第04讲 一次函数（8大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（沪科版）

第04讲 一次函数（8大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 正比例函数的图象 题型二 正比例函数的性质 题型三 根据一次函数的定义求参数 题型四 求一次函数自变量或函数值 题型五 列一次函数解析式并求值 题型六 判断一次函数的图象 题型七 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型八 已知函数经过的象限求参数范围 题型九 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型十 画一次函数图象 题型十一 判断一次函数的增减性 题型十二 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型十三 比较一次函数值的大小 题型十四 一次函数的规律探究问题 题型十五 求一次函数解析式 知识点01 一次函数的概念 一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数． 正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数． 知识点02 一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线. 知识点03 一次函数的性质 （1）正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三源：学*科*网X 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源：学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 知识点04 一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 知识点05 确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b，再把点（0,1）的坐标代入即可. 知识点06 图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 知识点07 两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；（2)平行；（3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 知识点08 一次函数与不等式 （1）一次函数的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 （2）一次函数的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 【典型例题一 正比例函数的图象】 1．（22-23八年级下·福建福州·期中）正比例函数的图象经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）正比例函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2024八年级下·上海·专题练习）已知和是一个正比例函数图象上的两个点，那么的值是 ． 4．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，射线、分别表示两个物体A和B所受压力F与受力面积S的函数关系，当受力面积相同时，它们所受的压力分别为、，则 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，画出函数的图象． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：. 【典型例题二 正比例函数的性质】 1．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）已知正比函数的图象经过点，则的值是（    ） A． B． C． D．3 2．（23-24八年级下·北京·期中）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x为何值，总有 3．（2024·福建厦门·二模）若正比例函数的图象过点，则k的值为 ． 4．（23-24八年级下·四川内江·期中）老师给出一个函数，甲、乙各指出了这个函数的一个性质． 甲：它的图象在第一、三象限． 乙：在每个象限内，y随x的增大而增大． 请你写出一个满足上述性质的函数解析式 ． 5．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如果是正比例函数，且y随x的增大而减少，求m的值． 6．（23-24八年级上·河北张家口·期末）已知正比例函数经过点． (1)求k的值； (2)判断点是否在这个函数图象上． 【典型例题三 根据一次函数的定义求参数】 1．（23-24八年级下·北京房山·期中）已知点在函数的图象上，则k的值为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）若函数是关于的一次函数． 则的值是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 3．（23-24八年级下·四川内江·期中）当 时，函数是一次函数． 4．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）已知是关于的一次函数，则 ． 5．（22-23八年级下·全国·假期作业）已知函数y=(2-m)x+2n-3．求当m为何值时． （1）此函数为一次函数? （2）此函数为正比例函数? 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）写出下列一次函数的一次项系数k和常数项b的值． (1)． (2)． (3)． (4)． 【典型例题四 求一次函数自变量或函数值】 1．（23-24八年级下·吉林长春·期中）已知一次函数，当时，则y的值为（    ） A． B． C．4 D．7 2．（23-24八年级下·江苏南通·期中）下列各点中，在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）一次函数的图象经过点，则 ． 4．（2024·甘肃·中考真题）已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是 （写出一个合理的值即可）． 5．（22-23八年级·上海·假期作业）已知点，并且点在直线上，求的面积． 6．（22-23八年级上·广西梧州·阶段练习）已知与的函数解析式是， (1)求当时，函数的值； (2)求当时，函数自变量的值． 【典型例题五 列一次函数解析式并求值】 1．（22-23八年级上·四川成都·期中）已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·甘肃兰州·期中）对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（　　） x 0 1 2 3 y A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·云南昆明·期中）点在直线上，则代数式的值是 ． 4．（23-24八年级上·广西崇左·期中）为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过200度时，电价为元/度；超过200度时，不超过部分仍为元/度，超过部分为元/度．设该用户每月用电量为x（度），应付电费为y（元），则y与x之间的函数关系式为 ． 5．（22-23八年级·全国·单元测试）过点的一条直线与轴、轴分别相交于点，，且与直线平行，求在线段上横、纵坐标都是整数的点的坐标. 6．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）已知与成正比例，且当时，. （1）求与之间的函数表达式； （2）已知点在该函数的图像上，求的值. 【典型例题六 判断一次函数的图象】 1．（23-24八年级上·广西梧州·期中）下列各点中，不在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知一次函数和．若，，则下列图象正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·辽宁本溪·期中）若关于的方程的解为，则的图象一定经过点 ． 4．（22-23八年级上·四川成都·期末）点P（a，b）在函数y＝3x＋2的图象上，则代数式6a﹣2b的值等于 ． 5．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 6．（22-23八年级下·新疆阿克苏·阶段练习）设一次函数（k，b为常数，且），图象过． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点是否在该一次函数图象上． 【典型例题七 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 1．（2024·河南平顶山·二模）若一次函数的图像经过点，则该图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·山东潍坊·二模）在同一平面直角坐标系中，函数和（a为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）一次函数的图象经过第 象限． 4．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）如果函数中的y随x的增大而减小，那么这个函数的图象不经过第 象限． 5．（22-23八年级上·陕西渭南·期中）已知一次函数（为常数，且）． (1)若一次函数的图象经过原点，求的值； (2)若，直接写出一次函数的图象经过的象限． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）（1）当b＞0时，函数y=x+b的图象经过哪几个象限？ （2）当b＜0时，函数y=-x+b的图象经过哪几个象限？ （3）当k＞0时，函数y=kx+1的图象经过哪几个象限？ （4）当k＜0时，函数y=kx+1的图象经过哪几个象限？ 【典型例题八 已知函数经过的象限求参数范围】 1．（2024·安徽合肥·二模）若直线（k是常数，）经过第一、二、三象限，则k的值可能为（    ） A． B． C． D．1 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图、直线经过A，B两点，直线经过C，D两点，则a，b，c，d从小到大的排列顺序为（   ）    A． B． C． D． 3．（2024·山东滨州·三模）如果直线不经过第二象限，那么 0（填“”、“”或“＝”）． 4．（2024·湖北恩施·三模）已知一次函数（k为常数，且）的图象不经过第二象限，写出一个符合条件k的值 ． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）已知直线不经过第二象限，求的取值范围． 6．（22-23八年级下·吉林长春·期中）已知一次函数，若该函数图象经过第一、二、四象限，求k的取值范围． 【典型例题九 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 1．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）一次函数的图象与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知一次函数图像经过原点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海虹口·期末）直线的截距是 ． 4．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，那么的取值范围是 ． 5．（2023八年级上·全国·专题练习）已知直线y＝kx+b的图象经过点（2，4）和点（﹣2，﹣2）. (1)求b的值； (2)求关于x的方程kx+b＝0的解． 6．（22-23八年级上·山东菏泽·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点．    （1）求点，的坐标； （2）求当时，的值，当时，的值； （3）过点作直线与轴相交于点，且使，求的面积． 【典型例题十 画一次函数图象】 1．（20123·陕西·三模）下列哪两个点确定的直线经过原点                            （    ） A．（1,2）和（2,3） B．（2,-3）和（-5，5） C．（-2,3）和（4，-6） D．（2,3）和（-4,6） 2．（22-23七年级·全国·单元测试）新学年到了，爷爷带小红到商店买文具.从家中走了20分钟到一个离家900米的商店，在店里花了10分钟买文具后，用了15分钟回到家里.下面图形中表示爷爷和小红离家的距离y（米）与时间x（分）之间函数关系的是（    ）. A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·浙江台州·期末）若一次函数的图象经过点，，则不等式的解集为 ． 4．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝|3x－1|＋2的图象记为l1，y＝x－7的图象记为l2，把l1、l2组成的图形记为图形M．若直线y＝kx－5与图形M有且只有一个公共点，则k应满足的条件是 5．（23-24八年级下·福建厦门·期中）画出一次函数的图象． 6．（22-23八年级下·福建厦门·期中）用“描点法”画出函数的图象． 【典型例题十一 判断一次函数的增减性】 1．（2024·湖南常德·一模）下列一次函数中，随的增大而减小的函数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西咸阳·一模）已知点，，均在直线的图象上，则，，的值的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东惠州·一模）已知一次函数，当时，一次函数的最大值是 ． 4．（2024·江苏常州·模拟预测）函数的图象经过点，则函数值y随着x的增大而 ．（填“增大”或“不变”或“减小”） 5．（22-23八年级下·北京大兴·期末）有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．小青根据学习函数的经验，对该函数的图象与性质进行了探究，下面是小青的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 　 　． (2)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 1 0 0 1 m … 写出表中m的值 　 　； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质． 6．（22-23八年级上·福建漳州·课后作业）已知一次函数.     （1）求图象与两条坐标轴的交点坐标，并在下面的直角坐标系中画出它的图象； （2）从图象看，随着的增大而增大，还是随的增大而减小？ （3）取何值时，？ 【典型例题十二 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 1．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）若点，都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图是一次函数（为常数，且）的图象，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·湖南湘潭·开学考试）已知一次函数经过点，，则和的大小关系是 ． 4．（22-23八年级下·上海宝山·期中）如图，一次函数的图象经过，两点，那么当时，的取值范围是 ．    5．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)当时，求函数值y的取值范围． 6．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知一次函数，求: (1)当为何值时，y的值随x的增加而增加； (2)当、n为何值时，此一次函数也是正比例函数； (3)若求直线与x轴和y轴的交点坐标． 【典型例题十三 比较一次函数值的大小】 1．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）已知点，均在直线的图象上，则，的值的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南保山·期中）已知点四点在直线的图象上，且，则的大小关系为（　 　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知，是一次函数图象上的两个点，则 ． 4．（23-24八年级下·广西柳州·期中）已知点和点是直线上的两个点，则m，n的大小关系为m n．（填“”、“”或“”） 5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图是函数的一部分图象， (1)自变量的取值范围是 ； (2)当取 时，的最小值为 ． 6．（2024·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点， 且与y轴交于点 C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时， 对于x的每一个值， 函数的值大于函数的值，直接写出n的取值范围． 【典型例题十四 一次函数的规律探究问题】 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，．．．分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则A8B9的长为（　　） A．64 B．128 C．256 D．512 3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线与直线互相平行，则常数的值为 ． 4．（2024·山东东营·二模）如图放置的，，都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，，都在直线上，则点的坐标是 ． 5．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）在学习了一次函数后，某校数学兴趣小组根据学习的经验，对函数y=-｜x｜-2的图像和性质进行了探究，下面是该兴趣小组的探究过程，请补充完整: (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表: x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y ... -5 -4 -3 n -3 -4 -5 ... ①n= ； ②如图，在所给的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图像； (2)当一2＜x≤5时，y的取值范围是 ； (3)根据所画的图像，请写出一条关于该函数图像的性质. 6．（22-23八年级下·四川泸州·期中）已知一次函数，当时，，当时，，求此一次函数的解析式． 【典型例题十五 求一次函数解析式】 1．（2024八年级下·天津·专题练习）一次函数，当时，，当时，，则当时，（　　） A．7 B．0 C． D． 2．（2024·陕西汉中·二模）一次函数（b为常数）的图象关于y轴对称后经过点，则b的值是（   ） A．1 B． C．5 D． 3．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如果一次函数的图象经过，那么的值是 ． 4．（2024·上海·中考真题）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而 ．（选填“增大”或“减小”） 5．（22-23九年级上·湖南永州·期中）已知如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点．    (1)求m，n的值； (2)求的面积． 6．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数解析式． (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【变式训练1 正比例函数的图象】 1．（2024·广西梧州·一模）在直角坐标系中，下面哪个点是函数的图象经过的点（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知点在正比例函数的图象上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正比例函数的图象经过点，则的值为 ． 4．（22-23八年级上·福建三明·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则实数的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数） 5．（23-24八年级下·吉林·期中）已知正比例函数． (1)为何值时，函数的图象经过第一、三象限； (2)为何值时，函数值随自变量的增大而减小． 6．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）正比例函数随x的增大而减小． (1)确定m的取值范围； (2)小明说，函数图象不可能经过点，但可能经过点，你认为他说得有道理吗？说说你的理由． 【变式训练2 正比例函数的性质】 1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）若正比例函数的图象经过点， 则它一定经过（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数的图象经过点，k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正比例函数的图象经过点，则m的值为 4．（23-24八年级上·上海·期末）正比例函数的图像经过，且，则k的范围是 ． 5．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）5月是销售樱桃的季节，某樱桃种植园为了吸引顾客，推出入园采摘销售模式．已知采摘樱桃重量x（千克）与所需费用y（元）之间的关系可以用来表示. (1)上述关系中，______是自变量，______是因变量； (2)上述关系用表格表示如下表，请补充填空： 千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 元 3 6 ______ 12 15 ______ … (3)48元能买多少千克樱桃？ 6．（22-23八年级上·广西·期末）已知函数， (1)为何值时，该函数是一次函数 (2)为何值时，该函数是正比例函数. 【变式训练3 根据一次函数的定义求参数】 1．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）一次函数的一次项系数和常数项的值分别为（　　） A．1， B．1，1 C．，1 D．， 2．（2023·湖南长沙·一模）函数的图像经过点，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 3．（23-24七年级上·山东威海·期末）已知函数是关于的一次函数，则 ． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知函数， （1）该函数图象经过定点 ， （2）如果直线不经过第三象限，则k的范围是 ． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知函数. （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数表达式． (2)当时，求的值． 【变式训练4 求一次函数自变量或函数值】 1．（2024·西藏日喀则·一模）关于的函数，当时，函数值是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京·期中）直线一定经过点（　　） A． B． C． D． 3．（2024·重庆九龙坡·一模）已知点在函数的图象上，则的值为 ． 4．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，点在直线的图象上，它们的横坐标分别为，，，，，，分别过这些点作轴、轴的平行线，则图中阴影部分的面积之和为 ． 5．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数，表中给出了部分对应值． … 2 4 … … … (1)求该一次函数的表达式； (2)求、的值． 6．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）已知矩形的周长为， AB的长为，的长为． （1）写出关于的函数解析式（为自变量）； （2）当时，求的值． 【变式训练5 列一次函数解析式并求值】 1．（22-23八年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，已知点A（a，b）在直线y＝－2x＋1上，则2a＋b的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 2．（2022·北京·中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 3．（22-23六年级下·山东烟台·期末）一出租车油箱内剩余油42L，一般行驶一小时耗油7L，则该车油箱内剩余油量y（L）和行驶时间x（时）之间的函数关系式是 （不写自变量取值范围）． 4．（2023·山西·模拟预测）“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为 ． 5．（22-23八年级下·云南临沧·阶段练习）一次函数的图象经过点（1，2）和点（-2，5）． （1）求出该一次函数的解析式； （2）当x=10时，y的值是多少？ （3）当y=12时，x的值是多少？ 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列图象中，表示一次函数的有哪些？ 【变式训练6 判断一次函数的图象】 1．（22-23八年级下·广西防城港·期末）下列图象中，表示y是x的一次函数的是（　　） A．         B．       C．       D．       2．（22-23九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在一次函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 3．（22-23八年级上·四川成都·期末）点P（a，b）在函数y＝3x＋2的图象上，则代数式6a﹣2b的值等于 ． 4．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系xOy中，有A、B、C、D四点，若有一直线经过点(-1,3)且与y轴垂直，则也会经过的点是 （填A、B、C或D）　 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量与摩托车行驶路程之间的关系如图所示．根据图像回答下列问题： （1）油箱最多可储油多少升？ （2）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米? （3）摩托车每行驶消耗多少升汽油? （4）油箱中的剩余油量小于时，摩托车将自动报警．行驶多少千米后，摩托车将自动报警? 6．（2023八年级下·上海·专题练习）一次函数的图象能否可以不经过第三象限?为什么? 【变式训练7 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 1．（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数表达式为：，则此一次函数图像不经过第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 2．（23-24八年级下·四川广安·期中）下列图象中可能是一次函数的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24八年级上·山东青岛·期中）一次函数的图象不经过第 象限． 4．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点，在直线上，当时，，且，则在平面直角坐标系内，它的图象经过第 象限． 5．（22-23八年级下·吉林·期末）如图，一次函数y＝（m﹣3）x﹣m+1的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A、B，求m的取值范围． 6．（23-24八年级上·江苏·周测）已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求的值； (2)若该一次函数的图象不经过第二象限． 【变式训练8 已知函数经过的象限求参数范围】 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）直线经过点，，，则必有（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·青海西宁·一模）一个函数的图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交，这个函数的解析式可以是 (写出一个即可)． 4．（2024·河南信阳·一模）若一次函数的图象一定过第二、四象限，则k的值为    ．（只写一个即可） 5．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一次函数，请按要求解答问题： (1)若点在函数图像上，求m的值． (2)若函数图像平行于直线，求一次函数解析式； (3)m为何值时，函数图像不经过第二象限，且y随x的增大而增大？ 6．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）一次函数的图象经过，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 【变式训练9 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 1．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）一次函数的图象与y轴的交点是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，直线与x轴交于点，则时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）若直线经过点，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 4．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过轴负半轴上的点的一次函数的图象相交于点，直线与轴相交于点，与关于轴对称，，点为线段上的一个动点，连接，若直线将的面积分为两部分，请直接写出点的坐标 ． 5．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)点在轴上，若的面积为6，求点的坐标． 6．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）已知与成正比例，当时，．    (1)求与之间的函数解析式． (2)在所给直角坐标系中画出函数图象． 【变式训练10 画一次函数图象】 1．（22-23九年级下·湖北武汉·期中）有8条不同的直线（n＝1，2，3，4，5，6，7，8），其中，，则这8条直线的交点个数最多是（    ） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 2．（2023·河北沧州·三模）如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，画一次函数y＝－3x＋3的图像时，通常过点 和 画一条直线． 4．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝|3x－1|＋2的图象记为l1，y＝x－7的图象记为l2，把l1、l2组成的图形记为图形M．若直线y＝kx－5与图形M有且只有一个公共点，则k应满足的条件是 5．（23-24八年级下·山西临汾·期中）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，请回答下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出此一次函数的图象． (2)点的坐标为______，的坐标为_____，______． 6．（22-23八年级下·甘肃平凉·期末）请在所给的平面直角坐标系中作出一次函数的图像，并指出当x增大时，y如何变化． 【变式训练11 判断一次函数的增减性】 1．（2024·江苏无锡·二模）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与轴交于点 C．函数值随自变量的增大而减小 D．点在函数图象上 3．（22-23八年级下·山东济宁·阶段练习）下列一次函数中，y的值随着x值的增大而减小的有 ． ①；②；③；④ 4．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，一次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“”符号连接） 5．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）已知是的一次函数，与部分对应的值如下表： 1 2 5 1 (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，函数的取值范围是___________． 6．（22-23八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)若点在该一次函数图象上，当时，求n的取值范围． 【变式训练12 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点在一次函数的图象上，其坐标分别为，，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 3．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是 ． 4．（2023·河南南阳·一模）已知一次函数，当时，y的最大值等于 ． 5．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数，一次函数图象经过点． (1)求的值； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图象； (3)当时，的取值范围为_____． 6．（2023·浙江湖州·模拟预测）已知一次函数的图象经过点， (1)求和的值 (2)若，是该函数图象上的两点，试比较与的大小． 【变式训练13比较一次函数值的大小】 1．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）已知点，都在直线上，则，大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24八年级下·吉林松原·期中）已知点、都在直线上，则与大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判定 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）一次函数的图象经过，，则，的大小关系是 ． 4．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是 （填“”，“”“”） 5．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点．    (1)求A、B两点的坐标． (2)点，在该函数的图象上，比较与的大小． 6．（22-23八年级上·江西抚州·阶段练习）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 【变式训练14 一次函数的规律探究问题】 1．（2023·陕西西安·模拟预测）已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和的图象分别为直线l1、l2，过点A1（1，）作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，……依次进行下去，则点A2019的横坐标为（　　）    A．21008 B．﹣21008 C．﹣21009 D．21006 3．（22-23九年级下·江西九江·期中）对于一次函数的图象，无论k为何值，都过一个定点，则这个点的坐标是 ． 4．（2023·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为 ．    5．（22-23八年级·全国·课后作业）一次函数(n为正整数)的图象与x轴、y轴的交点是A、B，O是原点，设的面积为. (1)求； (2)求. 6．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 【变式训练15 求一次函数解析式】 1．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）若一次函数的图经过点，则b的值是（    ） A． B．1 C．3 D．4 2．（2024·陕西榆林·三模）将一次函数的图象向下平移3个单位，若平移后一次函数的图象经过点，则m的值为（   ） A．4 B．2 C．3 D．1 3．（2024·江苏无锡·一模）若某函数图象经过点，且函数值随着自变量的增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数表达式： . 4．（23-24八年级下·北京海淀·期中）对于一次函数，下表中给出3组自变量和相应的函数值． 则的值为 ． 5．（23-24八年级下·吉林·期中）某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下表： 加热时间 0 10 20 30 液体温度 8 18 28 38 (1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足一次函数关系，求y与t之间的函数关系式； (2)当加热时该液体沸腾，求该液体的沸点． 6．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．若的面积为3，求点M的坐标． 1．（23-24八年级下·北京西城·期中）点，都在正比例函数的图象上，则m与n的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）满足，的一次函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（22-23八年级下·广东湛江·期末）一次函数在平面直角坐标系内的图象如图所示，则正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交、点，则下列说法不正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．（22-23八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，依次在x轴上排列的正方形都有一个顶点在直线上，从左到右分别记作，，，，已知顶点的坐标是，则的纵坐标为（    ） A． B． C． D．2022 6．（22-23八年级下·甘肃定西·阶段练习）一次函数的图象经过的象限是 ． 7．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）若正比例函数的图象经过点和点，当时时，则m的取值范围是 ． 8．（23-24八年级下·北京·期中）已知一次函数（，是常数且），与的部分对应值如下表： 那么方程的解是 ． 9．（2024·四川成都·一模）如图，直线不经过第三象限，若点在该直线上，且的大小关系为 ，则的大小关系为 ． 10．（23-24八年级下·山西晋城·期中）正方形，正方形，正方形，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中．若点，，，…和，，，…，分别在直线和x轴上，则点的坐标是 ． 11．（22-23八年级·全国·假期作业）已知y与x成正比例，且当x＝1时，y＝2，求当x＝3时，y的值． 12．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）已知函数为一次函数，求出此时函数的表达式． 13．（2024·陕西渭南·一模）书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 14．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图，直线经过点和点．    (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 15．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点和点． （1）求直线所对应的函数表达式； （2）设直线与直线相交于点，求的面积； （3）若将直线沿轴向下平移，交轴于点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一次函数（8大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 正比例函数的图象 题型二 正比例函数的性质 题型三 根据一次函数的定义求参数 题型四 求一次函数自变量或函数值 题型五 列一次函数解析式并求值 题型六 判断一次函数的图象 题型七 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型八 已知函数经过的象限求参数范围 题型九 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型十 画一次函数图象 题型十一 判断一次函数的增减性 题型十二 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型十三 比较一次函数值的大小 题型十四 一次函数的规律探究问题 题型十五 求一次函数解析式 知识点01 一次函数的概念 一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数． 正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数． 知识点02 一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线. 知识点03 一次函数的性质 （1）正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三源：学*科*网X 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源：学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 知识点04 一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 知识点05 确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b，再把点（0,1）的坐标代入即可. 知识点06 图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 知识点07 两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；（2)平行；（3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 知识点08 一次函数与不等式 （1）一次函数的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 （2）一次函数的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 【典型例题一 正比例函数的图象】 1．（22-23八年级下·福建福州·期中）正比例函数的图象经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据时，正比例函数图象经过第一、三象限，时，正比例函数图象经过第二、四象限，判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴正比例函数图象经过第二、四象限， 故选：B． 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）正比例函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象，根据是一，三象限的角平分线，进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知：正比例函数的图象是一，三象限的角平分线， 故选D． 3．（2024八年级下·上海·专题练习）已知和是一个正比例函数图象上的两个点，那么的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了待定系数法求直线解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解答本题的关键． 设解析式为，代入点求出值得到解析式，再代入点坐标求出值即可． 【详解】解：设正比例函数解析式为， 在的图象上， ， ， 正比例函数解析式为：， 是直线上的点， ， ． 故答案为：6． 4．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，射线、分别表示两个物体A和B所受压力F与受力面积S的函数关系，当受力面积相同时，它们所受的压力分别为、，则 ．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】利用数形结合法解题即可．本题考查了一次函数的应用，利用数形结合法解题是解题的关键. 【详解】 由图像知受力面积相同时，压力， 故答案为：＞． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，画出函数的图象． 【答案】见解析． 【分析】填写表格，用两点法画出函数的图象即可，选好点后经过描点，连线即可得出函数的图象． 【详解】解：①列表： 0 1 0 ②描点并连线： 【点睛】本题考查的是利用描点法画正比例函数的图象，掌握“画图三步：列表，描点，连线”是解本题的关键． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：. 【答案】画图见解析 【详解】解：根据一次函数的特点，的图象过原点，且过点（1，2）， 同理，的图象过原点，且过点（1，）. 又由其图象为直线，作出图象如图所示. 【典型例题二 正比例函数的性质】 1．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）已知正比函数的图象经过点，则的值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，直接把代入解析式中求解即可得到答案． 【详解】解：∵正比函数的图象经过点， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级下·北京·期中）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x为何值，总有 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，以及正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，， ∴函数的图象不经过点，故不符合题意； B．∵， ∴函数的图象经过第二、四象限，故符合题意； C．∵， ∴y随x的增大而减小，故不符合题意； D．当时，，故不符合题意． 故选：B． 3．（2024·福建厦门·二模）若正比例函数的图象过点，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出k的值．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象过点 ∴， 解得：， ∴k的值为5． 故答案为：5． 4．（23-24八年级下·四川内江·期中）老师给出一个函数，甲、乙各指出了这个函数的一个性质． 甲：它的图象在第一、三象限． 乙：在每个象限内，y随x的增大而增大． 请你写出一个满足上述性质的函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是正比例函数的性质，根据题意写出符合条件的正比例函数即可． 【详解】根据题意，图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而增大 ∴可以正比例函数为研究对象 ∴满足上述性质的函数解析式可以为 故答案为：（答案不唯一）． 5．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如果是正比例函数，且y随x的增大而减少，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义及其增减性，熟记相关函数结论是解题关键． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， 即：， ∵y随x的增大而减少， ∴ 即： 综上所述： 6．（23-24八年级上·河北张家口·期末）已知正比例函数经过点． (1)求k的值； (2)判断点是否在这个函数图象上． 【答案】(1) (2)在，理由见解析 【分析】本题主要考查的是一次函数中的正比例函数的性质， （1）把点代入正比例函数中，可得； （2）由（1）得，，再把代入得，然后判断即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴，解得：； （2）解：在 理由：由（1）得：， 当时，， ∴点在这个函数的图象上． 【典型例题三 根据一次函数的定义求参数】 1．（23-24八年级下·北京房山·期中）已知点在函数的图象上，则k的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，根据图象上的点的坐标满足函数解析式进行解答即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得， 故选：A 2．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）若函数是关于的一次函数． 则的值是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，一次函数的定义条件是：为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义可知，，从而可求得k的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得． 故选A． 3．（23-24八年级下·四川内江·期中）当 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了学生对一次函数的定义的理解及掌握情况，一次函数就是未知数的次数是1，同时系数不能为0，据此求解即可． 【详解】由题意得：，解得：或4 ∵，解得： ∴ 故答案为：． 4．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）已知是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义得出，代入代数式求解即可，形如的函数为一次函数． 【详解】解：函数是关于x的一次函数 则， 解得 ∴， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·全国·假期作业）已知函数y=(2-m)x+2n-3．求当m为何值时． （1）此函数为一次函数? （2）此函数为正比例函数? 【答案】（1）m≠2；（2）m≠2且n=． 【分析】（1）根据一次函数的定义得，2-m≠0，即可求得m的取值； （2）满足两个条件：2-m≠0且2n－3=0，即可得到m与n的取值． 【详解】（1）由题意得，2-m≠0，解得m≠2． （2）由题意得，2-m≠0且2n-3=0，解得m≠2且n=． 【点睛】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，要注意两种函数既有联系又有区别． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）写出下列一次函数的一次项系数k和常数项b的值． (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）根据定义写出、的值； （2）根据定义写出、的值； （3）根据定义写出、的值； （4）先化为一般形式，然后根据定义写出、的值即可求解． 【详解】（1），则，； （2），则，； （3），则，； （4），则，． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．一般地，两个变量、之间的关系式可以表示成形如的函数（，为常数，的次数为，且），那么就叫做一次函数． 【典型例题四 求一次函数自变量或函数值】 1．（23-24八年级下·吉林长春·期中）已知一次函数，当时，则y的值为（    ） A． B． C．4 D．7 【答案】D 【分析】本题考查求一次函数的函数值．将代入函数表达式即可求解． 【详解】解：当时， ， 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏南通·期中）下列各点中，在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．把四个点的坐标代入，选择满足条件的选项． 【详解】解：将代入得，，则点在直线上； 将代入得，，则点和不在直线上； 将代入得，，则点不在直线上； 故选：A． 3．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）一次函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将代入函数解析式得出，求解即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（2024·甘肃·中考真题）已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是 （写出一个合理的值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据，选择，此时，解答即可．本题考查了函数值的计算，正确选择自变量进行计算是解题的关键． 【详解】根据，选择，此时， 故答案为：． 5．（22-23八年级·上海·假期作业）已知点，并且点在直线上，求的面积． 【答案】9 【分析】画出函数图象，由直线解析式求出B点纵坐标，然后求以为底边，以B点纵坐标的绝对值为高的三角形的面积即可. 【详解】解：如图函数图象为：      ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴； 【点睛】考查正比例函数图像上的点坐标和解析式的关系，注意点坐标与线段长度之间的转换． 6．（22-23八年级上·广西梧州·阶段练习）已知与的函数解析式是， (1)求当时，函数的值； (2)求当时，函数自变量的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，代入函数解析式，即可得解； （2）将，代入函数解析式，即可得解． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，，解得：． 【点睛】本题考查根据函数解析式求自变量和函数值．熟练掌握当自变量确定时，是自变量的函数值，是解题的关键． 【典型例题五 列一次函数解析式并求值】 1．（22-23八年级上·四川成都·期中）已知汽车油箱内有油40L，每行驶耗油0.1L，则汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L，进而得出余油量与行驶路程之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵汽车油箱内有油40L，每行驶1km耗油0.1L， ∴汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q（L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式为： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，表示出油箱内余油量是解题关键． 2．（22-23八年级上·甘肃兰州·期中）对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（　　） x 0 1 2 3 y A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，分别代入，及求出与之对应的y值，再对照表格中的y值即可得出结论． 【详解】解：将，代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为． 当时，； 当时，，； 当时，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 3．（23-24八年级下·云南昆明·期中）点在直线上，则代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，代数式求值，把点代入直线解析式推出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 4．（23-24八年级上·广西崇左·期中）为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过200度时，电价为元/度；超过200度时，不超过部分仍为元/度，超过部分为元/度．设该用户每月用电量为x（度），应付电费为y（元），则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．根据题意列出函数关系式即可． 【详解】当时，, 当时，，即； 故答案为： 5．（22-23八年级·全国·单元测试）过点的一条直线与轴、轴分别相交于点，，且与直线平行，求在线段上横、纵坐标都是整数的点的坐标. 【答案】. 【分析】依据与直线平行设出直线AB的解析式；代入点（-1，7）即可求得b，然后求出与x轴的交点横坐标，列举才符合条件的x的取值，依次代入即可． 【详解】过点的一条直线与直线平行，设直线AB为，把代入，得，解得，直线AB的解析式为，令，解得，的整数解为1，2，3，把x等于1，2，3分别代入解析式得y等于4，，1. 在AB线段上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是. 【点睛】本题考查两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法. 6．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）已知与成正比例，且当时，. （1）求与之间的函数表达式； （2）已知点在该函数的图像上，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由与成正比例可设，将，代入即可； （2）将点代入函数表达式可求得a的值. 【详解】解：（1）设，当时，代入得， 所以与之间的函数表达式. （2）将点代入得， 解得， 所以的值为0. 【点睛】本题考查了一次函数，正确理解正比例函数的定义是解题的关键. 【典型例题六 判断一次函数的图象】 1．（23-24八年级上·广西梧州·期中）下列各点中，不在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，分别把各点代入函数的解析式进行验证即可．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：A、当时，，所以点在函数的图象上，不符合题意； B、当时，，所以点在函数的图象上，不符合题意； C、当时，，所以点不在函数的图象上，符合题意； D、当时，，所以点在函数的图象上，不符合题意； 故选：C． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知一次函数和．若，，则下列图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出该函数的图象与坐标轴的交点．根据，得出两个函数k值相等，即两直线平行，根据，得出两个函数与y轴的交点一正一负，进而可得出答案． 【详解】∵， ∴一次函数和中，k值相等，即两直线平行， ∵， ∴一次函数和中，与y轴的交点一正一负， A选项符合题意， 故选：A． 3．（22-23八年级上·辽宁本溪·期中）若关于的方程的解为，则的图象一定经过点 ． 【答案】 【分析】先将代入中可得，再代入中可得，此时可发现当时，k无论取什么值，y=5，由此可得函数一定经过． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴，即， ∴，即， 当时，k无论取什么值，y=5， ∴函数的图象一定经过． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质．解决此类问题的关键是替换掉一个常量，然后将函数变形后，找出自变量x取某值时，另外一个常量无论怎么变化都不改变因变量y的值，此时（x，y）就是一定经过的点． 4．（22-23八年级上·四川成都·期末）点P（a，b）在函数y＝3x＋2的图象上，则代数式6a﹣2b的值等于 ． 【答案】-4 【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a-b=-2，代入2（3a-b）即可． 【详解】解：∵点P（a，b）在函数y=3x+2的图象上， ∴b=3a+2， 则3a-b=-2． ∴6a-2b=2（3a-b）=-4 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数关系式． 5．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)试判断点是否在此函数图象上，说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，需要两组，的值．也考查了一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质是本题的关键． （1）根据正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出，从而得到与的函数关系式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】（1）解：设， 把，代入得， 解得，∴， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：不在． 理由如下：∵时，， ∴点不在函数的图象上． 6．（22-23八年级下·新疆阿克苏·阶段练习）设一次函数（k，b为常数，且），图象过． (1)求该一次函数的解析式； (2)判断点是否在该一次函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】（1）把分别代入，利用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式，求得，即可判断． 【详解】（1）把分别代入得：， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）当时，， ∴点不在该一次函数图象上． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式及一次函数图象上的点，熟练掌握知识点是解题的关键． 【典型例题七 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 1．（2024·河南平顶山·二模）若一次函数的图像经过点，则该图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，代入点求出，再根据一次函数的性质，即可得到该函数图象不经过哪个象限． 【详解】经过点 将代入得： 解得： 该函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限 故选：D． 2．（2024·山东潍坊·二模）在同一平面直角坐标系中，函数和（a为常数，）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题，根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴函数是经过原点的直线，经过第一、三象限， 函数是经过第一、二、四象限的直线， 故选：B． 3．（23-24七年级下·福建福州·期中）一次函数的图象经过第 象限． 【答案】一、二、四 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，，过二、四象限，，与y轴交于正半轴，综合来看即可得到结论． 【详解】解：一次函数中，， 图象过一、二、四象限， 故答案为：一、二、四． 4．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）如果函数中的y随x的增大而减小，那么这个函数的图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．先根据一次函数的性质判断出k的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 5．（22-23八年级上·陕西渭南·期中）已知一次函数（为常数，且）． (1)若一次函数的图象经过原点，求的值； (2)若，直接写出一次函数的图象经过的象限． 【答案】(1) (2)该一次函数的图象经过第二、三、四象限 【分析】（1）由题意可把代入一次函数解析式进行求解即可； （2）把代入一次函数解析式得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意可把代入一次函数解析式得： ， ∴； （2）解：把代入一次函数解析式得：， ∴， ∴该一次函数的图象经过第二、三、四象限． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）（1）当b＞0时，函数y=x+b的图象经过哪几个象限？ （2）当b＜0时，函数y=-x+b的图象经过哪几个象限？ （3）当k＞0时，函数y=kx+1的图象经过哪几个象限？ （4）当k＜0时，函数y=kx+1的图象经过哪几个象限？ 【答案】（1）第一、二、三象限；（2）第二、三、四象限；（3）第一、二、三象限；（4）第一、二、四象限 【分析】根据k、b的符号和一次函数的性质确定其经过的象限即可． 【详解】解：（1）∵k＞0，b＞0， ∴函数y=x+b的图象经过一、二、三象限； （2）∵k＜0，b＜0， ∴函数y=-x+b的图象经过二、三、四象限； （3）∵k＞0，b＞0， ∴函数y=x+b的图象经过一、二、三象限； （4）∵k＜0，b＞0， ∴函数y=x+b的图象经过一、二、四象限． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．记住k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 【典型例题八 已知函数经过的象限求参数范围】 1．（2024·安徽合肥·二模）若直线（k是常数，）经过第一、二、三象限，则k的值可能为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质．根据题意得，即可得出答案． 【详解】解：∵直线经过第一、二、三象限， ∴， 观察四个选项，可知符合题意； 故选：D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图、直线经过A，B两点，直线经过C，D两点，则a，b，c，d从小到大的排列顺序为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，关键是根据一次函数的性质判断． 【详解】解：由图可得：直线与y轴交点D位于直线与y轴交点B的上方，且都在x轴上方， ∴， ∵两条直线都经过第一、二、四象限， ∴，， 且直线比直线的图象更陡， 则， ∴， ， 故选：D． 3．（2024·山东滨州·三模）如果直线不经过第二象限，那么 0（填“”、“”或“＝”）． 【答案】 【分析】由已知条件知，一次函数图象不过第二象限，故该函数图象与y轴的交点在y轴负半轴或原点，即，即可求解． 本题考查一次函数图象的性质，根据题意数形结合思想解题是本题的解题关键． 【详解】解：已知直线不经过第二象限， 即函数图象与y轴的交点在y轴负半轴或原点，即． 故答案为：． 4．（2024·湖北恩施·三模）已知一次函数（k为常数，且）的图象不经过第二象限，写出一个符合条件k的值 ． 【答案】1（答案为唯一） 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交． 根据图象在坐标平面内的位置关系确定的取值范围，从而求解． 【详解】解：∵一次函数（为常数且的图象不经过第二象限， 又∵， ∴图象经过第一、第三、第四象限， ∴， 故k可取1， 寿诞为：1（答案为唯一）． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）已知直线不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】 【分析】 本题考查一次函数的图象与系数的关系．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；熟记相关结论即可求解． 【详解】解：， 直线一定经过第一、三象限． 当时， 图象过第一、三、四象限； 当时，图象过原点及第一、三象限． ． 6．（22-23八年级下·吉林长春·期中）已知一次函数，若该函数图象经过第一、二、四象限，求k的取值范围． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象和性质，列出关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：函数图象经过第一、二、四象限， ， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是根据一次函数的图象和性质列出关于的不等式组． 【典型例题九 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 1．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）一次函数的图象与x轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求解一次函数与轴的交点坐标，把代入函数解析式即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 解得：， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为， 故选：B． 2．（23-24八年级下·河北唐山·期中）已知一次函数图像经过原点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质．根据题意，图象经过原点，则将原点代入求出即可． 【详解】解：一次函数图像经过原点 ． 故选：D． 3．（23-24八年级下·上海虹口·期末）直线的截距是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．代入，求出y的值，即可得到答案． 【详解】解：令，则， 故直线的截距是6， 故答案为：6． 4．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．根据一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，可得出，求出m的取值范围即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 5．（2023八年级上·全国·专题练习）已知直线y＝kx+b的图象经过点（2，4）和点（﹣2，﹣2）. (1)求b的值； (2)求关于x的方程kx+b＝0的解． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点（2，4）和点（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b可得方程组，解方程组可得k，b的值； （2）将k，b的值代入方程kx+b＝0，解之即可． 【详解】（1）根据题意得， ①+②得：， 解得：， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解是：， ∴b的值为1； （2）∵， ∴一次函数解析式为， ∴令y=kx+b＝0，即， 解得， 关于x的方程kx+b＝0的解是． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，掌握待定系数法是解题的关键． 6．（22-23八年级上·山东菏泽·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点．    （1）求点，的坐标； （2）求当时，的值，当时，的值； （3）过点作直线与轴相交于点，且使，求的面积． 【答案】（1），；（2）当时，；当时，；（3）或 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征确定点和点坐标； （2）把代入解析式即可求得的值；把代入解析式，解得的值即可； （3）由，得到，分类讨论：当点在轴正半轴上时，则点坐标为；当点在轴负半轴上时，则点坐标为，然后根据待定系数法求两种情况下的直线解析式． 【详解】解：（1）当时，， 得，则，． 当时，，则； （2）当时，； 当时，则，解得； （3），，，则点的位置有两种情况，点在轴的正半轴上或点在轴的负半轴上． 当点在轴负半轴上时，， 则的面积为； 当点在轴的正半轴上时，， 则的面积为． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数，，且，为常数）的图象是一条直线．它与轴的交点坐标是，；与轴的交点坐标是．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．也考查了待定系数法求一次函数解析 【典型例题十 画一次函数图象】 1．（20123·陕西·三模）下列哪两个点确定的直线经过原点                            （    ） A．（1,2）和（2,3） B．（2,-3）和（-5，5） C．（-2,3）和（4，-6） D．（2,3）和（-4,6） 【答案】C 【分析】将四个选项中的坐标点在平面直角坐标系中表示出来，连线即可得出结果. 【详解】    将四个选项中的点在坐标轴上表示出来连线，只有C符合要求. 故选C. 【点睛】此题重点考查学生对平面直角坐标系中点的认识，会找点标点是解题的关键. 2．（22-23七年级·全国·单元测试）新学年到了，爷爷带小红到商店买文具.从家中走了20分钟到一个离家900米的商店，在店里花了10分钟买文具后，用了15分钟回到家里.下面图形中表示爷爷和小红离家的距离y（米）与时间x（分）之间函数关系的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据爷爷和小红在商店花了10分钟买文具，该时间段对应的是一段平行于x轴的线段，故可判断选项B，C的正误；接下来，根据“在店里花了10分钟买文具，用了15分钟回到家里”即可确定答案. 故选D. 【详解】根据题意，从20分钟到30分钟在店里买文具，离家距离没有变化，是一条平行于x轴的线段，则选项D是正确的. 【点睛】本题考查函数图象，解题的关键是读懂题意，知道爷爷和小红在商店停留了10分钟. 3．（22-23八年级下·浙江台州·期末）若一次函数的图象经过点，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案． 【详解】解：如图所示：不等式的解为：． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键． 4．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝|3x－1|＋2的图象记为l1，y＝x－7的图象记为l2，把l1、l2组成的图形记为图形M．若直线y＝kx－5与图形M有且只有一个公共点，则k应满足的条件是 【答案】－3≤k≤3且k≠1． 【分析】根据图像即可求得k的取值范围． 【详解】根据题意当x≥时，y＝3x－1＋2＝3x+1；当x＜时，y＝1-3x＋2＝3-3x， 由此画出图形M， 直线y＝kx－5过定点（0，-5），交点在l2上， 如图可得：－3≤k≤3且k≠1， 故答案为：－3≤k≤3且k≠1． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，画出图像是本题关键． 5．（23-24八年级下·福建厦门·期中）画出一次函数的图象． 【答案】见解析 【分析】本题考查作一次函数的图象，理解一次函数图象的性质，根据两点确定一条直线作出函数图象是解题关键． 分别求得一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，从而作出函数图象． 【详解】解：在一次函数中， 当时，； 当时，； ∴一次函数的图象与两坐标轴交于和两点， 如图： 6．（22-23八年级下·福建厦门·期中）用“描点法”画出函数的图象． 【答案】见解析 【分析】确定出函数图象经过的点，然后利用两点确定一条直线作出函数图象即可． 【详解】解：时，；时，， 所以函数图象过点，， 函数图象如图所示．    【点睛】本题考查了一次函数图象，熟悉“两点法”作一次函数图象是解题的关键． 【典型例题十一 判断一次函数的增减性】 1．（2024·湖南常德·一模）下列一次函数中，随的增大而减小的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，理解一次函数的性质“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．”是解题的关键． 【详解】解：A.，，随的增大而增大，故不符合题意； B.，，随的增大而增大，故不符合题意； C.，，随的增大而增大，故不符合题意； D.，，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 2．（2024·陕西咸阳·一模）已知点，，均在直线的图象上，则，，的值的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对一次函数图象的性质；根据比例系数可知，y随x的增大而减小判定即可 【详解】解：由已知，， 则y随x的增大而减小， ∵， ∴ 故选：C 3．（2024·广东惠州·一模）已知一次函数，当时，一次函数的最大值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了求一次函数函数值，一次函数的增减性，根据解析式可得该函数y随x的增大而减小，则当取得最大值，求出此时y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴该函数y随x的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时， 故答案为：5． 4．（2024·江苏常州·模拟预测）函数的图象经过点，则函数值y随着x的增大而 ．（填“增大”或“不变”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出k值是解题的关键．由函数的图象经过点，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k值，由，利用一次函数的性质，即可得出函数值y随着x的增大而减小． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 解得：． ∵， ∴函数值y随着x的增大而减小． 故答案为：减小． 5．（22-23八年级下·北京大兴·期末）有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．小青根据学习函数的经验，对该函数的图象与性质进行了探究，下面是小青的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是 　 　． (2)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 1 0 0 1 m … 写出表中m的值 　 　； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；    (4)根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质． 【答案】(1)全体实数 (2)2 (3)见解析 (4)当时，y随x增大而增大（答案不唯一） 【分析】（1）根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； （2）把代入中求出y的值即可得到答案； （3）先描点，再连线即可得到答案； （4）根据所画的函数图象写出其对应的性质即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； 故答案为：全体实数； （2）解：在中，当时，， ∴； 故答案为：2； （3）解：如图所示，即为所求；    （4）由函数图象可知，当时，y随x增大而增大（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象的性质，求自变量的取值范围，求函数值等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 6．（22-23八年级上·福建漳州·课后作业）已知一次函数.     （1）求图象与两条坐标轴的交点坐标，并在下面的直角坐标系中画出它的图象； （2）从图象看，随着的增大而增大，还是随的增大而减小？ （3）取何值时，？ 【答案】（1）图像与轴的交点坐标（，0），图像与轴的交点坐标（0，3），图形见解析;   （2）从图像看，随的增大而减小   （3）当时， 【详解】试题分析：（1）先求出图象与x、y轴的交点坐标．根据交点，画出函数的图象即可；（2）（3）直接根据函数的图象进行解答即可. 解：（1）一次函数的解析式y=3-2x， 当y=0时，得3-2x=0，得x=； 当x=0时，y=3． 所以与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，3）． 函数图象为： （2）从图象看，随的增大而减小； （3）从图象看，当时，. 【典型例题十二 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 1．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）若点，都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质．由中知随的增大而增大即可判断与的大小关系． 【详解】一次函数中， 随的增大而增大 ，中， ． 故选：C． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图是一次函数（为常数，且）的图象，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，解题关键是运用数形结合思想．由函数图象可得对应的x的取值范围． 【详解】解：由图象可得：时， 时， 当时，x的取值范围是． 故选：C． 3．（23-24九年级上·湖南湘潭·开学考试）已知一次函数经过点，，则和的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】解：∵ ∴随的增大而增大 ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查一次函数的增减性．熟记相关结论是解题关键． 4．（22-23八年级下·上海宝山·期中）如图，一次函数的图象经过，两点，那么当时，的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据函数图象，找出当时，自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴由图可知，当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握根据函数图象写出不等式解集的方法． 5．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数表达式的方法． （1）把点，的坐标分别代入，得到二元一次方程组，然后求得k、b的值，即可得到答案； （2）根据，y随x的增大而增大，即可得出对应自变量取值范围函数值y的取值范围． 【详解】（1）解：把点，的坐标分别代入， 得：， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）当时，；当时，， ∵，y随x的增大而增大， ∴当时，． 6．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知一次函数，求: (1)当为何值时，y的值随x的增加而增加； (2)当、n为何值时，此一次函数也是正比例函数； (3)若求直线与x轴和y轴的交点坐标． 【答案】(1)当时，y的值随x的增加而增加 (2)当时，此一次函数也是正比例函数 (3) 【分析】本题考查了一次函数图象的性质与解析式的系数的关系，图象的画法及性质． （1）的值随的增加而增加时，，求解即可； （2）一次函数为正比例函数时，，求解即可； （3）若，时，可确定一次函数解析式，再求函数图象与轴、轴的交点． 【详解】（1）由题意得：，解得，   当时，y的值随x的增加而增加； （2）由题意得：且， 解得 当时，此一次函数也是正比例函数； （3）若，，一次函数解析式为：， 令，得，令，得， 故函数图象与轴、轴的交点为； 【典型例题十三 比较一次函数值的大小】 1．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）已知点，均在直线的图象上，则，的值的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，对于一次函数（k为常数，），当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而增减小，据此求解即可． 【详解】解：在中，， ∴y随x增大而增大， ∵点，均在直线的图象上，且， ∴， 故选：C. 2．（23-24八年级下·云南保山·期中）已知点四点在直线的图象上，且，则的大小关系为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴函数y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知，是一次函数图象上的两个点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】解：由一次函数可知：， ∴y随x的增大而减小， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴； 故答案为． 4．（23-24八年级下·广西柳州·期中）已知点和点是直线上的两个点，则m，n的大小关系为m n．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数值的大小，根据一次项系数的正负判断函数图象的增减性，即可求解． 【详解】解：中，一次项系数， y随x的增大而增大， ，点，， ， 故答案为：． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）如图是函数的一部分图象， (1)自变量的取值范围是 ； (2)当取 时，的最小值为 ． 【答案】(1) (2)5，2.5 【分析】本题主要考查一次函数的性质； （1）由点B在函数图象上，将代入直线方程求得x的值，再结合函数图象可求得x的取值范围； （2）由图象可知直线的图象呈下降趋势，在点B处，y有最小值，据此确定y最小时x的取值和y的最小值． 【详解】（1）观察函数图象，将代入一次函数中，可得， 所以自变量x的取值范围是． 故答案为：； （2）由函数图象可知，随着x的增大，y值在变小， 由函数图象可知，y有最小值，即当时，为最小值． 故答案为：5，2.5． 6．（2024·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点， 且与y轴交于点 C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时， 对于x的每一个值， 函数的值大于函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)函数的解析式为，点C的坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式， （1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解． （2）根据题意结合解出不等式结合，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式得， ，解得， ∴函数的解析式为：， 当时，， ∴点C的坐标为． （2）解：由题意得，， 即， 又， ∴， 解得：， ∴n的取值范围为． 【典型例题十四 一次函数的规律探究问题】 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，．．．分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数图象与结合图形的综合的规律题，根据题意分别求出点的坐标，并根据有理数的乘方运算找出规律，由此即可求解． 【详解】解：∵点，，，…在直线， ∴当时，，即的纵坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴当时，，，即的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，则纵坐标为， ∴，则 ∵是正方形是正方形， ∴，则， ∴， ∴当时，，，则的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， 同理，，的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 2．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则A8B9的长为（　　） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数规律探索问题，涉及的知识有：一次函数的性质，以及坐标与图形性质，对于直线，令求出y的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出B2的横坐标，即可求出的长，同理求出，，…，归纳总结即可得到的长．弄清题中的规律是解本题的关键． 【详解】解：对于直线，令，求出， ， 轴， 的纵坐标为2， 将代入中得：， ， ， 轴， 的横坐标为2， 将代入直线中得：， ， 与的纵坐标为4， 将代入中得：， ， ， 同理，…，， 则的长为． 故选：D． 3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线与直线互相平行，则常数的值为 ． 【答案】6 【分析】直接根据两直线平行的条件即可得出结论． 【详解】解：直线与直线平行， ． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查的是两条直线相交或平行问题，熟知若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同，是解答此题的关键． 4．（2024·山东东营·二模）如图放置的，，都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，，都在直线上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数图像上点的变化特征．先求出的长度，再用勾股定理求出的坐标，根据和的位置关系即可求出的坐标． 【详解】解：∵，，都是边长为2的等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则 则， 解得， ， ，即， 故答案为：． 5．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）在学习了一次函数后，某校数学兴趣小组根据学习的经验，对函数y=-｜x｜-2的图像和性质进行了探究，下面是该兴趣小组的探究过程，请补充完整: (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表: x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y ... -5 -4 -3 n -3 -4 -5 ... ①n= ； ②如图，在所给的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图像； (2)当一2＜x≤5时，y的取值范围是 ； (3)根据所画的图像，请写出一条关于该函数图像的性质. 【答案】（1）①-2，②见解析；（2）；（3）函数图像关于y轴对称；顶点坐标为（0，-2）等等. 【分析】（1）①把x=0代入函数表达式，即可得出n的值； ②把表格中7个点画在坐标系中，根据点的变化趋势，即可画出此函数的图像； （2）结合图像，当一2＜x≤5时，. （3）结合图像，可得当x=-2时，y=0. 【详解】解：（1）①把x=0代入y=-x-2，得y=-2 ②如图所示即为函数图像； （2）当一2＜x≤5时，从图像中可看出最高点纵坐标为-2，最低点纵坐标为-7， ∴. （3）结合图像，可得函数图像关于y轴对称；顶点坐标为（0，-2）等等. 【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握函数自变量的取值范围、函数值的求法、列表描点画函数图像及一次函数的性质． 6．（22-23八年级下·四川泸州·期中）已知一次函数，当时，，当时，，求此一次函数的解析式． 【答案】 【分析】根据待定系数法即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， 一次函数的解析式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，正确建立二元一次方程组即可． 【典型例题十五 求一次函数解析式】 1．（2024八年级下·天津·专题练习）一次函数，当时，，当时，，则当时，（　　） A．7 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式．把时；当时，代入一次函数，建立关于、的二元一次方程组，进一步求得答案即可． 【详解】解：在一次函数中，当时，，当时，； ， 解得：， 一次函数解析式为：， 则当时，， 故选：A． 2．（2024·陕西汉中·二模）一次函数（b为常数）的图象关于y轴对称后经过点，则b的值是（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，明确坐标特征是解题的关键． 根据关于轴对称的两点纵坐标相同，横坐标互为相反数得到，把点代入即可求得的值． 【详解】解：根据题意，一次函数（b为常数）的图象关于y轴对称后所求的函数解析式是． ∵所得的图象经过点， ， 解得：， 故选：A． 3．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如果一次函数的图象经过，那么的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．直接把代入到一次函数解析式中求出m的值即可． 【详解】解：根据题意得： 解得：， 故答案为：3． 4．（2024·上海·中考真题）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而 ．（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出，结合正比例函数的性质，即可得出的值随的增大而减小． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ， 解得：， 又， 的值随的增大而减小． 故答案为：减小． 5．（22-23九年级上·湖南永州·期中）已知如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点．    (1)求m，n的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由于点和点都在一次函数的图象上，进而可求解． （2）由于点C在的图象上，可得，根据即可求解． 【详解】（1）解：由于点和点都在一次函数的图象上，则：当时，， 当时，，解得：， ，． （2）由于点C在的图象上， 令时，， ∴， ∵，点， ． 【点睛】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 6．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数解析式． (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数关系式， （1）设关系式为，再将数值代入求值即可； （2）将点代入关系式，求出解即可． 【详解】（1）解：根据题意，设． 当时，， ， 解得， 与之间的函数解析式为． （2）把代入，得， 解得， 的值为． 【变式训练1 正比例函数的图象】 1．（2024·广西梧州·一模）在直角坐标系中，下面哪个点是函数的图象经过的点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数图象上的点的特点，求出时的函数值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴函数图象经过点； 故选B． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知点在正比例函数的图象上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查正比例函数图象上的点的特征，将代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴点的坐标是； 故选A． 3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】12 【分析】把点的坐标代入正比例函数解析式，即可求出a的值． 【详解】解：把点代入正比例函数， 得：， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函数解析式是解题关键． 4．（22-23八年级上·福建三明·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则实数的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据正比例函数的图象经过第二、四象限得出k的取值范围，进而可而得出答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴k的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，在正比例函数中，当时，函数图象经过第一、三象限；当时，函数图象经过第二、四象限． 5．（23-24八年级下·吉林·期中）已知正比例函数． (1)为何值时，函数的图象经过第一、三象限； (2)为何值时，函数值随自变量的增大而减小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的增减性，函数图象所经过的象限与正比例系数之间的关系，是解决问题的关键． （1）当正比例系数大于0时，函数图象经过一、三象限，则有，求解就能确定k的范围； （2）当正比例系数小于0时，y随x的增大而减小，则有，求解就能确定k的范围． 【详解】（1）∵函数的图象经过一、三象限， ∴， 解得． 故当时，函数的图象经过一、三象限． （2）∵y随x的增大而减小， ∴， 解得． 故当时，y随x的增大而减小． 6．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）正比例函数随x的增大而减小． (1)确定m的取值范围； (2)小明说，函数图象不可能经过点，但可能经过点，你认为他说得有道理吗？说说你的理由． 【答案】(1) (2)小明说得有道理，理由见解析 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的性质； （1）根据，且y随着x的增大而减小则求解即可； （2）将点与代入，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数，且y随着x的增大而减小． ∴， ∴， ∴m的取值范围：； （2）小明说得有道理，理由如下： 当，， 当时，方程无解， ∴函数图象不可能经过点， 当时，， 当时，解得：， ∴函数图象可能经过点； ∴小明说得有道理． 【变式训练2 正比例函数的性质】 1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）若正比例函数的图象经过点， 则它一定经过（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的对称性，根据正比例函数关于原点对称即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴由正比例函数的对称性可知它一定经过， 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数的图象经过点，k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式．把代入，即可求解． 【详解】解：把代入，得： ， 故选：D． 3．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正比例函数的图象经过点，则m的值为 【答案】2 【分析】本题考查了正比例函数的性质．把点的坐标代入函数的解析式，即可得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴代入得：， 解得：， 故答案为：2． 4．（23-24八年级上·上海·期末）正比例函数的图像经过，且，则k的范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，根据题意可知y随x增大而减小，则，可得．对于正比例函数，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过，且， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）5月是销售樱桃的季节，某樱桃种植园为了吸引顾客，推出入园采摘销售模式．已知采摘樱桃重量x（千克）与所需费用y（元）之间的关系可以用来表示. (1)上述关系中，______是自变量，______是因变量； (2)上述关系用表格表示如下表，请补充填空： 千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 元 3 6 ______ 12 15 ______ … (3)48元能买多少千克樱桃？ 【答案】(1)采摘草莓的重量x；所需费用y (2)见解析 (3)48元能买8千克樱桃． 【分析】本题主要考查了正比例函数的应用： （1）根据自变量和因变量的定义即可得出答案； （2）根据函数关系式，代入数据即可求解； （3）把代入函数关系式中即可得出答案． 【详解】（1）解：上表反映了所需费用y（元）与采摘草莓的重量x（千克）这两个变量之间的关系； 采摘草莓的重量x（千克）是自变量；所需费用y（元）是因变量． 故答案为：采摘草莓的重量x；所需费用y； （2）解：填表如下： x/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … y/元 3 6 9 12 15 18 … （3）解：当时，，解得． 答：48元能买8千克樱桃． 6．（22-23八年级上·广西·期末）已知函数， (1)为何值时，该函数是一次函数 (2)为何值时，该函数是正比例函数. 【答案】(1)；(2)且. 【分析】(1)根据一次函数定义得到m−1≠0，易得m的值； (2)根据正比例函数定义得到m−1≠0且n=0，易得m,n的值. 【详解】解：(1)当该函数是一次函数时， . 当时，该函数是一次函数. (2)当该函数是正比例函数时, 且. 且，该函数是正比例函数. 【点睛】考查了正比例函数和一次函数的定义，熟记一次函数与正比例函数的一般形式即可解题，属于基础题． 【变式训练3 根据一次函数的定义求参数】 1．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）一次函数的一次项系数和常数项的值分别为（　　） A．1， B．1，1 C．，1 D．， 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义即可得出结论． 【详解】解：由题意可知：一次函数的一次项系数的值为，常数项的值为1． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的定义，正确记忆一次函数的一般形式是解题关键． 2．（2023·湖南长沙·一模）函数的图像经过点，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将图像上的点代入解析式求解即可． 【详解】一次函数的图像经过点， ， 解得． 故选B． 【点睛】本题考查函数图像的性质，图像上的点的横纵坐标符合解析式方程．将点的坐标代入解析式方程求解参数是解题的关键． 3．（23-24七年级上·山东威海·期末）已知函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 由题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）已知函数， （1）该函数图象经过定点 ， （2）如果直线不经过第三象限，则k的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质； （1）将解析式变形，根据题意令含的项的系数为，即可求解； （2）根据一次函数的性质可得且，解不等式，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过定点； 故答案为：． （2）∵直线不经过第三象限， ∴且， ∴， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知函数. （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 【答案】（1）时，是一次函数；（2）时，y的值为3. 【分析】（1）根据一次函数的定义即可列出关于m的方程和不等式，从而求出m的值； （2）将y=3代入一次函数中，即可求出x的值． 【详解】（1）由是一次函数得， 解得． 故当时，是一次函数． （2）由（1）可知． 当时，，解得． 故当时，y的值为3． 【点睛】此题考查的是根据一次函数求函数中参数的值以及根据函数值求自变量的值，掌握一次函数的定义是解决此题的关键． 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数表达式． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可． （2）根据（1）代入即可即解答． 【详解】（1）解：与成正比例， 设． 时，， ， ， ， 与之间的函数表达式为． （2）当时，， ． 【变式训练4 求一次函数自变量或函数值】 1．（2024·西藏日喀则·一模）关于的函数，当时，函数值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数，将代入函数解析式即可． 【详解】将代入函数，得 故选：B． 2．（23-24八年级下·北京·期中）直线一定经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，将解析式变形为，得到当时，，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即直线一定过点； 故选B． 3．（2024·重庆九龙坡·一模）已知点在函数的图象上，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了求一次函数自变量．熟练掌握求一次函数自变量的方法是解题的关键． 将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：将代入得，， 解得，， 故答案为：2． 4．（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，点在直线的图象上，它们的横坐标分别为，，，，，，分别过这些点作轴、轴的平行线，则图中阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，把代入，求出对应的纵坐标，即可求出每个三角形的面积，进而求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， ∴每个三角形的面积为， ∴图中阴影部分的面积之和为， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数，表中给出了部分对应值． … 2 4 … … … (1)求该一次函数的表达式； (2)求、的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式和一次函数图象上点的坐标特征，能求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）由所给数据，利用待定系数法可求得一次函数解析式； （2）利用（1）中所求的函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为, 由题意可得. 解得. ∴一次函数的表达式为； （2）当时，代入可得， ． 当时，代入可得， ， 解得． ，． 6．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）已知矩形的周长为， AB的长为，的长为． （1）写出关于的函数解析式（为自变量）； （2）当时，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据矩形周长公式得到x与y的关系，进而得到y关于x的函数解析式； （2）把x=3代入（1）中解析式即可． 【详解】解：（1）依题意得，即， 关于的函数解析式为． （2）把代入，得：， 时，的值为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，以及函数的值，根据矩形的周长公式得到x与y的关系是解题的关键． 【变式训练5 列一次函数解析式并求值】 1．（22-23八年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，已知点A（a，b）在直线y＝－2x＋1上，则2a＋b的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】将点代入直线的解析式即可得． 【详解】解：由题意，将点代入直线得：， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的求值，理解一次函数图象上的点是解题关键． 2．（2022·北京·中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【答案】B 【分析】设水面高度为 注水时间为分钟，根据题意写出与的函数关系式，从而可得答案． 【详解】解：设水面高度为 注水时间为分钟， 则由题意得： 所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系， 故选B． 【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键． 3．（22-23六年级下·山东烟台·期末）一出租车油箱内剩余油42L，一般行驶一小时耗油7L，则该车油箱内剩余油量y（L）和行驶时间x（时）之间的函数关系式是 （不写自变量取值范围）． 【答案】y＝42﹣7x 【分析】根据余油量=原有油量-用油量得出． 【详解】解：依题意有：y＝42﹣7x． 故答案为：y＝42﹣7x． 【点睛】此题主要考查根据题意列一次函数表达式，根据已知得出y与x的函数关系式是解题关键． 4．（2023·山西·模拟预测）“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】该员工的工资包括底薪1700元，每月超过300单且不超过500单的部分200×5=1000元，超过500单的7（x-500）元，然后求和即可． 【详解】解：y=1700+200×5+7（x-500）=7x-800． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列函数解析式，正确理解题意成为解答本题的关键． 5．（22-23八年级下·云南临沧·阶段练习）一次函数的图象经过点（1，2）和点（-2，5）． （1）求出该一次函数的解析式； （2）当x=10时，y的值是多少？ （3）当y=12时，x的值是多少？ 【答案】（1）；（2）-7；（3）-9. 【分析】（1）用待定系数法即可得到答案； （2）将x=10代入一次函数即可得到答案； （3）将y=12代入一次函数即可得到答案. 【详解】（1）设函数解析式为： 因为图象经过点（1，2）和点（-2，5），代入得 有            解得， 与的函数关系式为： （2）当=10时， （3）当y=12时，x=-9. 【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是熟练掌握待定系数法. 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列图象中，表示一次函数的有哪些？ 【答案】（2） 【分析】根据一次函数的图象是直线即可求解． 【详解】解：表示y是x的一次函数的图象是一条直线，观察选项，只有（2）符合题意． 故表示一次函数的为（2）． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，一次函数和正比例函数的图象都是直线． 【变式训练6 判断一次函数的图象】 1．（22-23八年级下·广西防城港·期末）下列图象中，表示y是x的一次函数的是（　　） A．         B．       C．       D．       【答案】D 【分析】根据一次函数的图象即可判断． 【详解】解：一次函数的图象是直线， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，理解一次函数的图象是解题的关键． 2．（22-23九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在一次函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质，在第一象限内随的增大而减小，用直线连接发现Q点不在函数的图象上． 【详解】解：在第一象限内随的增大而减小，用直线连接发现Q点不在函数的图象上， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次例函数的性质，掌握一次数图象的性质是解题的关键． 3．（22-23八年级上·四川成都·期末）点P（a，b）在函数y＝3x＋2的图象上，则代数式6a﹣2b的值等于 ． 【答案】-4 【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a-b=-2，代入2（3a-b）即可． 【详解】解：∵点P（a，b）在函数y=3x+2的图象上， ∴b=3a+2， 则3a-b=-2． ∴6a-2b=2（3a-b）=-4 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数关系式． 4．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系xOy中，有A、B、C、D四点，若有一直线经过点(-1,3)且与y轴垂直，则也会经过的点是 （填A、B、C或D）　 【答案】D 【分析】设直线的解析式为，先根据“直线与y轴垂直”可得，再将点代入可得b的值，从而可得直线的解析式，由此即可得出答案． 【详解】设直线的解析式为， 直线与y轴垂直， ， 直线经过点， ， 将代入得：， 则直线的解析式为， 观察四个点可知，直线也会经过的点是D， 故答案为：D． 【点睛】本题考查了函数解析式，依据直线与y轴垂直得出是解题关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量与摩托车行驶路程之间的关系如图所示．根据图像回答下列问题： （1）油箱最多可储油多少升？ （2）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米? （3）摩托车每行驶消耗多少升汽油? （4）油箱中的剩余油量小于时，摩托车将自动报警．行驶多少千米后，摩托车将自动报警? 【答案】（1）油箱最多可储油；（2）一箱汽油可供摩托车行驶；（3）摩托车每行驶消耗汽油；（4）行驶后，摩托车将自动报警 【分析】（1）结合图像，当摩托车行驶路程为零时，对应的纵坐标数值即为油箱最多可储油的量； （2）结合图像，当摩托车剩余油量为零时，对应的横坐标数值即为可供摩托车行驶的总里程； （3）结合图像，从0增加到100时，从10减少到8，即可得到答案； （4）根据（3）的结论，通过计算摩托车消耗汽油对应的行驶里程，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得：当时， ∴油箱最多可储油； （2）当时， ∴一箱汽油可供摩托车行驶； （3）根据题意，从0增加到100时，从10减少到8，减少了2， ∴摩托车每行驶消耗汽油； （4）根据（3）的结论，当摩托车消耗汽油时，对应的行驶里程为： ∴行驶后，摩托车将自动报警． 【点睛】本题考查了直角坐标系、一次函数图像的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解． 6．（2023八年级下·上海·专题练习）一次函数的图象能否可以不经过第三象限?为什么? 【答案】不可以不经过第三象限．理由见解析 【分析】先假设不经过第三象限，得到经过第一二四象限或二四象限的k的取值即可求解． 【详解】解：若一次函数的图象不经过第三象限， 则一次函数的图象可以是经过第一二四象限，此时，无解； 也可以经过第二四象限，此时，无解． 综上可知，上述一次函数图象不可以不经过第三象限． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟记一次函数的性质是解题的关键． 【变式训练7 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 1．（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数表达式为：，则此一次函数图像不经过第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质，熟练掌握一次函数图像与系数的关系是解决本题的关键． 根据，，即可进行判断． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的函数图像过第一、三、四象限，不过第二象限， 故选B． 2．（23-24八年级下·四川广安·期中）下列图象中可能是一次函数的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．据一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到一次函数的图象经过哪几个象限． 【详解】解：当时，一次函数的图象过一、三、四象限； 当时，一次函数的图象过二、三、四象限； 符合条件的为C选项， 故选C． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期中）一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查一次函数解析式及其性质，根据一次函数的解析式和一次函数的性质，可以得到该函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【详解】解：一次函数，，， 该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故答案为：三． 4．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点，在直线上，当时，，且，则在平面直角坐标系内，它的图象经过第 象限． 【答案】一，二，三 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意，判断，的正负是解答本题的关键． 根据点，在直线上，当时，，且，可以得到，的正负情况，然后根据一次函数的性质，得到答案． 【详解】解：根据题意得： 点，在直线上，当时，，且， ，， 直线经过第一，二，三象限， 故答案为：一，二，三． 5．（22-23八年级下·吉林·期末）如图，一次函数y＝（m﹣3）x﹣m+1的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A、B，求m的取值范围． 【答案】m＞3． 【分析】根据一次函数图象所经过的象限得到关于的不等式，解不等式组即可． 【详解】解：如图，一次函数图象经过第一、三、四象限， ， 解得． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 6．（23-24八年级上·江苏·周测）已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求的值； (2)若该一次函数的图象不经过第二象限． 【答案】(1)的值是8； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查一次函数的性质． （1）由于图象过原点，所以常数项为0，从而求出m的值． （2）由于图象不经过第二象限，所以一次项系数大于0，常数项小于等于0． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 答：的值是8； （2）解：根据题意，得 解得 答：的取值范围是． 【变式训练8 已知函数经过的象限求参数范围】 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）直线经过点，，，则必有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数与系数的关系．根据点、的坐标作出一次函数的大致图象，结合图象推知、的符合． 【详解】 解：直线经过点，，，则该函数图象如下所示： 该函数图象经过第二、四象限，则． 该函数图象与轴交于正半轴，则． 故选：C． 2．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是一次函数的图象与系数的关系．根据图象可知，一次函数与轴的交点在轴上方，从而可确定出的取值范围． 【详解】解：根据图象可知，一次函数与轴的交点在轴上方， ， ． 故选：D． 3．（2024·青海西宁·一模）一个函数的图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交，这个函数的解析式可以是 (写出一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一个一次函数的图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交那么该一次函数的一次项系数和常数项都大于0，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，符合题意的解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2024·河南信阳·一模）若一次函数的图象一定过第二、四象限，则k的值为    ．（只写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，从而确定字母k的取值范围． 由一次函数图象经过第二、四象限，可知，在范围内确定的值即可． 【详解】解：一次函数的图象一定过第二、四象限， ， 可以取， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一次函数，请按要求解答问题： (1)若点在函数图像上，求m的值． (2)若函数图像平行于直线，求一次函数解析式； (3)m为何值时，函数图像不经过第二象限，且y随x的增大而增大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的性质解题即可． （1）把点代入一次函数解析式就可以得出m的值． （2）根据平行于直线，可知一次函数的，继而求得m值，再把m值代入一次函数解析式，即可就得一次函数解析式． （3）根据函数图像不经过第二象限，且y随x的增大而增大，得出一次函数k和b值的条件，然后列出不等式组解不等式组即可求得m． 【详解】（1）解：把点代入函数解析式， 得：，故． （2）若函数图像平行于直线， 则：中的k值与直线中的k值相等， 则：， 解得：， 把代入，得：， 故一次函数解析式为：． （3）函数图像不经过第二象限，且y随x的增大而增大， 则且， 故解不等式组， 解得： 6．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）一次函数的图象经过，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、一次函数与坐标轴的交点问题，掌握待定系数法求出解析式是解题关键． （1）将，两点代入即可求解； （2）求出一次函数与坐标轴的交点，根据即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：如图所示： 令，则； 令，则； ∴ 【变式训练9 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 1．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）一次函数的图象与y轴的交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题．令，求出y值，即可得解． 【详解】解：令， ， 一次函数的图象与y轴的交点是， 故选：C． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，直线与x轴交于点，则时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据题意，，即轴上方的部分图象对应的x值范围，根据图象可得答案． 【详解】解：由函数图象可知：时． 故选：． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）若直线经过点，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数；先将点代入解析式，求出m的值，再分别求出直线与两坐标轴的交点，即可求出三角形的面积． 【详解】将点代入，得，解得： ∴ 当时， 当时， ∴该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 故答案为：2． 4．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过轴负半轴上的点的一次函数的图象相交于点，直线与轴相交于点，与关于轴对称，，点为线段上的一个动点，连接，若直线将的面积分为两部分，请直接写出点的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的交点，三角形的面积，折叠的性质．根据题意，利用已知条件得到点，点坐标，用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线和直线的解析式可求出点的坐标．过点作轴于点，先求出的面积，直线将的面积分为两部分，需要分两种情况：当点在线段上时，则有，由此建立方程求解，得到答案；当点在线段上时，设直线与轴交于点，此时有，由此建立方程求解，得到答案． 【详解】解：令，则；令，则； ∴点、， ， 与关于轴对称，， ，， ， 把点和点的坐标代入一次函数， ， 解得， 直线的函数表达式为：， 令， 解得：， ， 点的坐标为． 如图，过点作轴于点，连接， ， ，， ， ， 、、， 点是线段的中点， ， 当点在线段上时，则有 ， ， ， 解得：， ； 当点在线段上时，设直线与轴交于点，如图，此时有 ， ， ，解得， ， ， 直线的解析式为， 令， 解得：， ， 综上所述，若直线将的面积分为两部分，点的坐标为或． 故答案为：或． 5．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)点在轴上，若的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)当点在点上方时，；当点在点下方时， 【分析】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）分点在点上方和点在点下方两种情况讨论． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ； （2）点在轴上，若的面积为6， ， ， ， 当点在点上方时，． 当点在点下方时，． 6．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）已知与成正比例，当时，．    (1)求与之间的函数解析式． (2)在所给直角坐标系中画出函数图象． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】此题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式及用描点法画函数图象， （1） 根据与成正比例关系设出函数的解析式， 再把当时，代入函数解析式即可求出的值， 进而求出与之间的函数解析式 ． （2） 根据 （1） 中所求函数解析式， 分别令，，求出直线与两坐标轴的交点，然后连线即可． 【详解】（1）解：与成正比例关系， 设， 并把，代入，得：， 解得：， 原解析式为，即． （2）解：由（1）可知， ∴当时，则， 解得：， 即直线与轴的交点坐标为； 当时，则， 即直线与轴的交点坐标为； 函数图象如图所示：    【变式训练10 画一次函数图象】 1．（22-23九年级下·湖北武汉·期中）有8条不同的直线（n＝1，2，3，4，5，6，7，8），其中，，则这8条直线的交点个数最多是（    ） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 【答案】C 【分析】通过一次项系数相等的一次函数图像直线直线平行，得到．一次函数与轴交点为，且，得到这三条直线交于一点．想要直线之间交点尽可能多，则后出现的直线与前面所有直线都有不同交点，画图可得到最多的交点情况，得出最多交点个数． 【详解】先画出交于1点，后画分别与前3条直线各有1个交点，与前面6条直线各有1个交点，与前面7条直线各有1个交点． 所以最多共有23个交点． 故选C． 【点睛】本题考查直线之间的交点个数，直线之间的交点个数最多的情况为后出现的直线与前面的直线均有不同交点．有位置前提的情况下，需要了解直线本身具有什么位置关系特点，先理清楚条件再按照交点个数最多的策略画图．理解直线之间的交点个数最多的情况是解题的关键． 2．（2023·河北沧州·三模）如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】首先去绝对值，列出分段函数，再画出函数图像，与所给图像进行对比，即可得出答案． 【详解】解：由可得， 函数图像如下所示： 对比所给图像可知，点是坐标系的原点． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，解题的关键是列出分段函数． 3．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，画一次函数y＝－3x＋3的图像时，通常过点 和 画一条直线． 【答案】 （0，3） （1，0） 【分析】根据题意，画一次函数的图像，通常找到直线与坐标轴的交点坐标进行画图，分别求出与坐标轴的交点坐标，即可得到答案. 【详解】解：根据题意， ∵画一次函数y＝－3x＋3的图像， 令，则， 令，则， ∴与坐标轴的交点坐标为（0，3），（1，0）； 故答案为：（0，3），（1，0）； 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，解题的关键是正确求出直线与坐标轴的交点坐标，从而进行画图. 4．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝|3x－1|＋2的图象记为l1，y＝x－7的图象记为l2，把l1、l2组成的图形记为图形M．若直线y＝kx－5与图形M有且只有一个公共点，则k应满足的条件是 【答案】－3≤k≤3且k≠1． 【分析】根据图像即可求得k的取值范围． 【详解】根据题意当x≥时，y＝3x－1＋2＝3x+1；当x＜时，y＝1-3x＋2＝3-3x， 由此画出图形M， 直线y＝kx－5过定点（0，-5），交点在l2上， 如图可得：－3≤k≤3且k≠1， 故答案为：－3≤k≤3且k≠1． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，画出图像是本题关键． 5．（23-24八年级下·山西临汾·期中）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，请回答下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出此一次函数的图象． (2)点的坐标为______，的坐标为_____，______． 【答案】(1)见详解 (2)，，1 【分析】本题主要考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． （1）根据题意可知点A、B的坐标，然后再图象上描出点A、B，进而问题可求解； （2）根据（1）可直接得，，进而求解△AOB的面积． 【详解】（1）解：当时，；时，，即，， 函数图象如下： （2）解：∵当时，；时，， ∴，，， 故答案为：，，1 6．（22-23八年级下·甘肃平凉·期末）请在所给的平面直角坐标系中作出一次函数的图像，并指出当x增大时，y如何变化． 【答案】画图见解析；y随x的增大而减小． 【分析】先画出一次函数的图像，接着观察图像可得出结果． 【详解】解：一次函数的图像如下图所示： 观察图像可知x越大y越小， y随x的增大而减小． 【点睛】本题主要考查画一次函数图像以及一次函数的增减性，属于基础题，比较简单，能够画出一次函数的图像是解题的关键． 【变式训练11 判断一次函数的增减性】 1．（2024·江苏无锡·二模）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，灵活运用一次函数的增减性是解题的关键．根据，，则y随x的增大而减小，，则y随x的增大而增大，然后进行判断即可． 【详解】解：Ａ、，，故y随x的增大而减小，符合题意； B、，，故y随x的增大而增大，不符合题意； C、，，故y随x的增大而增大，不符合题意； D、，，故y随x的增大而增大，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与轴交于点 C．函数值随自变量的增大而减小 D．点在函数图象上 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键．根据一次函数的性质逐个进行分析判断即可做出选择． 【详解】解：一次函数中，，， 图象经过第一、二、三象限，故A不正确； 一次函数中，当时，， 图象与轴交于点，故B错误； 一次函数中，， 函数值随自变量的增大而增大，故C不正确； 一次函数中，当时，，故D正确． 故选： 3．（22-23八年级下·山东济宁·阶段练习）下列一次函数中，y的值随着x值的增大而减小的有 ． ①；②；③；④ 【答案】②④ 【分析】本题考查了一次函数的性质．在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：①，，y的值随着x值的增大而增大； ②，，y随x的增大而减小； ③，，y的值随着x值的增大而增大； ④，，y随x的增大而减小； 故答案为：②④． 4．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，一次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“”符号连接） 【答案】 【分析】本题考查一次函数以及正比例函数图象与性质；首先根据直线经过的象限判断k的符号，再根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断三个系数的大小． 【详解】解：由直线经过的象限，知：， ∵根据直线越陡，越大， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）已知是的一次函数，与部分对应的值如下表： 1 2 5 1 (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，函数的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法，掌握待定系数法的步骤是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）设y与x之间的函数表达式为， 把和代入，得 ， 解得：， 所以y与x之间的函数表达式为； （2）∵， ∴y随x的增大而减小． 当时，， 当时，， ∴当时，函数y的取值范围是：， 故答案为：． 6．（22-23八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)若点在该一次函数图象上，当时，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）由（1）得一次函数的图象y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为 ∵一次函数的图像经过和      解得： ∴一次函数解析式为； （2）解：由（1）得：， 一次函数的图像y随x的增大而减小， ∵点在该一次函数图象上， ∴当时，， 当时，， 当时，． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握利用待定系数解答是解题的关键． 【变式训练12 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数来说，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据直线中，得到随的增大而减小，由即可得到的取值范围． 【详解】解：对于直线来说， ∵， ∴随的增大而减小． ∵， ∴． 故选：A 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点在一次函数的图象上，其坐标分别为，，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标以及一次函数的性质．依据点A与点B的位置，即可得到点B的横坐标以及纵坐标都比点A的横坐标以及纵坐标大． 【详解】解：由题意可得，函数图象y随x增大而增大， ∴， ∴，， 故选：B． 3．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】根据一次函数的性质，通过题中，可判断随着x的增大而增大，即可得答案． 【详解】解：， ， 随着x的增大而增大， 点在一次函数的图像上，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握，随着x的增大而增大． 4．（2023·河南南阳·一模）已知一次函数，当时，y的最大值等于 ． 【答案】7 【分析】根据一次函数的性质即可得答案． 【详解】∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为， 故答案为：7． 【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 5．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数，一次函数图象经过点． (1)求的值； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图象； (3)当时，的取值范围为_____． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】 （1）将点代入解析式，求得解析式； （2）令，得，令，得，根据两点画出函数图象即可求解； （2）观察函数图象，分别求出当时，当时的自变量取值，即可求解． 【详解】（1） 解：点代入，即， 解得， ∴， （2） 解：令，得，令，得， ∴一次函数过点，， 画出函数图象，如图， （3） 解：对于，y随x的增大而减小， 当时， 解得：， 当时，， 解得：， ∴当时，的取值范围为． 故答案为： 【点睛】 本题考查了待定系数法求解析式，画一次函数图象，求函数值的取值范围，数形结合是解题的关键． 6．（2023·浙江湖州·模拟预测）已知一次函数的图象经过点， (1)求和的值 (2)若，是该函数图象上的两点，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质； （1）根据待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：； （2）由（1）可得， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴． 【变式训练13比较一次函数值的大小】 1．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）已知点，都在直线上，则，大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质；根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小，可以解答本题． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵点，都在直线上， ∴， 故选A． 2．（23-24八年级下·吉林松原·期中）已知点、都在直线上，则与大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，y的值随x的值增大而减小． 直接根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选A． 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）一次函数的图象经过，，则，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得该一次函数的y随x的增大而减小，然后问题可求解． 【详解】解：由一次函数可知：， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数的图象经过，，且， ∴； 故答案为． 4．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是 （填“”，“”“”） 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象的性质，根据一次函数解析式得出，得出随着的增大而减小，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点．    (1)求A、B两点的坐标． (2)点，在该函数的图象上，比较与的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别代入与 求解即可． （2）根据一次函数的增减性或分别代入求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ∴点A坐标为， 把代入得： ， ∴点B坐标为． （2）解：时，， 时，， ， ． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质． 6．（22-23八年级上·江西抚州·阶段练习）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 【答案】(1)①A(-1，0)，B(0，1)②B(1，2)，(3，0)，y=-x+3 (2)， (3) 【分析】（1）①由一次函数y=x+1即可求得A、B的坐标； ②先求出A(-1，0)关于y轴的对称点的坐标(1，0)．将x=1代入y=2x+2，求出y=4，得到．再求出点A关于直线的对称点的坐标(3，0)．设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，把的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （2）先求出点A关于的对称点的坐标(7，0)．由的坐标规律可得点的横坐标为．再求出的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （3）由，可得，再利用三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）①∵一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B， ∴， 故答案为：(-1，0)，(0，1)； ②∵A(-1，0)，B(0，1)， ∴点A关于y轴的对称点是(1，0)． 当x=1时，y=2， ∴B(1，2)． 点A关于直线的对称点是(3，0)． 设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)， ∴，解得， ∴直线的函数关系式是y=-x+3； （2）∵A(﹣1，0)，(3，0)． 由题意过点作x轴的垂线，点是点A关于的对称点得， ∴(7，0)． 由(1，0)，(3，0)，(7，0)， 可得点的坐标为(，0)， 直线的函数关系式为． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，解决本题的关键是一次函数的图像和性质． 【变式训练14 一次函数的规律探究问题】 1．（2023·陕西西安·模拟预测）已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可以的关于b的不等式，然后根据题意即可求得b的取值范围． 【详解】解：由题意可得， 点A的横坐标为2018， 在线段AB上恰好有2018个整点包括端点， ， 解得，， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想和不等式的性质解答． 2．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和的图象分别为直线l1、l2，过点A1（1，）作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，……依次进行下去，则点A2019的横坐标为（　　）    A．21008 B．﹣21008 C．﹣21009 D．21006 【答案】C 【分析】由题意分别求出A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8的坐标，找出A2n﹣1的横坐标的规律，即可求解． 【详解】解：∵过点A1（1，）作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，……依次进行下去， ∴A1与A2横坐标相同，A2与A3纵坐标相同， ∴当x＝1时，y＝1， ∴A2（1，1）， ∴当y＝1时，x＝﹣2 A3（﹣2，1）， 同理可得：A4（﹣2，﹣2），A5（4，﹣2），A6（4，4），A7（﹣8，4），A8（﹣8，﹣8）… ∴A2n﹣1的横坐标为（﹣2）n﹣1， ∴点A2019的横坐标（﹣2）1009＝﹣21009． 故选：C． 【点睛】此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是熟知坐标与函数的关系及坐标的变化规律总结． 3．（22-23九年级下·江西九江·期中）对于一次函数的图象，无论k为何值，都过一个定点，则这个点的坐标是 ． 【答案】 【分析】将变形为，即可求解． 【详解】解：， 当，即时，无论k为何值，y的值都为4， 因此这个点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是将变形为． 4．（2023·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】当时，根据，可得点的坐标为，根据正方形的性质可得出规律进而可求得点，，，……，得坐标，进而可求得，，，……，进而可求解． 【详解】解：当时，有， 解得：， 点的坐标为， 四边形为正方形， 点的坐标为， 同理可得：，，，，， ，，，，， （为正整数）， 点的坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数规律探索问题，根据已知找出规律是解题的关键． 5．（22-23八年级·全国·课后作业）一次函数(n为正整数)的图象与x轴、y轴的交点是A、B，O是原点，设的面积为. (1)求； (2)求. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）把n=1代入一次函数，求出AB的坐标，根据三角形的面积公式即可得出s1的值； （2）先分别令x=0求出y的值，再令y=0求出x的值，由三角形的面积公式可得出Sn的表达式，在分别把n=1，2，3…2010代入，求出s1+s2+s3+…+S2018的值即可 【详解】(1)∵当时，一次函数的解析式为， ∵A(1，0)，B(0，)，∴. (2)∵令，，∴ 令，， ∴， ∴ . 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及三角形的面积公式，属规律性题目，难度较大． 6．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据求解即可； （2）根据，分别求出k1，k2的值，再代入计算即可 【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)， ∴k=， 故答案为：； （2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)， ∴k1=， ∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)， ∴k1=， ∴k1k2=-2×=-1． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键． 【变式训练15 求一次函数解析式】 1．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）若一次函数的图经过点，则b的值是（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式．把点代入，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：． 故选：B． 2．（2024·陕西榆林·三模）将一次函数的图象向下平移3个单位，若平移后一次函数的图象经过点，则m的值为（   ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律是解题的关键，也考查了一次函数的图象上点的坐标特征． 根据平移的规律得到平移后的一次函数为，然后把点代入，从而求得m的值． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位后得到， ∵平移后一次函数的图象经过点， ， 解得， 故选：A． 3．（2024·江苏无锡·一模）若某函数图象经过点，且函数值随着自变量的增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数表达式： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一次函数的性质．设此函数的解析式为，再把点代入求出的值即可． 【详解】解：函数值随着自变量的增大而增大， 设此函数的解析式为， 函数图象经过点， ， 解得， 函数解析式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24八年级下·北京海淀·期中）对于一次函数，下表中给出3组自变量和相应的函数值． 则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式．根据自变量和相应的函数值，利用待定系数法可求出一次函数解析式，分别代入及，求出b，k，即可得出结论． 【详解】解：把代入得， 解得， ∴， 把代入得：， ， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·吉林·期中）某兴趣小组通过实验估算某液体的沸点，经过测量，气压为标准大气压，并得到几组对应的数据如下表： 加热时间 0 10 20 30 液体温度 8 18 28 38 (1)兴趣小组发现液体沸腾前，液体温度与加热时间之间满足一次函数关系，求y与t之间的函数关系式； (2)当加热时该液体沸腾，求该液体的沸点． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查函数关系式，掌握待定系数法求函数关系式是本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将换算成以秒为单位，代入（1）中得到的函数表达式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． （2）解：， 当时，， 该液体的沸点是． 6．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．若的面积为3，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含有字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度． （1）先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2）设点，则点，点，则，最后用三角形面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：对于， 由得：， ． 由得：，解得， ， 点与点关于轴对称． 设直线的函数解析式为， ，解得， 直线的函数解析式为； （2）解：设点，则点，点， 过点作于点， 则，， 则的面积，解得， 故点的坐标为或． 1．（23-24八年级下·北京西城·期中）点，都在正比例函数的图象上，则m与n的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查正比例函数的性质，解题的关键是要牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”． 由，利用正比例函数的性质可得y随x的增大而减小，结合，即可得了． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵点，都在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）满足，的一次函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质来解答．根据和一次函数的性质，可得到函数的图像所经过的象限，从而可以判断答案． 【详解】解：，， 一次函数的图像经过第一、二、三象限， 故选：A． 3．（22-23八年级下·广东湛江·期末）一次函数在平面直角坐标系内的图象如图所示，则正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与x轴和y轴的交点，即可作出判断． 【详解】解：对于， 当时，， 当时，，解得， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点． 故选：D 【点睛】此题考查了一次函数的性质，求出直线与x轴和y轴的交点是解题的关键． 4．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交、点，则下列说法不正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：由图象得：关于的方程的解为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键． 5．（22-23八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，依次在x轴上排列的正方形都有一个顶点在直线上，从左到右分别记作，，，，已知顶点的坐标是，则的纵坐标为（    ） A． B． C． D．2022 【答案】B 【分析】求出P1、P2、P3、P4的坐标即可总结出规律即可解答． 【详解】解：∵P1坐标为（1，1），P2（2，2），P3（4，4），P4（8，8）， ， ∴点P2022的纵坐标为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图像上点的坐标特点，可用取特殊值的方法求定点坐标寻找规律解答． 6．（22-23八年级下·甘肃定西·阶段练习）一次函数的图象经过的象限是 ． 【答案】一、二、四 【分析】根据一次函数的性质，，过二、四象限，，与轴交于正半轴，综合来看即可得到结论． 【详解】解：∵一次函数中，，， 则图象过一、二、四象限， 故答案为：一、二、四． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握“，的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 7．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）若正比例函数的图象经过点和点，当时时，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正比例函数的增减性，根据题意可得y随x增大而减小，则． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点和点，当时时， ∴y随x增大而减小， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·北京·期中）已知一次函数（，是常数且），与的部分对应值如下表： 那么方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据表格得出时对应的的值，即可求解． 【详解】解：根据图表可得：当时，，则方程的解是． 故答案为：． 9．（2024·四川成都·一模）如图，直线不经过第三象限，若点在该直线上，且的大小关系为 ，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据图像经过的象限可得到，推出随x的增大而减小，从而得到结果． 【详解】解：直线不经过第三象限， ， 随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·山西晋城·期中）正方形，正方形，正方形，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中．若点，，，…和，，，…，分别在直线和x轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；根据直线解析式先求出，再求出第一个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为，得出规律，即可求出第个正方形的边长，从而求得点的坐标，即可求得点的坐标． 【详解】解：直线，当时，，当时，， ， ， ，， ， ， ， ， 同理得：，， ； ，即， ， 点的坐标为， 故答案为：． 11．（22-23八年级·全国·假期作业）已知y与x成正比例，且当x＝1时，y＝2，求当x＝3时，y的值． 【答案】6 【分析】由题意设y＝kx,根据当x=1时y=2,即可求出k的值，从而得到结果. 【详解】解：设y＝kx， 把当x＝1时，y＝2，代入得：k＝2， 故此函数的解析式为：y＝2x， 所以当x＝3时，y＝2×3＝6． 【点睛】本题考查的是正比例函数，解答本题的关键是熟练掌握正比例函数的一般形式： ． 12．（22-23八年级上·陕西咸阳·期中）已知函数为一次函数，求出此时函数的表达式． 【答案】一次函数表达式为． 【分析】此题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义得到，求出m，即可得到函数表达式． 【详解】解：由题意得：且， 解得， 这个一次函数表达式为． 13．（2024·陕西渭南·一模）书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 【答案】(1) (2)1400元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）当时，， 故校团委购买这些书法套具的实际付款总额为元． 14．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图，直线经过点和点．    (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)10 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式，灵活运用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式； （2）解一元一次方程求出直线与轴的交点坐标，再结合图形、根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 把点和点代入， 得，， 解得， 直线的解析式为； （2）解：由， 时，， 则直线与轴交点为， ∴的面积． 15．（22-23八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点和点． （1）求直线所对应的函数表达式； （2）设直线与直线相交于点，求的面积； （3）若将直线沿轴向下平移，交轴于点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）的面积为；（3）点的坐标为，或，或 【分析】（1）设出函数解析式，将两点代入，运用待定系数法求解； （2）求出点坐标，在中，当y=0时，可求出x=5,即OA长度，即可求 的面积. (3) 分3种情况分析，设OO’长度=m，情况1：当=时，在△AOO’中，可列m2+52=(m+4)2；情况2：当AB=O’A时，可列16+25=m2+25；情况3：当AB=O’B时，可列16+25=（m+4）2 三种情况求出m值，即可得到OO’长度,再写出坐标（-m,0）即可. 【详解】（1）设直线所对应的函数表达式为， 根据题意，得 解得， ∴直线所对应的函数表达式 （2） 设直线与直线相交于点，则 解得 设点坐标， 当y=0时，x=5,即OA=5 的面积=. OA×= （3） 情况1：当= 设OO’长度=m 则在△AOO’中，可列 m2+52=(m+4)2 m= 此时，点的坐标为 情况2 当AB=O’A时， 16+25=m2+25 m=4 此时，点的坐标为 情况3 当AB=O’B时， 可列 16+25=（m+4）2 m= 此时，点的坐标为 所以点的坐标为，或，或 【点睛】本题考查了代入系数法，以及通过交点求值和动点的问题，能灵活将函数与图形结合是解决本题的关键.注意，第3步中，O点在y轴负半轴上，注意符号. 学科网（北京）股份有限公司 $$