）列出不等式组确定自变量x的取值范围，在x的正整数解的个数确定调运方案，并分别设计出来； （3）根据A城运往C乡的农机降价a元其它不变，可以得出另一个总费用与x的关系式，根据函数的增减性，确定当x为何值时费用最小，从而求出此时的a的值． 【详解】解：（1）设A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡（6+x）台农机，由题意得： W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）＝140x+12540， ∵x≥0且30﹣x≥0且34﹣x≥0， ∴0≤x≤30， 答：W关于x的函数关系式为W＝140x+12540，自变量x的取值范围为0≤x≤30． （2）由题意得： ，解得：28≤x≤30， ∵x为整数， ∴x＝28或x＝29或x＝30， 因此有三种调运方案， 即：①A城运往C乡28台，运往D乡2台；B城运往C乡6台，运往D乡34台； ②A城运往C乡29台，运往D乡1台；B城运往C乡5台，运往D乡35台； ③A城运往C乡30台，运往D乡0台；B城运往C乡4台，运往D乡36台； （3）由题意得： W＝（250﹣a）x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240（6+x）＝（140﹣a）x+12540， ∵总费用最小值为10740元， ∴140﹣a＜0 ∴W随x的增大而减小， 又∵28≤x≤30， ∴当x＝30时，W最小，即：（140﹣a）×30+12540＝10740， 解得：a＝200 答：a的值为200元． 【点睛】考查一次函数的性质、一元一次不等式组等知识，准确理解题意，熟练掌握一次函数的增减性、弄清调运的台数是解决问题的关键． 5．（22-23八年级上·广东深圳·期末）某厨具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如下表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 200 250 电压锅 160 200 （1）一季度，厨具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中赚了多少钱？ （2）为了满足市场需求，二季度厨具店决定采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不大于电压锅的，请你通过计算判断，如何进货厨具店赚钱最多？最大利润是多少？ 【答案】（1）1400元；（2）采购18台电饭煲，32台电压锅时,最大利润是2180元． 【分析】通过审题，表格显示了两种商品的进价和售价； （1）题目给出两种电器的总数量和进货的总花费；设其中一个电器购进x台，则另一种电器购进（30-x）台，由购进总费用可以求各种电器的数量，然后再分别乘以每种电器的利润，最后把各种电器的利润相加起来； （2）题目给出了两种电器的数量之间的关系，同时记得结合表格中的数据；可以设其中的一种电器数量为 n 台，总利润为z元，从而列出方程，根据两种电器之间的数量关系，确定取值范围，从而求出利润的最大值． 【详解】解：（1）每件电饭锅的利润：250-200=50（元）；每件电压锅的利润：200-160=40（元）   设购进的电饭煲x台，则购进的电压锅（30-x）台． 由题意得：200x+160（30-x）=5600    解得：x=20 则电压锅：30-20=10（台） 总利润=50×20+40×10=1400 （元） 答：厨具店在该买卖中赚了1400元． （2）设采购的电饭煲有n 台，则采购的电压锅有（50-n）台 由题意得：总利润z=50n+40 （50-n）=2000+10n ∵n≤（50-n）， ∴n≤ 当n=18时，总利润z最大，则最大的利润为2000+10×18=2180（元） 答：采购18台电饭煲，32台电压锅时，厨具店赚钱最多，最大利润是2180元． 故答案为（1）1400元；（2）采购18台电饭煲，32台电压锅时,最大利润是2180元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利润问题，一定要认真分析表格中的数据信息和题目的要求. 【典型例题三 行程问题(一次函数的实际应用)】 1．（23-24八年级下·上海闵行·期中）甲、乙两位同学一次晨跑的路程S（米）与时间t（分）的关系如图所示．已知他们从同一地点出发，跑步的路线和总路程（1500米）也相同，其中甲先出发，途中由于鞋子问题耽误了一些时间．图中．根据图形所提供的信息，回答下列问题： (1)甲在途中耽误了______分钟； (2)乙跑步的速度是______米/分； (3)如果甲想与乙同时到达终点，那么他在解决鞋子问题后速度应提高到______米/分． 【答案】(1)10 (2)75 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和速度的相关知识解答即可． （1）根据函数图像的数据可以得到答案； （2）先求出的表达式，再利用求出的值，求出的表达式，从而求出点的坐标，最后利用速度路程时间求出速度即可； （3）分别求出甲到达终点要用的时间和需要走的路程，最后用速度路程时间求出速度即可． 【详解】（1）解：由图像可知甲是从，所以是耽误的时间， (分钟) （2）由图像可知是正比例函数， 设的表达式是， 将点代入得：，解得， ， 设的表达式为， 将点代入得：，解得， ， 当时，代入解得， ， 乙的速度为：(米/分) （3）(分钟) (米) (米/分) 2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知两地相距，甲、乙两人沿同一条道路从地到达地．如图，分别表示甲、乙两人离开地的距离与时间之间的关系． (1)在甲出发______时，两人相遇，这时他们离开地______； (2)甲的速度是______，乙的速度是______； (3)乙从地出发______时到达地． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查函数图象，解题的关键是根据函数图象得到基本的信息，然后进行求解即可． （1）根据图象可直接进行求解； （2）由图象可直接进行求解； （3）由图象可直接进行求解． 【详解】（1）解：由图象可得在甲出发时，两人相遇，这时他们离开地， 故答案为：，； （2）解：甲的速度是，乙的速度是， 故答案为：，； （3）解：乙从地出发时到达地， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·江西九江·期中）如图所示的图像反映的过程是：小强星期天从家跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后又走到文具店去买笔，然后步行回家，其中表示时间，表示小强离家的距离，根据图像回答下列问题．    (1)体育场距文具店多远？ (2)小强在文具店逗留了多长时间？ (3)小强从文具店回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)千米 (2)分 (3)千米/分 【分析】（1）小强星期天从家跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后又走到文具店去买笔，结合图形即可求解； （2）根据图示，即可求解； （3）运用图形可知文具店到家的距离，时间，由此即可求解． 【详解】（1）解：由图像看出体育场距文具店（千米）． （2）解：由图像看出小强在文具店逗留了（分）． （3）解：文具店到家的距离是千米，小强回家的时间为分钟， ∴小强从文具店回家的平均速度是（千米/分）． 【点睛】本题主要考查根据函数图像获取信息，理解函数图像中横轴、纵轴表示的意义，掌握行程问题的计算方法是解题的关键． 4．（2023·陕西咸阳·一模）周末，赵叔叔开车从西安出发去240千米远的安康游玩，当汽车行驶1.5时到达柞水县时，汽车发生故障，需停车检修，修好后又继续向前行驶，其行驶路程（千米）与时间（时）之间的关系如图所示． (1)求汽车修好后（段）与之间的函数关系式； (2)在距离西安180千米的地方有一个服务区，求赵叔叔出发后多长时间到达服务区？ 【答案】(1) (2)小时 【分析】（1）根据图象得到，，BC为直线，故设（段）的函数关系式为，代入点坐标求解即可． （2）令，代入一次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设（段）的函数关系式为， 由图可知，，， 将，代入， 得， 解得， ． （2）解：由图可知，服务区在（段）， 令，则， 解得， 赵叔叔出发小时到达服务区． 【点睛】此题考查了一次函数解析式的求解及应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的相关知识点． 5．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示时间，、表示路程），根据图象解答下列问题： (1)“龟兔再次赛跑”路程为 米； (2)它们两个约定先出发 （填“兔子”和“乌龟”），先出发 分钟； (3)乌龟跑完全程用了 分钟，兔子跑完全程用了 分钟，乌龟平均速度是 米/分，兔子平均速度是 米/分． 【答案】(1)1000 (2)乌龟，40 (3)60，10，，100 【分析】（1）根据图象直接得出结论； （2）根据图象直接得出结论； （3）根据图象直接得出乌龟和兔子所用的时间，再用路程除以时间求出所用速度． 【详解】（1）解：由图可知，“龟兔再次赛跑”的路程为1000米， 故答案为：1000 （2）由图可知，乌龟先出发，先出发40分钟， 故答案为：乌龟，40 （3）乌龟用60分钟跑完全程，兔子用10分钟跑完全程， 乌龟的平均速度为＝（米/分）， 兔子的平均速度为＝100（米/分）， 故答案为：60，10，，100 【点睛】本题考查了一次函数的应用，具备在直角坐标系中的读图能力是解题的关键． 【典型例题四 几何问题(一次图数的实际应用)】 1．（2023八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向上平移2个单位后得到直线，已知经过点A（－4， 0）． （1）求直线的解析式； （2）设直线与y轴交于点B，点P在坐标轴上，△ABP与△ABO的面积之间满足 ， 求P的坐标． 【答案】（1）；（2），，或 【分析】（1）由平移和待定系数法求出直线l的解析式； （2）先求出三角形AOB的面积，进而得出三角形ABP的面积，三角形ABP的面积用三角形PAF和BAF的面积之和建立方程求出m的值． 【详解】解：（1）∵将直线y＝kx（k≠0）沿y轴向上平移2个单位得到直线l， ∴设直线l解析式为y＝kx+2， ∵直线l经过点A（﹣4，0） ∴﹣4k+2＝0， ∴k＝， ∴直线l的解析式为y＝x+2， （2）当x=0时，y=2， ∴ 当点P在轴上时， 或；   当点P在y轴上时， 或； 综上所述，点P的坐标为，，或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的平移，三角形的面积，解本题的关键是分类讨论，求出的长． 2．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知直线和直线相交于点． （1）求点坐标； （2）若与轴交于点，与轴交于点，求面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）联立两直线解析式即可求出点A的坐标； （2）令y=0，分别求出点B、C的坐标，从而得出BC的值，即可求出三角形的面积． 【详解】解：（1）由题意得： 解得： 当时，， ∴点坐标为：； （2）由题意得出：，解得，，故点B的坐标为：； ，解得，，故点B的坐标为：； ∴ ∴． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，将一次函数的图象与面积综合在一起的问题，是考查学生综合素质和能力的热点题型，它充分体现了数学解题中的数形结合思想和整体转化思想． 3．（22-23八年级下·吉林·期末）在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝5cm．现将AB的长减少x（cm），BC的长度不变． （1）求出矩形的面积y（单位：cm2）与x的函数关系式； （2）直接写出自变量x的取值范围； （3）此函数 　 　一次函数（填“是”或“否”）． 【答案】（1）y＝﹣5x＋50；（2）0＜x＜10；（3）是 【分析】（1）根据矩形的面积＝长×宽，代入相应的值即可； （2）根据实际，矩形的边长大于0，从而可求得x的范围； （3）根据一次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝5cm．现将AB的长减少x（cm）， ∴AB的长度为（10﹣x）cm， ∴矩形ABCD的面积：y＝5（10﹣x）， 整理得：y＝﹣5x＋50； （2）由题意可得：10﹣x＞0，x＞0， 解得：0＜x＜10； （3）y＝﹣5x＋50是一次函数， 故答案为：是． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，矩形的性质，解答的关键是理解清楚题意，列出相应的等式． 4．（22-23八年级下·山西·阶段练习）综合与探究： 如图，直线的表达式为，与轴交于点，直线交轴于点，，与交于点，过点作轴于点，． （1）求点的坐标； （2）求直线的表达式； （3）求的值； （4）在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在，点或 【分析】（1）因为与轴交于点，所以令中，求出x，即知点C坐标； （2）求出点A、B坐标，设直线的表达式为，利用待定系数法求解即可； （3）根据求解即可； （4）由的面积可得AP长，结合A点坐标，易知P点坐标. 【详解】解：令中 得：， 解得 ， 直线交轴于点 轴， 点的纵坐标为 在中， 当时，，解得， 设直线的表达式为， 将代入得，解得 直线的表达式为 轴， ， ，点P在x轴上 或 所以存在点或使得 【点睛】本题考查了一次函数与三角形的综合题，涉及了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求解析式、与坐标轴围成的三角形的面积，熟练的掌握一次函数的图象是解题的关键. 5．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知平面直角坐标系内的点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，B（3，1）． （1）求点A的坐标； （2）点P是x轴上一动点，当PA+PB最小时，求：①点P的坐标；②PA+PB的最小值． 【答案】（1）A（﹣1，2）；（2）①P（，0）；②5 【分析】（1）依据点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，即可得到A（﹣1，2）； （2）作点A关于x轴的对称点C，则C（﹣1，﹣2），利用待定系数法即可得到直线BC的解析式，进而得到点P的坐标；依据勾股定理依据轴对称的性质，即可得到PA+PB的最小值． 【详解】解：（1）∵点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数， ∴， 解得1＜m＜3， ∴m＝2， ∴A（﹣1，2）； （2）如图，作点A关于x轴的对称点C，则C（﹣1，﹣2）， 连接BC交x轴于P，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则 ， 解得， ∴y＝x﹣； ①令y＝0，则x＝，即P（，0）； ②如图，过C作CD∥x轴，过B作BD∥y轴，则CD＝4，BD＝3， ∴Rt△BCD中，BC＝＝5， 即PA+PB的最小值为5． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【典型例题五 其他问题(一次函数的实际应用)】 1．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上的物体后，弹簧伸长．求弹簧总长y（单位：）与所挂物体质量x（单位：）的函数表达式．（不用写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数解析式，弹簧总长弹簧原来的长度挂上重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵弹簧挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，且挂上的物体后，弹簧伸长， ∴挂上的物体后，弹簧伸长， ∵弹簧不挂重物时长， ∴弹簧总长． 2．（22-23八年级下·浙江台州·期末）如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中的信息，解答问题：    碗的数量（个） 高度 (1)求整齐叠放在桌面上碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式； (2)当碗的数量为个时，这摞碗的高度是多少？ 【答案】(1) (2)高度是 【分析】（1）根据表格信息可知碗的数量与高度成正比例关系，设碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式，把表格中的数据代入计算即可求解； （2）把代入（1）中解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据表格中信息可知，碗的数量（个）增加，高度也在增加，即成正比例关系， ∴设碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式， 把，，，代入解析式得， ，解得，， ∴解析式为， 验证，当时，；当时，；与表格中数据一致， ∴碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式． （2）解：由（1）可知碗的高度（单位：）与碗的数量（单位：个）之间的函数关系式， ∴当时，， ∴当碗的数量为个时，这摞碗的高度是． 【点睛】本题主要考查正比例函数在实际问题中的运用，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 3．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）据研究，地面上空处的气温（℃）与地面气温（℃）有如下关系：．现用气象气球测得某时离地面处的气温为8.8℃，离地面处的气温为6.8℃． (1)求，的值． (2)求地面上空处的气温． 【答案】(1)， (2)2℃ 【分析】（1）利用待定系数法即可求出，的值； （2）结合（1）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：根据题意列方程组 解得，. （2）解：由（1）得：. 故当时，℃ 【点睛】本题考查一次函数在实际问题中的应用．利用待定系数法求出解析式是解题关键． 4．（22-23八年级上·上海·期中）某水电站的蓄水池有个进水口，个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图（甲）所示，出水口出水提与时间的关系如图（乙）所示．已知某天点到点，进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图（丙）所示，根据图像说明： (1)进水口单位时间内进水量是多少？出水口单位时间内出水量是多少？ (2)求点到点这段时间水池内水量与时间的函数解析式及定义域； (3)试说明点到点和点到点这个时间段内进出水口的开放情况． 【答案】(1)（万立方米/时），（万立方米/时） (2) (3)点到点时一只进水管进水，一只出水管出水；点到点时两只进水管进水，一只出水管出水 【分析】（1）根据图甲，乙可知进水口的进水量，出水口的出水量，由此即可求解； （2）根据图丙，可知点到点只有进水管进水，由此即可求解； （3）根据图丙，从点开始水量下降，到点时保持不变，从点到点时水池水量保持不变，由此即可求解． 【详解】（1）解：由图甲可知，当时间是小时时，进水量为万立方米，从图乙可知，当时间是小时时，出水量为万立方米， ∴进水口单位时间内进水量是（万立方米/时），出水口单位时间内出水量是（万立方米/时）． （2）解：点到点，则有，，根据图丙，设水量与时间的函数解析式为， ∴，则， ∴水量与时间的函数解析式为，定义域为． （3）解：点到点，根据图丙得，，，设直线方程的解析式为， ∴，解方程组得，， ∴点到点时的直线方程为，即一只进水管进水，一只出水管出水； 当时间从点到点时，若一只进水管进水，一只出水管出水，则水池的水量，从图丙可知，水位恒定在万立方米，则两只进水管进水，一只出水管出水． 【点睛】本题主要考查一次函数图形的性质，理解函数图形的性质，对图形上数据分分析，结合实际情况得出结论是解题的关键． 5．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）如图是温度计的示意图，图中左边的刻度表示摄氏温度，右边的刻度表示华氏温度． 摄氏温度 … 0 10 … 华氏温度 … 68 … (1)从图中提供的信息，完成下表 (2)小明发现华氏温度与摄氏温度之间成一次函数关系，试求出与之间的关系式 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解图示，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 根据图示信息填表，再运用待定系数法解一次函数即可． 【详解】（1）解：如图所示，时，；时，；时，， 故答案为：； （2）解：根据题意，设一次函数解析式为，把代入得， ， 解得，， ∴与之间的关系式为：． 【变式训练1 分配方案问题(一次函数的实际应用)】 1．（2023·上海虹口·二模）甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y（件）与时间x（小时）为一次函数关系，部分数据如下表所示． x（小时） 2 4 6 y（件） 50 150 250 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？ 【答案】（1）y＝50x﹣50；（2）经过3小时恰好装满第1箱． 【分析】（1）根据已知条件乙组加工的零件数量y（件）与时间x（小时）为一次函数关系，利用待定系数法代入两对x、y值即可求函数解析式； （2）根据题意甲生产零件+乙生产零件=340件（1箱），时间相同，故设时间为x小时恰好装满第1箱可列式80x+50x﹣50＝340，解得的x即为所求. 【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）把（2，50）（4，150）代入， 得解得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝50x﹣50； （2）设经过x小时恰好装满第1箱， 根据题意得80x+50x﹣50＝340， ∴x＝3， 答：经过3小时恰好装满第1箱． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解本题的关键为乙装箱的数量可用时间表示，明确这个隐藏条件即可解题. 2．（22-23八年级下·四川成都·期中）某通讯移动通讯公司手机费用有A、B两种计费标准，如下表： 月租费（元/部） 通讯费（元/分钟） 备注 A种收费标准 50 0.4 通话时间不足1分钟按1分钟计算 B种收费标准 0 0.6 设某用户一个月内手机通话时间为x分钟，请根据上表解答下列问题： （1）分别写出按A类、B类收费标准，该用户应缴纳手机费用的关系式； （2）如果该用户每月通话时间为300分钟，应选择哪种收费方式？说说你的理由； （3）如果该用户每月手机费用不超过90元，应选择哪种收费方式？说说你的理由； 【答案】（1）WA=50+0.4x；WB=0.6x；（2）应选择A种计费标准，更合适更省钱；（3）应该选用B种计费标准． 【分析】（1）根据手机费=月租费+通话费列出两种方式的用户应缴纳手机费用的解析式即可； （2）分别计算出两种方式通话300分钟时应付的手机费，通过比较可得出用哪种方式省钱合适； （3）根据题（1）的解析式，比较哪种方式通话时间长就选择哪种收费方式． 【详解】解：（1）设按A类、B类收费标准，该用户应缴纳手机费用为WA、WB，由题意得： WA=50+0.4x；WB=0.6x； （2）该用户每月通话时间为300分钟时， 按A类收费标准，该用户应缴纳手机费用为：WA=50+0.4×300=170（元）； 按B类收费标准，该用户应缴纳手机费用为：WB=0.6×300=180（元）； 因为WA＜WB，所以应选择A种计费标准，更合适更省钱； （3）该用户每月手机费用不超过90元时，选用A种计费标准通话时长最长为： （90-50）÷0.4=100（分钟）； 选用B种计费标准通话时长最长为：90÷0.6=150（分钟）， 因为选用A种计费标准通话最长时长＜选用B种计费标准通话最长时长， 所以应该选用B种计费标准． 故答案为（1）WA=50+0.4x；WB=0.6x；（2）应选择A种计费标准，更合适更省钱；（3）应该选用B种计费标准． 【点睛】本题考查代数式的运用，一次函数的解析式，设计方案的选择，解答时求出函数的解析式是关键． 3．（2024·陕西宝鸡·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 【答案】(1)， (2)方案一 【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键． （1）根据两种销售方案表示出销售总价即可； （2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案． 【详解】（1）解： 与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， ， 该班选择方案一购买的肥料较多． 4．（2024·陕西榆林·三模）刘阿姨从陕西老家通过快递公司给在外省的亲人邮寄本地土特产，寄快递时，快递公司规定：不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用．若刘阿姨给外省的亲人邮寄了千克本地土特产，所支付的快递费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若刘阿姨所支付的快递费用为元，求刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量． 【答案】(1) (2)刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量是千克 【分析】（）根据“不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用”即可解答； （）根据与之间的函数关系式为，令即可解答． 本题考查了一次函数的实际应用，审清题意，找出数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用，， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：∵刘阿姨所支付的快递费用为元，与之间的函数关系式为， ∴令,则， ∴， 答：刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量是千克． 5．（2024·辽宁抚顺·二模）过去几年，某公司经历了重重考验，也在挑战中不断成长，2024年该公司为促进生产，提供了两种付给员工周报酬的方案，两种方案员工得到的周报酬y（元）与员工生产的件数x（件）之间的关系如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：    (1)求方案二y关于x的函数表达式； (2)如果你是该公司的员工，你该如何根据自己的生产能力选择方案． 【答案】(1)； (2)若每周生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每周生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每周生产产品件数超过30件，则选择方案一． 【分析】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确信息和掌握待定系数法是解题的关键． （1）设方案二的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据图象根据方案一和方案二的交点求解即可． 【详解】（1）设方案二的函数表达式为 由图象可得该函数的图像经过点， 把，代入，得 ，解得 方案二的函数表达式为． （2）由图像可得， 若每周生产产品件数不足30件，则选择方案二； 若每周生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种； 若每周生产产品件数超过30件，则选择方案一． 【变式训练1 大利润问题(一次函数的实际应用)】 1．（2024·陕西渭南·二模）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件，其进价与售价如表所示： 价格 类型 进价(元/件) 售价(元/件) 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为x件，销售完甲、乙两种汉服的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润． 【答案】(1)y与x之间的函数关系式为 (2)当甲汉服购进40件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利润为8800元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解数量关系并确定出等量关系是解题的关键． （1）根据总利润=两种服装利润之和列出函数解析式； （2）根据乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，得出x的取值范围，再根据函数的性质求函数的最值． 【详解】（1）解：由题意得， 整理得，， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵乙的数量不能超过甲的数量的2倍， ∴， 解得， 由（1）知，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，y最大， 答：当甲汉服购进40件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利润为8800元． 2．（2024·江苏无锡·二模）某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如下表： A型产品（元/件） B型产品（元/件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． (1)求A、B两种型号产品各生产了多少件？ (2)若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值． 【答案】(1)A型产品生产了200件，B型产品生产了300件 (2)利润的最大值是72000元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点， （1）根据该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据（1）中的结果和题意，可以写出y与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以求得最大利润； 解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 【详解】（1）设A型产品生产了m件，则B型产品生产了件， 由题意得：， 解之得：， ， ∴A型产品生产了200件，B型产品生产了300件； （2）由题意得： ， 随若x的增大而增大， 当时，y有最大值72000， 答：利润的最大值是72000元． 3．（23-24九年级下·湖南永州·期中）某公司每月生产甲、乙两种型号的配件共20万个，且所有配件当月全部售出，其中成本、售价 （单位元）如下表： 配件 甲 乙 成本 售价 (1)若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的配件分别是多少万个？ (2)如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)甲、乙两种型号的配件分别为15万个，5万个 (2)甲型号配件生产万个，乙型号配件生产万个，最大利润为108万 【分析】本题考查了二元一次方程的应、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲、乙两种型号的配件分别为万个，万个，依题意，列式，再解方程，即可作答． （2）设甲型号配件生产万个，利润为，列出不等式得，再根据题意得出，运用一次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号的配件分别为万个，万个 根据题意得，， 解方程得，， 所以，甲、乙两种型号的配件分别为15万个，5万个 （2）解：设甲型号配件生产万个，利润为，则有 ， 解得：， 所以，， 而一次函数随的增大而增大， 故当时，有最大值， 所以公司4月份最大利润为108万元． 4．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）某水果超市想购进甲、乙两种水果进行销售，甲种水果每千克的价格为30元，如果一次性购买超过40千克，超过部分的价格打八折．设水果超市购进甲种水果x千克，付款y元． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)已知乙种水果的价格为每千克26元，若超市计划一次性购进甲、乙两种水果共80千克，且甲种水果多于40千克，但又不超过50千克，问如何分配甲、乙两种水果的购进数量，才能使超市付款总金额W最少？最少付款额是多少元？ 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为 (2)当购进甲种水果50千克，乙种水果30千克时，才能使超市付款总金额W最少，最少付款额是2220元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可分当时和当时，然后问题可求解； （2）设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果为千克，由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：当时，则；当时，则； 综上所述：y与x之间的函数表达式为； （2）解：设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果为千克，由题意可知：， ∴， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵， ∴当时，W取最小值，最小值为； 答：当购进甲种水果50千克，乙种水果30千克时，才能使超市付款总金额W最少，最少付款额是2220元． 5．（23-24八年级下·山西太原·期中）1987年6月18日“国槐”被定为太原市的市树，今年春季，小区为绿化环境分别购买了两种规格的国槐树苗，其中A种国槐树苗的价格为75元/株，B种国槐树苗的价格为100元／株．若购买这两种国槐树苗共45株，其中A种国槐树苗的数量不超过B种国槐树苗数量的2倍，请你通过计算设计最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【答案】费用最少的方案是购买A种树苗棵，栽种B种花卉的数量为棵，最小费用为元． 【分析】本题考查了一元一次不等式及一次函数的应用．设栽种A种国槐树苗的数量为棵，则栽种B种国槐树苗的数量为棵，根据题意列出不等式求得x的范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设购买A种国槐树苗x棵，购买两种树苗所需的费用是y元，则栽种B种国槐树苗的数量为棵， 根据题意，可得：， ∵A种国槐树苗的数量不超过B种国槐树苗数量的2倍， ∴， 解得：， ∵， 随x的增加而减少， ∵x取整数， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴费用最少的方案是购买A种国槐树苗棵，栽种B种国槐树苗的数量为棵，最小费用为元． 【变式训练3 行程问题(一次函数的实际应用)】 1．（2024·江苏盐城·三模）小丽驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小丽往返均匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，出行全程一共用时小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图所示． (1)该电动汽车每小时的充电量为 ，小丽在景区游玩了 ； (2)电动汽车从家出发时电量为，求的值； (3)求线段所表示的与之间的函数表达式． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）列式计算可得电动汽车每小时的充电量为，由于返回时间与去时行驶时间相同，可以得到小丽在景区游玩时间； （2）先求出汽车行驶时每小时的耗电量，可知到达景点时汽车剩余电量为； （3）用待定系数法可得线段所表示的与之间的函数表达式． 【详解】（1） 电动汽车每小时的充电量为 小丽往返均匀速行驶 返回时间与去时行驶时间相同，即为： 段占用时间为 段时间为： 故答案为：； （2）汽车每小时的耗电量均相同，且到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同 耗电量为： 到达景点时汽车剩余电量为： （3）段时间为：，且到达景点时汽车剩余电量为： 汽车每小时的耗电量为，返回时间为 当小丽回家时，剩余电量为： 设段的函数表达式为： 将代入可得： 解得： 段的函数表达式为： 【点睛】本题考查一次函数的应用以及待定系数法求解析式，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 2．（2024·河南信阳·三模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； (2)当时，写出的函数关系式为________； (3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 【答案】(1) (2) (3)小明选择品牌共享电动车更省钱，可以省元 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用，理解一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据一次函数图象可得骑行10分钟后的路程和费用，由此即可求解； （2）根据的图象，运用待定系数法即可求解； （3）分别算出两种品牌的费用进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，（元），（）， ∴（元/）， 故答案为； （2）解：设时，，且函数图象过， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：； （3）解：， ∴， 设品牌的费用为，且图象过， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，品牌的费用为（元）， 品牌的费用为（元）， ∵，且（元）， ∴小明选择品牌的共享电动车更省钱，可以省元． 3．（2024·天津河东·二模）已知甲、乙、丙三地依次在同一条直线上，乙地距离甲地，丙地离甲地，一艘游轮从甲地出发，先用了匀速航行到乙地；从乙地驶出后接着匀速航行了到丙地；从丙地进行休整后，返航回甲地．在返航途中，因天气影响匀速航行了后减速，继续匀速航行回到甲地．下面图中x表示时间，y表示游轮离甲地的距离．图象反映了这个过程中游轮离甲地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息解答下列问题： (1)①填表： 游轮离开甲地的时间/ 10 15 20 58 游轮离开甲地的距离/ ______ 280 ______ ______ ②填空：游轮从乙地到丙地的速度为______； ③当时，请直接写出游轮离甲地的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当游轮到达乙地时，一艘货轮从甲地出发匀速航行去丙地，已知货轮的速度为，求货轮追上游轮时离甲地的距离是多少？（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①200；360；120；②20；③ (2)货轮追上游轮时离甲地的距离是 【分析】本题考查了一次函数的应用： （1）①根据图象，用时间×速度=路程即可求解； ②用“路程÷时间=速度”即可求解； ③分两种情况：当时，当时，根据图象求出函数解析式即可求解； （2）根据题意列出方程可得货轮追上游轮时，再列式计算即可； 能从图象中获取相关信息是解题的关键． 【详解】（1）解：①游轮离开甲地，与甲地的距离为： ， 游轮离开甲地，与甲地的距离为： ， 游轮离开甲地，与甲地的距离为：， 故答案为：200；360；120； ②， 答：游轮从乙地到丙地的速度为， 故答案为：20； ③当时， ， 当时， ， ． （2）由题意得： ， 解得：， ， 答：货轮追上游轮时离甲地的距离是． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）小明和小强两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，1小时后小强出发，小明则放慢速度继续前行，小明和小强距甲地的距离y（千米）与小明出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小强同学骑自行车的速度为___________千米/小时； (2)求小明距甲地的距离y与x之间的函数关系式； (3)当小强到达乙地时，求小明距乙地的距离． 【答案】(1) (2) (3)千米． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式时解题的关键． （1）根据：速度=路程/时间，计算即可． （2）利用待定系数法求解即可． （3）根据待定系数法求出小强距甲地距离与之间的函数关系式，当小强到达乙地时，，代入求出相对应的值，将的值代入，可得，即为小明距离甲地的距离，在根据：小明距离乙地的距离＝甲乙两地的距离－小明距离甲地的距离，计算即可． 【详解】（1）由图象可知，小强同学在小时内骑了千米， 故其骑自行车的速度为（千米/小时）， 故答案为． （2）设小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 当时，点和在直线上，代入到中， 可得，解得， 即：当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为 点和在直线上，代入到中， 可得，解得， ∴当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为． 综上所述：小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为. （3）设小强距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 小强同学骑自行车的速度为千米/小时，且点、在直线上， ∴，解得， 故小强距离甲地的距离与之间的函数关系式为：， 当小强到达乙地时，，代入解得：，解得：， 将代入到中，得：， 故（千米）， ∴当小强到达乙地时，小明距乙地的距离为千米． 5．（23-24七年级下·山东淄博·期中）五一节期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，如图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象． (1)求出段图象的函数表达式； (2)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，掌握待定系数法求解函数解析式是解本题的关键； （1）设段图象的函数表达式为，再建立方程组解题即可； （2）把代入（1）中的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设段图象的函数表达式为 把、代入，得 解得 所以段图象的函数表达式为 （2）当时，他们离家的距离， 此时，离目的地的距离是； 【变式训练4 几何问题(一次图数的实际应用)】 1．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】或． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式；当时求解的值及当时得出，．得，，根据可得，进而可求解． 【详解】解：令中，则， 解得：， ， 令中，则， ． 设点的坐标为， ， ， ， ， 解得：或， 即点的坐标为或． 2．（22-23九年级下·山东滨州·期中）已知y关于x的一次函数的图象经过两点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设一次函数与x轴交于A，则，根据进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：设一次函数与x轴交于A，则， ∴， ∴． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图所示，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．    (1)求A、B两点的坐标； (2)若P是x轴上的点，且，求的面积． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点． （1）由函数解析式，令求得A点坐标，令求得B点坐标； （2）由，可得，，从而，然后分两种情况讨论，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）在函数中，令，则， 解得， ∴点A的坐标为， 在函数中，令，则， ∴点B的坐标为， （2）∵， ∴，， ∴， ∴当点P在点A右边时，， ∴． ∴当点P在点A左边时，， ∴． 综上所述，的面积为或． 4．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，点为直角边边上一动点，现从点出发，沿着的方向运动至点A处停止，设点运动的路程为的面积为．（点不与点重合） (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当的面积等于面积一半时，求出点运动的路程的值． 【答案】(1) (2)或5 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，找到函数关系式是解题的关键． （1）分当时，当时，两种情况讨论求解即可； （2）根据（1）所求函数代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，点在上运动， ， ， ； 当时，点在上运动， ， ， ； 综上所述，； （2）解：∵， ∴， 当时，则有； 当时，则有，解得：； 综上所述：当的面积等于面积一半时，则或5． 5．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，A为直线上一点，轴于点C，交直线于点B． (1)若点A的坐标为，，求k的值； (2)若，当点A在第一象限内直线上运动时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合： （1）先求出，进而求出，则，进一步得到，据此求出点B的坐标，即可利用待定系数法求出对应的函数解析式； （2）设，则，可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，轴 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴直线解析式为， ∴， ∴， ∴． 【变式训练5 其他问题(一次函数的实际应用)】 1．（22-23八年级上·全国·课后作业）图中两个时针的指针分别表示同一时刻的北京时间和东京时间．设北京时间为t（时），东京时间为y（时），就的范围，分别求y关于t的函数表达式，并填写下表（同一时刻的两地时间）． 北京时间 8：30 4：30 东京时间 12：10 【答案】，见解析． 【分析】由图可得：同一时刻，东京时间比北京时间多1小时，然后可得y关于t的函数表达式，再根据函数表达式填表即可． 【详解】解：由图可得：同一时刻，东京时间比北京时间多1小时， 设北京时间为t（时），东京时间为y（时）， 故y关于t的函数表达式为， 填表为： 北京时间 8：30 11：10 4：30 东京时间 9：30 12：10 5：30 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． 2．（2023·江苏无锡·模拟预测）某批发商欲将一批水产品委托货运公司由地运往地销售，已知、两地相距，货运车辆的平均速度是，货运公司的收费项目及收费标准如下表： 运输量单价（元/吨千米） 冷藏费单价（元/吨时） 过路过桥费（元） (1)若该批发商有水产品要运输，货运公司收取的总费用为元，写出与之间的函数表达式． (2)如果该批发商想运送水产品，支付运费元，货运公司愿意运送这批水产品吗？ 【答案】(1) (2)愿意 【分析】（1）先计算出行驶时间，然后把运输费用、冷藏费用和过路过桥费用加起来即可求解． （2）根据（1）中表达式，当时，计算出费用，然后与1500进行比较后进行判定即可． 【详解】（1）解：货运车辆行驶时间：（小时）， 与之间的函数表达式为：． （2）当时，， ， 货运公司愿意运送这批水产品． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用实际问题列一次函数关系式，并运用一次函数研究实际问题． 3．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）某汽车行驶时油箱中余油量（升）与行驶时间（小时）的关系如下表： 行驶时间t/小时 余油量Q/升 1 55 2 50 3 45 4 40 5 35 观察表格解答下列问题 (1)汽车行驶之前油箱中有多少升汽油？ (2)写出用时间表示余油量的代数式； (3)当时，求余油量的值． 【答案】(1)60升 (2)Q= (3)当时，余油量的值为升 【分析】（1）根据表格，汽车每行驶1小时含油量相同，用行驶时间1小时的余油量减去行驶2小时的余油量即可求得每小时减少的量，再加上行驶1小时的余油量即可求得答案． （2）根据表中，原油量为60升，每行驶1小时就减少5升，则可得余油量与行驶时间的代数式． （3）当时，代入（2）中的代数式即可求得答案． 【详解】（1）解：由表格可以看出，汽车每行驶1小时耗油量相同，其数值为， 所以汽车行驶之前油箱中的汽油量为60升． （2）由表格可知，行驶时间t与剩油量Q的关系式为Q=． （3），（升）， 答：当时，余油量的值为升． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据已知信息建立一次函数表达式是解题的关键． 4．（22-23八年级上·山东青岛·期中）杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同．称重时，秤钩所挂物重为x（斤）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y（厘米）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据，且y是x的一次函数． x（斤） 0 0.75 1.00 2.25 3.25 y（厘米） －2 1 2 4 7 注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y（厘米）为正，在右侧时为负． （1）根据题意，完成表格； （2）请求出y与x的关系式； （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？ 【答案】（1）1.50，11；（2）y＝4x-2；（3）4.25斤 【分析】（1）分析表格中数据填表即可． （2）设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可； （3）将y＝15代入函数关系式中求x的值即可． 【详解】解：（1）由表格中数据可知，重量每增加0.25斤，秤砣到秤纽的水平距离会增加1厘米， 由此可得第一行数字应填[4-（-2）]×0.25=1.50， 第二行数字应填（3.25÷0.25）-2=11； 故答案为：1.50，11 （2）设y＝kx+b， 将（0，－2）和（1，2）分别代入表达式中， 得 解得：k＝4，b＝－2， ∴y与x的关系式为：y＝4x－2； （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，即y＝15 将y＝15代入得，15＝4x－2中 解得：x＝4.25（斤） ∴当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是4.25斤． 【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题关键是熟练运用待定系数法求出一次函数解析式． 5．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样？费用是多少？ (3)小马准备300元去该体育馆办理套餐，选择哪种套餐划算？请说明理由． 【答案】(1)套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； (2)去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； (3)300元去该体育馆办理套餐，选择套餐二更划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是待定系数法求一次函数表达式． （1）设套餐一函数表达式为，设套餐二函数表达式为，根据图像，分别代入即可作答； （2）根据图像，套餐一和套餐二的交点处，两种套餐费用一样，即，进而计算即可； （3）分别求出300元的套餐一和套餐二的健身次数，进而比较即可． 【详解】（1）解：设选择套餐一时，y关于x的函数表达式为， 由题意，得， 解得， ∴， 设选择套餐二时，y关于x的函数表达式为， 把点和点分别代入， 即， 解得， ∴， ∴套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； （2）解：根据题意，当时，两种套餐费用一样， 即：， 解得， 此时， ∴去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； （3）解：办套餐一时，， 解得， 办理套餐二时，， 解得， ∵， ∴300元去该体育馆办理套餐，选择套餐二更划算． 学科网（北京）股份有限公司 $$