第12讲 三角形中的边角关系（二） （3个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第12讲 三角形中的边角关系（二） （3个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【例1】（2023秋•裕安区校级期中）一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为　　 A．10 B．12 C．14 D．16 【变式1】（2023秋•固镇县期末）已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 　　． 【变式2】（2023秋•淮北期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3】（2023秋•凤阳县期末）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为 ． （1）第三边的范围为 　　． （2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 知识点2．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【例2】（2023秋•庐阳区期末）如图，在中，，，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•凤阳县期中）如图是小海为学校即将举办的“首届数学核心素养展示大赛”制作宣传海报时设计的艺术数字“1”，若，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•颍州区期末）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内．若，则　　． 【变式3】（2023秋•怀宁县期末）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，． （1）的度数为 　　； （2）若，求的度数． 知识点3．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【例3】（2023秋•海曙区校级期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022秋•蜀山区期末）图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，，，则图2中的度数为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•蒙城县期末）如图，在中，、分别是、上的点，点在的延长线上，，，，则． 【变式3】（2023秋•贵池区期末）【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，．则　　度，　　度． （2）与的数量关系为　　，并说明理由． 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于点．的外角平分线与的外角平分线相交于点．直接写出与的数量关系为　　． 经典题型汇编 题型一、画三角形的高 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，画的一边上的高，下列画法正确的是（     ） A．   B．   C．   D．   2．（21-22八年级上·河北唐山·期中）在画三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是 . 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，是的两条高，，．    (1)请画出，； (2)若，求的长． 题型二、三角形的内角和定理 4．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）若三角形三个内角的比是1:3:6，则最小的内角度数为 ． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知点D在内，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知：在中，，是的角平分线，求和的度数． 题型三、直角三角形的两个锐角互余 7．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，是的高，是的角平分线，相交于点F，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是高，平分，，，则 ．    9．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，是的角平分线，点在是上，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型四、三角形的外角的定义及性质 10．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是延长线上一点，，则的度数为（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 11．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）在中，是高，是角平分线，若，，则的度数为 ． 12．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图所示，为的角平分线，为的高，若，，求的度数． 题型五、三角形平分线的定义 13．（22-23八年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，分别是，的平分线，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 14．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，平分，，，则    15．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）完成下面证明：如图，平分，．求证． 证明：∵平分 ∴（ ） ∵（ ） ∴ （ ）． ∴（ ） 题型六、锐角互余的三角形是直角三角形 16．（23-24八年级上·安徽六安·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 17．（22-23八年级上·全国·课后作业）直角三角形的判定定理：有两个角 的三角形是直角三角形． 18．（22-23八年级上·安徽亳州·期中）如图，，的顶点F、G分别落在直线 AB、上，交于点H，平分．若，，求的度数． 试题练习 一、单选题 1．（20-21八年级上·安徽亳州·期中）三角形的中线是（　　　） A．直线 B．线段 C．射线 D．以上都不正确 2．（21-22八年级上·安徽安庆·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．三角形的高都在三角形内 B．三角形的三条中线相交于三角形内一点 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度 3．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）在直角三角形中，一个锐角为，则另一个锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，于点，点和点分别是和上一点，，交于点，下列说法正确的是（    ）    A．是的高线 B．是的高线 C．是的高线 D．是的高线 5．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）如图， 已知， ， 则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图所示，在中，点D，E，F分别为，， 的中点，且的面积为36，则阴影部分的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 7．（23-24八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，分别是的高和角平分线，已知，，则的度数为（） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，的三条角平分线交于，，为，上点，垂足为，下列正确的是（    ） A． B． B． C． D． 9．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，沿直线折叠，使点与边上的点重合，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 10．（20-21八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，是的角平分线，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（21-22八年级上·安徽合肥·期中）如图，为的中线，，．若的周长，则的周长为 ． 12．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，与的平分线交于点P，设的度数为x度，的度数为y度，则y与x之间的函数关系式为 ． 13．（21-22八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ． 14．（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）如图，是内一点，连接、、，是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，的外角平分线和的外角平分线相交于点，若，，则 ． 三、解答题 15．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成55和45两部分，求和的长．    16．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，分别过的顶点A，作．若，，求的度数． 17．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知：如图，中，，为上一点，连接平分，分别交于点，若，求证：    18．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）已知：如图，中，平分，于点E，，，求的度数．    19．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，为角平分线，D为边上一点（不与点A，B重合），连接交于点O．    (1)若，为高，求的度数； (2)若，为角平分线，求的度数． 20．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，点是边上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，（）．    (1)求的度数； (2)若中有两个角相等，求的值． 21．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）已知的面积为S，根据下列条件完成填空. 图1                    图2                            图3 (1)是的边BC上的中线，如图1，则的面积为 （用含S的式子表示，下同）； 是的边上的中线，如图2，则的面积为 ； 是的边上的中线，如图3，则的面积为 ；…… (2)在图2022中，是的边上的中线，则的面积为 . 22．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）如图，在正方形网格中有一个格点三角形（的各顶点都在格点上）．    (1)画出中边上的高； (2)将先向上平移3格，再向右平移4格，画出平移后的； (3)在图中画出一个锐角格点三角形，使得其面积等于的面积，并回答满足条件的点有多少个． 23．（23-24八年级上·安徽六安·期中）在锐角中，，将的顶点放置在边上，使的两边分别与边，交于点，（点不与点重合，点不与点重合）．设，． 【发现】若． （1）如图1，当点与点重合，时，_______； （2）如图2，当点，均不与点重合时，_______ 【探究】 判断，和之间满足怎样的数量关系？并写出你的理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 三角形中的边角关系（二） （3个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 【例1】（2023秋•裕安区校级期中）一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为　　 A．10 B．12 C．14 D．16 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 【解答】解：第三边的取值范围是大于4且小于8，又第三边是偶数，故第三边是6． 则该三角形的周长是14． 故选：． 【点评】首先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据第三边是偶数确定第三边的长． 【变式1】（2023秋•固镇县期末）已知三角形两边长分别为6和3，第三边的长是整数，这个三角形周长的最小值是 　13　． 【分析】根据三角形三边关系即可求解． 【解答】解：设第三边长为， ， 第三边为整数， 最小整数为4， 周长最小为， 故答案为：13． 【点评】本题考查三角形的三边关系，正确得出第三边的取值范围是解答的关键． 【变式2】（2023秋•淮北期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【解答】解：、，不能构成三角形，不符合题意； 、，不能构成三角形，不符合题意； 、，能构成三角形，符合题意； 、，不能构成三角形，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查三角形的三边关系，关键要明白能组成三角形的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形． 【变式3】（2023秋•凤阳县期末）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为 ． （1）第三边的范围为 　　． （2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 【分析】（1）三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，据此可求得答案． （2）先求得第三边的长度，然后计算三角形的周长并按边的相等关系分类即可． 【解答】解：（1）根据三角形两边的和大于第三边，则 ． 即． 根据三角形两边的差小于第三边，则 ． 即． 综上所述 ． 故答案为：． （2）第三边的长为奇数， 第三边的长为． 三角形的周长． 两条边的长为，另外一条边的长为， 这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形． 【点评】本题主要考查三角形三边之间的大小关系以及三角形按边的相等关系分类，牢记三角形三边之间的大小关系（三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边）和三角形按边的相等关系分类是解题的关键． 知识点2．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【例2】（2023秋•庐阳区期末）如图，在中，，，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据在直角三角形中，两锐角互余得出，根据，，得到，再根据三角形外角的性质，即可得出的度数． 【解答】解：中，，， ， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，外角的性质，掌握三角形内角和定理、外角的性质、平行线的性质是解题的关键． 【变式1】（2023秋•凤阳县期中）如图是小海为学校即将举办的“首届数学核心素养展示大赛”制作宣传海报时设计的艺术数字“1”，若，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】延长交于点，过点作交于点，根据可求出，根据可求出，再证得，然后利用三角形的内角和定理可求出的度数． 【解答】解：延长交于点，过点作交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，解答此题的关键是熟练掌握三角形的内角和等于，两直线平行同位角相等；垂直于通一条直线的两条直线平行． 【变式2】（2023秋•颍州区期末）如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内．若，则　　． 【分析】先求出折叠的小三角形的两个折叠角的度数，再根据折叠后的两个角相等和平角的定义求出答案． 【解答】解：， 将折叠， 小三角形折叠的两个角的和为， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠的性质和三角形内角和是来解答． 【变式3】（2023秋•怀宁县期末）如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，． （1）的度数为 　　； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，，根据是的角平分线，得出，根据，即可求解． 【解答】（1）解：、是、的角平分线， ， 在中，， ， ． 故答案为：； （2）解：在中，是高，，， ， 是的角平分线， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形中线，角平分线，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 知识点3．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【例3】（2023秋•海曙区校级期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的大小等于　　 A． B． C． D． 【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 【变式1】（2022秋•蜀山区期末）图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，，，则图2中的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用三角形的外角性质即可求解． 【解答】解：，，是的外角， ． 故选：． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 【变式2】（2023秋•蒙城县期末）如图，在中，、分别是、上的点，点在的延长线上，，，，则． 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：， ， 由三角形的外角性质得，． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 【变式3】（2023秋•贵池区期末）【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，．则　50　度，　　度． （2）与的数量关系为　　，并说明理由． 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于点．的外角平分线与的外角平分线相交于点．直接写出与的数量关系为　　． 【分析】【探究】（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； 【应用】由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【解答】【探究】 解：（1），， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， ， 故答案为：50，115； （2）．理由如下： 、分别平分、， ，， ， ， ， ； 故答案为：； 【应用】 解：．理由如下： 的外角平分线与的外角平分线相交于点， ， ， 中，， 又， ； 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． 经典题型汇编 题型一、画三角形的高 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，画的一边上的高，下列画法正确的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点出发，向对边引垂线，顶点与垂足形成的线段即为三角形的高，进行判断即可． 【详解】根据三角形高的定义，画法正确的是C选项，    故选：C． 【点睛】本题考查画三角形的高．熟练掌握三角形的高的定义，是解题的关键． 2．（21-22八年级上·河北唐山·期中）在画三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是 . 【答案】高线 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解． 【详解】解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部， 而锐角三角形的三条高在三角形内部， 直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部， 钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部． 故答案为：高线． 【点睛】考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，是的两条高，，．    (1)请画出，； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，三角形面积等于的底乘以高． （1）过点A作交延长线于点E，过点C作交的延长线于点D即可； （2）根据三角形面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求，    （2）解：∵， ∴， ∴． 题型二、三角形的内角和定理 4．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）若三角形三个内角的比是1:3:6，则最小的内角度数为 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查三角形的内角和定理的应用．根据三角形的内角定理和及三个内角度数之比即可求解． 【详解】解：∵三角形三个内角度数的比是1:3:6，三角形的内角和为， ∴最小内角的度数为， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知点D在内，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角的和差等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 如图：根据三角形外角的性质可得，根据三角形内角和的性质可得，然后根据并代入计算化简即可． 【详解】解：如图：∵、，， ∴， ∵， ∴ ， 故选C． 6．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知：在中，，是的角平分线，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了角的运算，熟练掌握角的运算是解题的关键．根据角之间的比例关系分别计算即可． 【详解】解：， ， 是的角平分线 题型三、直角三角形的两个锐角互余 7．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，是的高，是的角平分线，相交于点F，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据，求得，再利用角平分线的定义得到，再求出，即可得到的度数，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 【详解】解：是的高，， ， 是的角平分线， ， ， 故选：C． 8．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是高，平分，，，则 ．    【答案】/15度 【分析】本题主要考查了三角形的角的平分线的定义．在中，根据三角形内角和定理得到的度数，进而求出的度数，在直角中根据三角形内角和定理，得到的度数，则的度数就可以求出． 【详解】解：在中， 又平分， ， 在直角中，， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，是的角平分线，点在是上，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查与角平分线的关的角的计算，直角三角形两锐角互余． （1）先根据角平分线的定义得，再根据直角三角形两锐角互余求解； （2）根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】（1）解：是的平分线， ． ，则． 在中，， ； （2）解：是的平分线， ， ． 题型四、三角形的外角的定义及性质 10．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，D是延长线上一点，，则的度数为（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角，， ∴； 故选B． 11．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）在中，是高，是角平分线，若，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义，分点在线段上及点在线段上两种情况，求出的度数是解题的关键． 分点在线段上及点在线段上两种情况考虑，当点在线段上时，利用三角形的外角性质可求出的度数，在中利用三角形内角和定理可求出的度数，结合角平分线的定义可求出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数；当点在线段上时，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，进而可求出的度数，结合角平分线的定义可求出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】解：当点在线段上时，如图1所示， ∵在中，是高， ∴， 为的外角， ， ． 平分， ， ； 当点在线段上时，如图2所示， 在中，，， ， ． 平分， ， ． 故答案为：或． 12．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图所示，为的角平分线，为的高，若，，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据三角形高的定义可知，再结合三角形内角和定理解得的值，结合为的角平分线，可得，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，由求解即可． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、三角形的角平分线和三角形的高等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 题型五、三角形平分线的定义 13．（22-23八年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，分别是，的平分线，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得出，，求出，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：， ， ，分别是，的平分线， ，， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，平分，，，则    【答案】 【分析】根据三角形的外角性质可得，求得，根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：在中，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角性质和角平分线的定义是解题的关键． 15．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）完成下面证明：如图，平分，．求证． 证明：∵平分 ∴（ ） ∵（ ） ∴ （ ）． ∴（ ） 【答案】角平分线定义；已知；3；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定．熟练掌握角平分线的定义，平行线的判定是解题的关键．按照步骤作答即可． 【详解】证明：∵平分， ∴（角平分线定义）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线定义；已知；3；等量代换；内错角相等，两直线平行． 题型六、锐角互余的三角形是直角三角形 16．（23-24八年级上·安徽六安·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形以及三角形的内角和定理．根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的是直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键． 【详解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合题意； B、由及可得，是直角三角形，故不符合题意； C、由及可得， 是直角三角形，故不符合题意； D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 17．（22-23八年级上·全国·课后作业）直角三角形的判定定理：有两个角 的三角形是直角三角形． 【答案】互余 【分析】根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，进行作答即可． 【详解】解：有两个角互余的三角形是直角三角形； 故答案为：互余． 【点睛】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握有两个角互余的三角形是直角三角形，是解题的关键． 18．（22-23八年级上·安徽亳州·期中）如图，，的顶点F、G分别落在直线 AB、上，交于点H，平分．若，，求的度数． 【答案】 【分析】根据直角三角形两锐角互余即可得到，根据角平分线得到，再根据平行得到，最后根据三内角形外角关系即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴． 【点睛】本题考查平行线性质，直角三角形两锐角互余，角平分线性质及三角形的内外角关系，根据平行及角平分线转换角度是解题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（20-21八年级上·安徽亳州·期中）三角形的中线是（　　　） A．直线 B．线段 C．射线 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】根据三角形的中线概念直接进行排除选项即可． 【详解】由“连接三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段叫做三角形的中线”可得三角形的中线是线段； 故选B． 【点睛】本题主要考查三角形的中线，正确理解三角形中线的概念是解题的关键． 2．（21-22八年级上·安徽安庆·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．三角形的高都在三角形内 B．三角形的三条中线相交于三角形内一点 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度 【答案】B 【分析】根据三角形的有关性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，钝角三角形的高不都在三角形内部，故本选项错误，不符合题意； B、三角形的三条中线相交于三角形内一点，故本选项正确，符合题意； C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误，不符合题意； D、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形高线，中线的概念，三角形外角的性质和三角形内角和定理，掌握这些知识点是解题的关键． 3．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）在直角三角形中，一个锐角为，则另一个锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和等于，解答即可． 【详解】解：∵直角三角形中，一个锐角为， ∴另一个锐角的度数为：， 故选D． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，熟练掌握三角形的内角和定理，是解答此题的关键． 4．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，于点，点和点分别是和上一点，，交于点，下列说法正确的是（    ）    A．是的高线 B．是的高线 C．是的高线 D．是的高线 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的高的概念．根据三角形高的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， A、是的高线，原说法错误，不符合题意； B、是的高线，原说法正确，不符合题意； C、是的高线，正确，符合题意； D、或是的高线，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）如图， 已知， ， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，三角形内角和定理．熟练掌握对顶角相等，平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．由题意知，，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图所示，在中，点D，E，F分别为，， 的中点，且的面积为36，则阴影部分的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键．由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则利用点为的中点得到，再利用点为的中点得到，所以，然后利用点为的中点得到． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴． 故选：B． 7．（23-24八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，分别是的高和角平分线，已知，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂线，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由，可得出，结合三角形外角性质，可求出的度数，即可求出度数． 【详解】解：在中，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，的三条角平分线交于，，为，上点，垂足为，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，三角形外角的性质；根据角平分线的定义得出，，，设，则，根据选项求得，又，即可求解． 【详解】解：∵的三条角平分线交于， ∴，，， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 9．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，沿直线折叠，使点与边上的点重合，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、折叠、三角形的外角性质，先根据直角三角形的两个锐角互余可得，再根据折叠的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：， ， 由折叠的性质得：， ， 故选：D． 10．（20-21八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，是的角平分线，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，最后利用垂线的定义可得，进而解答即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义．熟练掌握上述知识是解题关键． 二、填空题 11．（21-22八年级上·安徽合肥·期中）如图，为的中线，，．若的周长，则的周长为 ． 【答案】/31厘米 【分析】本题考查了三角形的中线，以及线段的和差，找出线段之间的数量是解题关键．由题意可知，，进而得出，即可求出的周长． 【详解】解：为的中线， ， ，的周长， ， 的周长， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，与的平分线交于点P，设的度数为x度，的度数为y度，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是列函数关系式，三角形的外角的性质，先利用三角形的外角的性质与角平分线的性质可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵与的平分线交于点P，设的度数为x度，的度数为y度， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（21-22八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ． 【答案】/42度 【分析】本题考查了三角形的三条高交于一点，三角形内角和定理．熟练掌握三角形的三条高交于一点是解题的关键． 如图，延长交于，则为边上的高，即，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， ∵两条高交于点O， ∴为边上的高，即， ∴， 故答案为：． 14．（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）如图，是内一点，连接、、，是的角平分线的反向延长线上的一点，连接，，的外角平分线和的外角平分线相交于点，若，，则 ． 【答案】 【分析】设，表示出，于是，由可推出，根据求得的值，进一步得出结果． 【详解】解：如图所示： 设的延长线交于，，则， ， ， 平分， ， ， 在中，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解决问题的关键是设未知数，寻找角之间的数量关系． 三、解答题 15．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成55和45两部分，求和的长．    【答案】， 【分析】本题考查了三角形的三边关系，中线的含义，一元一次方程应用，先根据是边上的中线得出，设，，则，根据题意得出方程组，求出方程组的解，再根据三角形的三边关系定理判断即可． 【详解】解：设，，则， 边上的中线把的周长分成55和45两部分，， ，， 即， 解得：， 当，，时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形， ∴，． 16．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，分别过的顶点A，作．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及三角形内角和定理是解题的关键．由平行线的性质可求得度数，再利用三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：， ， ，， ． 17．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知：如图，中，，为上一点，连接平分，分别交于点，若，求证：    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线和高的有关知识，正确利用角的等量代换是解答本题的关键． 根据，得出，再由角平分线的定义和，得出，最后根据，得到，即可求解． 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ． 18．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）已知：如图，中，平分，于点E，，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线以及垂线的定义．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，然后分别求出和的度数，即可求出的度数． 【详解】解：在中， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，为角平分线，D为边上一点（不与点A，B重合），连接交于点O．    (1)若，为高，求的度数； (2)若，为角平分线，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）本题考查了三角形角平分线的性质、以及三角形的外角定理，根据题意得出的值，知道为高，再结合三角形的外角定理，即可解题． （2）本题考查了三角形角平分线的定义和三角形的内角和定理，由三角形内角和得出，再根据三角形角平分线的定义得出，最后根据三角形内角和，即可得到的度数． 【详解】（1）解：为角平分线，， ， 为的高， ， ． （2）解：， ， 为角平分线，为角平分线， ，， ， ． 20．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）在中，，点是边上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，（）．    (1)求的度数； (2)若中有两个角相等，求的值． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可求得，结合题意即可求解； （2）根据三角形的外角性质可得，求得，根据折叠的性质可得，，求得，根据三角形内角和定理求得，分、、三种情况，列方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴，即， 又∵， 故，解得：． （2）∵，， 则， ∴， 根据折叠可得：，， ∴． ， ∴， ①当时，即，解得：， ②当时，即，解得，， ∵， ∴不合题意，故舍去， ③当，即，解得，， ∵， ∴不合题意舍去． 综上所述，， 【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键． 21．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）已知的面积为S，根据下列条件完成填空. 图1                    图2                            图3 (1)是的边BC上的中线，如图1，则的面积为 （用含S的式子表示，下同）； 是的边上的中线，如图2，则的面积为 ； 是的边上的中线，如图3，则的面积为 ；…… (2)在图2022中，是的边上的中线，则的面积为 . 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分求解即可； （2）根据（1）中的求解可得规律，利用规律即可求解． 【详解】（1）解：∵是的边BC上的中线，的面积为S，如图1， ∴； 又∵是的边上的中线，如图2， ∴； ∵是的边上的中线，如图3， ∴， 故答案为：，， （2）解：∵， ， ， ， 以此类推， 可得， ∴当时，， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 22．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）如图，在正方形网格中有一个格点三角形（的各顶点都在格点上）．    (1)画出中边上的高； (2)将先向上平移3格，再向右平移4格，画出平移后的； (3)在图中画出一个锐角格点三角形，使得其面积等于的面积，并回答满足条件的点有多少个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，满足条件的点有4个 【分析】本题考查了作图—平移变换，作三角形的高，三角形面积，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）利用钝角三角形高的作法得出答案即可； （2）直接利用平移的性质得出对应点的位置，再顺次连接即可得到答案； （3）利用锐角三角形的定义结合三角形面积即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求，   ； （2）解：如图，即为所求，   ； （3）解：如图，即为所求，   ， 由图可得：满足条件的点有4个． 23．（23-24八年级上·安徽六安·期中）在锐角中，，将的顶点放置在边上，使的两边分别与边，交于点，（点不与点重合，点不与点重合）．设，． 【发现】若． （1）如图1，当点与点重合，时，_______； （2）如图2，当点，均不与点重合时，_______ 【探究】 判断，和之间满足怎样的数量关系？并写出你的理由． 【答案】发现：（1）30；（2）90；探究：，见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解答时注意运用数形结合的思想是关键． （1）①先根据三角形的外角的性质得，结合图形根据角的和可得结论； ②如图2，根据三角形内角和得，根据平角的定义得：，在和中，根据三角形内角和得两式相加可得结论； （2）同理可得和之间的数量关系． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； ②如图2，∵， ∴， 中，①， △PFC中，②， ∵， ∴， 得：， ∵ ∴， 故答案为：90； （2），理由是： 中，①， 中，②， 得：， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$