第05讲 一次函数与一元一次方程和二元一次方程的解（1大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（沪科版）

第05讲 一次函数与一元一次方程和二元一次方程的解集（1大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 知识点01 一次函数与方程（组） （1）一次函数图象上点的坐标与二元一次方程的解一一对应. （2）二元一次方程组 的解就是两个一次函数和图象的交点坐标. （3）一元一次方程的根就是一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交点的横坐标. 【典型例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西渭南·一模）如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）若直线与的交点的坐标为，则方程的解为 ． 4．（23-24八年级上·福建宁德·期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是 ． 5．（22-23八年级上·陕西汉中·期中）已知一次函数（为常数且）． (1)当为何值时，这个函数为正比例函数？ (2)当为何值时，这个函数的值随着值的增大而减小？ (3)当为何值时，这个函数的图象与直线的交点在轴上？ 6．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a -2 -1 0 1 2 3 … (1)表中a的值为___； (2)以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象； (3)进一步探究函数图象，发现：函数图象与x轴有___个交点，因此方程的解是___． 【典型例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（　　　） A．（2，0） B．（0，3） C．（4，0） D．（2，5） 2．（2024·陕西·一模）已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·四川巴中·期中）直线y＝2x+3与x轴的交点坐标是 ． 4．（22-23八年级下·上海虹口·期中）一次函数在轴上的截距是 ． 5．（22-23八年级上·安徽·期中）直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，且与直线y＝﹣3（x﹣6）相交，交点在y轴上，求直线y＝kx+b对应的函数解析式． 6．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）一次函数的图象经过点和两点． (1)求出该一次函数的表达式； (2)若直线AB与x轴交于点C，求的面积． 【典型例题三 利用图象法解一元一次方程】 1．（22-23八年级上·江西景德镇·期中）一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·上海·阶段练习）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 3．（22-23八年级上·上海嘉定·期末）在正比例函数中，当时，，那么 ． 4．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，直线和直线相交于点P，根据图象可知，关于x的方程的解是 ． 5．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 6．（22-23八年级上·广西梧州·期中）画出函数的图象，利用图象： （1）求方程的解； （2）求不等式的解集； （3）若，求x的取值范围． 【典型例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 1．（23-24八年级下·广东清远·期中）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海金山·期中）如图，一次函数的图像经过两点，则关于的不等式的解集是 ． 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，则不等式的解集为 ． 5．（22-23八年级下·海南海口·阶段练习）已知函数． （1）当x取哪些值时，？ （2）当x取哪些值时，？ 6．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，一次函数的图象经过点和点．    (1)求出这个一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【典型例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 1．（22-23八年级下·陕西西安·期中）如图，直线与相交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知一次函数和（a为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）已知函数和的图像（如图），则不等式的解集是 ．    4．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，一次函数与的图像相交于点P，则关于x的不等式的解集为 ． 5．（22-23八年级下·江西赣州·期末）已知直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（4，0），与直线y＝x﹣2交于点B（3，m）． (1)求直线y＝kx+b的函数表达式； (2)直接写出不等式kx+b＞x﹣2的解集． 6．（22-23九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数的图象向下平移2个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当x＞4时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围． 【典型例题六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 1．（23-24七年级下·山东烟台·期中）已知直线与的交点为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，函数的图像与函数的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·陕西西安·开学考试）一次函数的图象和的图象相交于点，则关于的二元一次方程组的解为 ． 4．（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解为 ．    5．（23-24八年级上·广西贺州·期中）利用图象求方程组的解． 6．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知直线经过点直线与该直线交于点C (1)求直线的表达式； (2)求点C的坐标． 【典型例题七 图象法解二元一次方程组】 1．（22-23八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 3．（22-23八年级上·福建三明·阶段练习）已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ； 4．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 5．（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）利用图象法解下列二元一次方程组： (1) (2) 6．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． 【典型例题八 求直线围成的图形面积】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）直线和直线与x轴所围成的三角形的面积是(　　) A．14 B．15 C．16 D．8 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）与轴交点坐标 ，与轴交点坐标 ，与坐标轴围成的三角形的面积 ． 4．（22-23八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B， 则的面积为 ． 5．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知一次函数的图象经过点，且与轴交于点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积． 6．（23-24八年级下·广东湛江·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点B，A，且与直线相交于点． (1)求a和k的值． (2)求面积． (3)直接写出不等式的解集． 【变式训练1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（22-23八年级下·河南商丘·期末）已知直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知一次函数（a，b是常数且），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）若函数与x轴交于点，则方程的解是 ． 4．（22-23八年级下·西藏那曲·期末）如图，函数的图象过点，则关于的方程的解 ．    5．（2023九年级·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象回答下列问题：求方程的解 6．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)求的面积． 【变式训练2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（22-23八年级下·陕西安康·期末）若关于x的方程4x-b=0的解是x=-2，则直线y=4x-b一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）已知方程的解是，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川内江·期中）将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是 ． 4．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是 ． 5．（2013·云南普洱·一模）求出函数y＝﹣1与坐标轴围成的三角形的面积． 6．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）已知一次函数 y kx b 的图象经过点 A1,1和点 B1,3， 求：（1）求一次函数的表达式；（2）求直线 AB 与直线 y 2x 8 的交点坐标. 【变式训练3 利用图象法解一元一次方程】 1．（22-23八年级下·全国·课后作业）将方程全部的解写成坐标的形式，那么这些坐标描出的点都在直线（    ）上． A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·广西桂林·期末）一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建·期中）若关于x的方程解为，则直线图象一定经过点（2， ）． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 5．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： (1)关于x的方程的解是 ； (2)关于x的方程的解是 ； (3)当时，y的取值范围是 ． 6．（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整. （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 1 0 1 2 3 4 … 其中，__________. （2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分. （3）观察图象，写出该函数的两条性质： ①____________________________________________________________ ②____________________________________________________________ （4）进一步探究函数图象发现： ①方程的解是__________. ②方程的解是__________. ③关于的方程有两个不相等实数根，则的取值范围是__________. 【变式训练4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 1．（22-23八年级下·福建厦门·期末）已知：直线与轴交于点，若是不等式的一个解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集为（　　）    A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，与x轴交于点，那么不等式的解集是 ． 4．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是 ． 5．（23-24八年级下·河南周口·期中）已知一次函数的图象经过点． (1)k的值为______； (2)请在图中画出该函数的图象，并直接写出当时，x的取值范围． 6．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的不等式的解集是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当 ，． 【变式训练5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 1．（22-23八年级下·山东济南·期末）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·陕西商洛·期末）如图，一次函数的图象经过点，与一次函数的图象交于点，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·重庆·期中）已知直线与直线交于点，若点的横坐标为3，则关于的不等式的解集为 ． 4．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·阶段练习）如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集 ． 5．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 6．（23-24八年级下·山东滨州·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若，则的取值范围是________； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【变式训练6 两直线的交点与二元一次方程组的解】 1．（23-24七年级下·山东威海·期中）若一次函数与的图象没有交点，则方程的解的情况是（    ） A．有无数组解 B．有两组解 C．只有一组解 D．没有解 2．（2024·广西·一模）一次函数和的图象如图所示，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 4．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x的方程的解是 ．    5．（23-24八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数与． (1)求这两个函数图象的交点坐标； (2)直线与交于点A、与交于点B，求线段的长． 6．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）已知一次函数和的图像相交于点． (1)直接写出方程组的解； (2)求的值． 【变式训练7 图象法解二元一次方程组】 1．（22-23八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，一次函数与图象的交点坐标是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末）如图直线与直线都经过点，则方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·河南商丘·期末）如图，函数，的图象交于点P，若，则 ． 4（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 5．（22-23八年级下·全国·假期作业）利用函数图象解方程组． 6．（22-23八年级上·河南郑州·期末）已知二元一次方程，通过列举将方程的解写成下列表格的形式： -1 5 6 6 5 0 如果将二元一次方程的解所包含的未知数的值对应直角坐标系中一个点的横坐标，未知数的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应直角坐标系中的一个点，例如：方程的解的对应点是． （1）表格中的________，___________； （2）通过以上确定对应点坐标的方法，将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标，并在所给的直角坐标系中画出这五个点；根据这些点猜想方程的解的对应点所组成的图形是_________，并写出它的两个特征①__________，②_____________； （3）若点恰好落在的解对应的点组成的图形上，求的值． 【变式训练8 求直线围成的图形面积】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 2．（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知直线与直线，且．若两直线与轴围成的三角形面积为9，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 3．（23-24八年级上·上海·期末）若直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则 ． 4．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角系中，已知直线与坐标轴交于A、B （0，-5）两点，且直线与坐标轴围成的图形面积为 10，则点A的坐标为 ． 5．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是直线上的一个动点，连接． (1)求不等式的解； (2)若的面积是面积的，求点的坐标． 6．（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)设函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积； (3)利用图象直接写出：当时，的取值范围． 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）若直线的图象经过点，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24八年级下·山西太原·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·云南昆明·期中）已知一次函数与图象的交点坐标是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象， 则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·天津和平·二模）直线与轴交点坐标为 ． 7．（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）数形结合是解决数学问题常用的思想方法，一次函数y=kx+b的图象如图所示，根据图象可知，方程kx+b=0的解是 ． 8．（23-24八年级上·上海静安·期末）函数的图像，如图所示与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，若时，则y的取值范围是 ． 9．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 10．（22-23八年级上·重庆·期中）如图，直线与直线交于点，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 11．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知：，，试用图像法比较与的大小． 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）一次函数中，当为何值时满足下列条件？ (1)； (2)； (3)． 13．（22-23八年级下·广东云浮·期末）画出函数y＝2x+6的图象，利用图象： （1）求方程2x+6＝0的解； （2）求不等式2x+6＞0的解； （3）若﹣2≤y≤2，求x的取值范围． 14．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，直线：与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点两条直线相交于点，连接．    (1)求直线的表达式； (2)求两直线交点的坐标； (3)根据图象直接写出时自变量的取值范围． 15．（23-24八年级下·吉林松原·期中）函数与的图象如图所示． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一次函数与一元一次方程和二元一次方程的解集（1大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型三 利用图象法解一元一次方程 题型四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型五 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型六 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型七 图象法解二元一次方程组 题型八 求直线围成的图形面积 知识点01 一次函数与方程（组） （1）一次函数图象上点的坐标与二元一次方程的解一一对应. （2）二元一次方程组 的解就是两个一次函数和图象的交点坐标. （3）一元一次方程的根就是一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交点的横坐标. 【典型例题一 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，根据图象，得到直线过点，即：，进而得到的解即可． 【详解】解：由图可知：直线过点， ∴当时，， ∴方程的解为； 故选D． 2．（2024·陕西渭南·一模）如图，一次函数（为常数且）和的图象相交于点，根据图象可知关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的交点问题，一次函数与一元一次方程．根据图象，两直线的交点的纵坐标为4，将其代入得即可． 【详解】解：由图象知，两直线的交点的纵坐标为4，将其代入得． 故选：A． 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）若直线与的交点的坐标为，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是一次函数与一元一次方程，一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练的掌握一次函数与一元一次方程，一次函数的图象和性质，由交点坐标就是该方程的解可得答案． 【详解】关于x的方程的解，即直线与的交点横坐标， 所以方程的解为， 故答案为． 4．（23-24八年级上·福建宁德·期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程可利用一次函数的图象求解．观察图象，时，x的值即为关于x的方程的解，据此求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴交点的纵坐标是， ∴当时，，即， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． 5．（22-23八年级上·陕西汉中·期中）已知一次函数（为常数且）． (1)当为何值时，这个函数为正比例函数？ (2)当为何值时，这个函数的值随着值的增大而减小？ (3)当为何值时，这个函数的图象与直线的交点在轴上？ 【答案】(1)当m=5时，这个函数为正比例函数 (2)当m＜0且m≠0时，函数y的值随着x值的增大而减小 (3)当m=3时，函数的图象与直线y=x-4的交点在y轴上 【分析】（1）根据正比例函数的性质得出2m-10=0，求出方程的解即可； （2）根据一次函数的性质得出不等式m＜0且m≠0； （3）根据一次函数的图象交点的性质先求得交点的坐标，然后把交点坐标代入y=mx+2m-10（m≠0），求出m的值即可． 【详解】（1）解： y=mx+2m-10（m≠0）． ∵函数为正比例函数， ∴2m-10=0， 解得：m=5， 答：当m=5时，这个函数为正比例函数， （2）一次函数y=mx+2m-10（m≠0）． ∵函数y的值随着x值的增大而减小， ∴m＜0且m≠0， 答：当m＜0且m≠0时，函数y的值随着x值的增大而减小． （3）∵函数的图象与直线y=x-4的交点在y轴上， ∴x=0，y=-4， 把x=0，y=-4代入y=mx+2m-10得，m=3 答：当m=3时，函数的图象与直线y=x-4的交点在y轴上． 【点睛】本题主要考查对解一元一次方程，一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据一次函数的性质和已知得出不等式或方程是解此题的关键． 6．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）某校数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下：自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 1 0 a -2 -1 0 1 2 3 … (1)表中a的值为___； (2)以每组对应值作为一个点的坐标，在平面直角坐标系中描出表中的所有点，并按照自变量从小到大的顺序连线，画出该函数的图象； (3)进一步探究函数图象，发现：函数图象与x轴有___个交点，因此方程的解是___． 【答案】(1)-1 (2)见解析 (3)2；x1=−3，x2=1 【分析】（1）当x=-2时，y=|-2+1|-2=-1，则a=-1． （2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线． （3）根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：当x=-2时，y=|-2+1|-2=-1，则a=-1． 故答案为：-1． （2）解：描点，连线，函数图象如图所示． ； （3）解：进一步探究函数图象，发现：函数图象与x轴有2个交点，因此方程|x+1|-2=0的解是：x1=−3，x2=1． 故答案为：2；x1=−3，x2=1． 【点睛】本题主要考查了函数图象和性质，函数图象上点的坐标特征，数形结合是解决本题关键． 【典型例题二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点（　　　） A．（2，0） B．（0，3） C．（4，0） D．（2，5） 【答案】A 【分析】根据方程可知当x＝2，y＝0，从而可判断直线y＝−2x＋b经过点（2，0）． 【详解】解：由方程的解可知：当x＝2时，−2x＋b＝0， 即x＝2，y＝0， ∴直线y＝−2x＋b的图象一定经过点（2，0）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 2．（2024·陕西·一模）已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案. 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是． ∴只有选项B的图象符合题意， 故选：B 3．（22-23八年级下·四川巴中·期中）直线y＝2x+3与x轴的交点坐标是 ． 【答案】(，0) 【分析】令求出x的值即可得出直线与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵令，则， ∴直线与x轴的交点坐标为(，0)． 故答案为：(，0)． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 4．（22-23八年级下·上海虹口·期中）一次函数在轴上的截距是 ． 【答案】 【分析】一次函数在轴上的截距即一次函数与轴交点的纵坐标． 【详解】解：令，则，所以一次函数在轴上的截距是． 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数与轴的交点坐标，掌握求函数与轴的交点坐标是解题关键． 5．（22-23八年级上·安徽·期中）直线y＝kx+b与直线y＝5﹣4x平行，且与直线y＝﹣3（x﹣6）相交，交点在y轴上，求直线y＝kx+b对应的函数解析式． 【答案】． 【分析】先根据一次函数的性质可得，再求出直线与的交点坐标，然后代入一次函数即可得． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 对于函数， 当时，， 将点代入得：，解得， 则直线对应的函数解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 6．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）一次函数的图象经过点和两点． (1)求出该一次函数的表达式； (2)若直线AB与x轴交于点C，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）设一次函数解析式为， ∵图象经过，两点， ∴     解得：，     ∴一次函数解析式为； （2）当时，， ∴， ∴     ∴， 答：的面积为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 【典型例题三 利用图象法解一元一次方程】 1．（22-23八年级上·江西景德镇·期中）一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象得出一次函数的图象与x轴的交点坐标，即可得出方程的解． 【详解】解：∵直线与x轴交点坐标为， ∴的解为， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用解答． 2．（22-23八年级下·上海·阶段练习）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是（　　） A．x＝20 B．x＝25 C．x＝20或25 D．x＝﹣20 【答案】A 【分析】根据两直线的交点的横坐标为两直线解析式所组成的方程的解，可以得到关于x方程x+5＝ax+b的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴x+5＝ax+b的解是x＝20， 故选A． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．（22-23八年级上·上海嘉定·期末）在正比例函数中，当时，，那么 ． 【答案】 【分析】直接把，代入正比例函数，求出的值即可． 【详解】解：正比例函数中，当时，， ，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 4．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，直线和直线相交于点P，根据图象可知，关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】根据图象解出方程，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，则 ∵直线与直线交于点， ∴关于x的方程的解是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，理解满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就定满足函数解析式．函数图象交点的横坐标为两函数解析式组成的方程的解是解题的关键． 5．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 【答案】（1）x＝2；（2）﹣1；（3）x＝﹣1． 【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可 （3）利用函数图象写出函数值为−3时对应的自变量的值即可． 【详解】解：（1）当x＝2时，y＝0， 所以方程kx+b＝0的解为x＝2； （2）当x＝1时，y＝﹣1， 所以代数式k+b的值为﹣1； （3）当x＝﹣1时，y＝﹣3， 所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键． 6．（22-23八年级上·广西梧州·期中）画出函数的图象，利用图象： （1）求方程的解； （2）求不等式的解集； （3）若，求x的取值范围． 【答案】图见解析；（1）；（2）；（3） 【分析】先根据一次函数作图的方法作出一次函数图象； （1）根据函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解，可得答案； （2）根据函数与不等式的关系：x轴上方的部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据函数值的取值范围，可得相应自变量的取值范围． 【详解】解：画出函数的图象如图： （1）由图象知，方程的解是； （2）由图象知，不等式的解集是； （3）由图象知，当时，x的取值范围是． 【点评】本题考查了一次函数图象，利用了函数与方程的关系：函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解；又利用了函数与不等式的关系：图象位于x轴上方的部分是相应不等式的解集，熟练掌握知识点是解题的关键． 【典型例题四 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 1．（23-24八年级下·广东清远·期中）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数图象在x轴上方或x轴上时，自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数图象在x轴上方或x轴上时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集是， 故选：D． 2．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到直线的函数图象在直线的图象下方，且都在x轴下方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的图象下方，且都在x轴下方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为， 故选：D． 3．（23-24八年级下·上海金山·期中）如图，一次函数的图像经过两点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．直接根据图象解答即可． 【详解】解：由图象可知，关于的不等式的解集是． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标．根据直线与x轴交于点，结合函数图象，即可求出不等式的解集． 【详解】解：∵直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴根据函数图象可知，不等式的解集是． 故答案为：． 5．（22-23八年级下·海南海口·阶段练习）已知函数． （1）当x取哪些值时，？ （2）当x取哪些值时，？ 【答案】（1）   （2） 【分析】根据题意，解一元一次不等式即可． 【详解】解：（1）把代入， 解得：， 所以当 时，； （2）把代入， 解得：， 所以当时，． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的有关系，熟知其解法是解题的关键． 6．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，一次函数的图象经过点和点．    (1)求出这个一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为： (2) 【分析】（1）根据直线的图象经过点和点，把，两点的坐标代入，解出，，即可； （2）由（1）得，函数的解析式：，根据，解出不等式，即可． 【详解】（1）∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）由（1）得，一次函数的解析式为：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求出解析式，一次函数的图象和性质． 【典型例题五 根据两条直线的交点求不等式的解集】 1．（22-23八年级下·陕西西安·期中）如图，直线与相交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系， 根据函数图象找到当直线的函数图象在直线的函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的函数图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集为， 故选：B 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知一次函数和（a为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，由图象可以知道，当时，直线在直线的上方，即可得出答案． 【详解】解：两条直线的交点坐标为，且当时，直线在直线的上方， 故关于x的不等式的解集为． 故选：A． 3．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）已知函数和的图像（如图），则不等式的解集是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查一次函数与不等式，利用图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集是； 故答案为：． 4．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，一次函数与的图像相交于点P，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，将不等式转化为函数图象的位置是解题关键． 【详解】解：由题意得：不等式表示函数的图象在函数图象下方的部分， 由图可知：该不等式的解集为：， 故答案为： 5．（22-23八年级下·江西赣州·期末）已知直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（4，0），与直线y＝x﹣2交于点B（3，m）． (1)求直线y＝kx+b的函数表达式； (2)直接写出不等式kx+b＞x﹣2的解集． 【答案】(1) (2)x < 3 【分析】（1）先求出m的值，再用待定系数法即可得答案； （2）解一元一次不等式可得答案． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将，代入得： ， 解得： ， ∴直线y＝kx+b的函数表达式； （2）解：由-x +4> x- 2得x < 3， 不等式kx +b> x - 2的解集是x < 3． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，解题的关键是能应用待定系数法求出函数的解析式． 6．（22-23九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数的图象向下平移2个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当x＞4时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) y=x-2;(2) ≤m≤1． 【分析】​​​​​​​（1）根据平移的规律即可求得． （2）根据点（-4，-4）,结合图象即可求得． 【详解】解：（1）函数y=x的图象向下平移2个单位长度得到y=x-2， ∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y=x的图象向下平移2个单位长度得到， ∴这个一次函数的表达式为y=x-2． （2）把x=-4代入y=x-2，求得y=-4， ∴函数y=mx（m≠0）与一次函数y=x-2的交点为（-4，-4）， 把点（-4，-4）代入y=mx， ​​​​​​​求得m=1， 如图: 当x＞-4时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=x-2的值， ∴≤m≤1． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． 【典型例题六 两直线的交点与二元一次方程组的解】 1．（23-24七年级下·山东烟台·期中）已知直线与的交点为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系，解题的关键是理解二元一次方程组的解就是相应的一次函数图象的交点坐标．先由与坐标得交点坐标为，根据两条直线的交点坐标与二元一次方程组的解的关系，即可得出结论． 【详解】解：∵直线与的交点为， ∴． ∴交点坐标为． ∵两条直线的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解， 而方程组，即方程组， ∴方程组的解为． 故选：A． 2．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，函数的图像与函数的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，熟练掌握知识点是解题的关键． 依据关于，的二元一次方程组的解就是函数的图像与函数的图象坐标即可求解． 【详解】解：∵函数的图像与函数的图象交于点， ∴二元一次方程组的解是， 故选：A． 3．（23-24八年级下·陕西西安·开学考试）一次函数的图象和的图象相交于点，则关于的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的运用，掌握一次函数的交点与二元一次方程组的解的运用是解题的关键． 根据一次函数的交点，把点代入一次函数，可解出的值，由此即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象和的图象相交于点， ∴， 解得， ∴， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解为 ．    【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解与两个函数图象交点坐标的关系，根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：观察图象可知两个函数图象交于点， 即同时满足两个函数解析式， 所以关于x、y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·广西贺州·期中）利用图象求方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的交点与二元一次方程的关系，将方程组内的每一个方程转化为用x表示y的式子，即函数关系式，再画出两条直线，从而确定交点，从而得解，正确绘图是解题的关键． 【详解】解：由得：， 画出两个一次函数的图象图下：    由图象知：是原方程组的解． 6．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知直线经过点直线与该直线交于点C (1)求直线的表达式； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）解两个函数解析式组成方程组即可求解． 【详解】（1）解：直线经过点 得， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：联立， 解得：， 故点C的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，及求两条直线的交点问题，本题的关键是求两条直线的交点，转化为解两个函数解析式组成方程组． 【典型例题七 图象法解二元一次方程组】 1．（22-23八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 2．（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【答案】D 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值． 3．（22-23八年级上·福建三明·阶段练习）已知函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ； 【答案】 【分析】根据函数和的图象交于点P（2，-1）即可得． 【详解】解：∵函数和的图象交于点P（2，-1）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图象法解二元一次方程组，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组之间的关系． 4．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，本题考查了利用函数图像求二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解与一次函数交点的关系． 【详解】解：把代入得：， 解得， 所以点坐标为， 所以关于、的二元一次方程组的解是：， 故答案为：． 5．（22-23七年级下·江苏南京·阶段练习）利用图象法解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解； （2）画出一次函数和的图象，得出交点坐标即可得出二元一次方程组的解． 【详解】（1）解：如图所示：   两函数图象交于点， 方程组的解为； （2）解：如图所示：   两函数图象交点为， 方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的交点与二元一次方程组的关系，解题的关键是根据二元一次方程画出函数图象． 6．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画一次函数图象，用图像法求解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握画一次函数的图象的方法，以及用图象法求解二元一次方程组的方法和步骤． （1）按照列表、描点、连点的步骤即可画出该一次函数图象； （2）根据图象，找出两个一次函数图象的交点坐标，即可解答． 【详解】（1）解：列出表格如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 1 …… 画出函数图形如下： （2）解：∵可整理为，可整理为， ∴由图可知，的解为． 【典型例题八 求直线围成的图形面积】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）直线和直线与x轴所围成的三角形的面积是(　　) A．14 B．15 C．16 D．8 【答案】C 【分析】考查了一次函数与坐标轴交点问题，先求出两直线与坐标轴交点的坐标，然后再根据三角形的面积公式求出所围三角形的面积． 【详解】直线中，令，则；令，则； 因此直线与坐标轴的交点为，； 同理可求得直线与坐标轴的交点为，． 因此． 故选：C． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】略 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）与轴交点坐标 ，与轴交点坐标 ，与坐标轴围成的三角形的面积 ． 【答案】 9 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．令和可得图象与轴，轴的交点，再由点的坐标可求面积． 【详解】解：令， 则， ∴， ∴直线与轴的交点坐标是 令，则， ∴直线与轴的交点坐标是； ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积． 故答案为：，9． 4．（22-23八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B， 则的面积为 ． 【答案】9 【分析】分别令，，求出A、B两点坐标，再利用三角形面积公式即可求出面积． 【详解】当时，， ∴B点坐标为，即， 当时，， ∴A点坐标为，即， ∴, 故答案为：9． 【点睛】本题考查了求一次函数图象与坐标轴形成的三角形的面积，求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解题关键． 5．（23-24八年级下·江苏南通·期中）已知一次函数的图象经过点，且与轴交于点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式以及一次函数的图象性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数的解析式即可； （2）求解函数与坐标轴的交点坐标，再利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，， 得 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）当时，， 当时，， ∴， ∴直线与 x轴交于，与y轴交于， ∴． 6．（23-24八年级下·广东湛江·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点B，A，且与直线相交于点． (1)求a和k的值． (2)求面积． (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，两直线围成的图形面积，一次函数与不等式之间的关系： （1）分别代入两个直线解析式中进行求解即可； （2）根据（1）所求先求出点B坐标，进而求出的长，再根据进行求解即可； （3）利用图象法求解即可． 【详解】（1）解；∵直线与x轴，y轴分别交于点B，A，且与直线相交于点 ∴， ∴； （2）解；在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由函数图象可知，当时，直线的函数图象在直线的函数图象上方或二者交点处， ∴当时，． 【变式训练1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（22-23八年级下·河南商丘·期末）已知直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线经过点（10，-1），即可确定方程的解． 【详解】解：∵直线经过点（10，-1）， ∴当时，， ∴方程的解为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 2．（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知一次函数（a，b是常数且），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由表格数据可知：当时，； ∴方程的解是， 故选：C． 3．（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）若函数与x轴交于点，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数与一元一次方程的性质可得方程的解． 【详解】解：根据一次函数与一元一次方程的性质可知：一次函数与轴交点的横坐标即为对应一元一次方程的解， ∵一次函数交轴于点， ∴关于的方程的解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程与一次函数的性质，需要注意一次函数与一元一次方程一定要一一对应才可． 4．（22-23八年级下·西藏那曲·期末）如图，函数的图象过点，则关于的方程的解 ．    【答案】 【分析】由函数的图象过点可知时，，即可得到关于x的方程的解是． 【详解】解：由图象可得：关于x的方程的解是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与一元一次方程的解的关系是解题的关键． 5．（2023九年级·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象回答下列问题：求方程的解 【答案】图像见详解；． 【分析】利用两点法画出函数的图象，然后令，即直线与x轴的交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：∵函数， 令，则；令，则， 的图像如图所示： 由图可知，方程的解是； 【点睛】本题考查了画一次函数的图像，由图像求一元一次方程的解，解题的关键是掌握一次函数的性质进行解题． 6．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出函数图象与x轴的交点坐标，即可求出方程的解； （3）利用三角形面积公式直接求出的面积即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得：， 故这个一次函数的解析式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴交于点C的坐标为， ∴方程的解为． 故答案为：． （3）解：的面积为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． 【变式训练2 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（22-23八年级下·陕西安康·期末）若关于x的方程4x-b=0的解是x=-2，则直线y=4x-b一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程可知当x=-2时，y=0，从而可判断直线经过点（-2，0）． 【详解】解：由方程可知：当x=-2时，4x-b=0，即当x=-2时，y=0， ∴直线y=4x-b的图象一定经过点（-2，0）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 2．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）已知方程的解是，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解得出函数与x轴的交点坐标，然后判断即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴函数与x轴的交点坐标是， 满足条件的只有D． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解一元一次方程的解与函数图象和x轴交点坐标的关系是解题的关键． 3．（23-24八年级下·四川内江·期中）将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令，解得即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移4个单位长度所得函数的解析式为， ∵此时与x轴相交，则， ∴，即， ∴与x轴的交点坐标是． 故答案为： 4．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出x的值即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴点A的横坐标是． 故答案为：． 5．（2013·云南普洱·一模）求出函数y＝﹣1与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】 【分析】化简函数y＝x﹣1，分别求出与x，y轴的交点坐标分别为（1，0），（0，﹣1），即可求三角形面积； 【详解】解：∵y＝﹣1＝﹣1＝x﹣1； ∴y＝x﹣1， ∵函数y＝x﹣1与x，y轴的交点坐标分别为（1，0），（0，﹣1）， ∴S＝． 答：函数与坐标轴围成的三角形面积； 【点睛】本题考查一次函数图象及性质，分式的化简；熟练掌握分式的化简，一次函数与坐标轴围成三角形面积的求法是解题的关键 6．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）已知一次函数 y kx b 的图象经过点 A1,1和点 B1,3， 求：（1）求一次函数的表达式；（2）求直线 AB 与直线 y 2x 8 的交点坐标. 【答案】（1）y=-x-2；（2）（2，-4） 【分析】（1）设y=kx+b，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式； （2）联立关于 求解即可 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b， 把A（-1，-1）B（1，-3）代入y=kx+b 解得：k=-1，b=-2， ∴一次函数表达式为：y=-x-2 （2） 解得： 所以直线 AB 与直线 y 2x 8 的交点坐标为：（2，-4） 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，以及交点问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【变式训练3 利用图象法解一元一次方程】 1．（22-23八年级下·全国·课后作业）将方程全部的解写成坐标的形式，那么这些坐标描出的点都在直线（    ）上． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程变形为用x表示y即可． 【详解】解：方程用x表示y为：， 故将方程全部的解写成坐标的形式，那么这些坐标描出的点都在直线上， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与方程的关系，解题关键是明确方程与一次函数的关系，会把方程转化为一次函数． 2．（22-23八年级下·广西桂林·期末）一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象得出一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标的横坐标，即可得出方程的解． 【详解】解：∵从图象可知：一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是(﹣2，0)， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用kx+b=0解答． 3．（23-24八年级下·福建·期中）若关于x的方程解为，则直线图象一定经过点（2， ）． 【答案】5 【分析】此题考查了一次函数和一元一次方程的关系，根据题意得到当时，，进而求解即可． 【详解】∵关于x的方程解为， ∴当时，， ∴直线图象一定经过点． 故答案为：5． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： (1)关于x的方程的解是 ； (2)关于x的方程的解是 ； (3)当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质， （1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出时对应的自变量的值即可 （3）利用函数图象写出时对应的函数值范围即可． 【详解】（1）利用函数图象可知函数值为0时，， 故答案为：； （2）利用函数图象可知时对应的自变量的值为， 故答案为：； （3）根据图象可知：当时，， 故答案为：． 6．（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整. （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 1 0 1 2 3 4 … 其中，__________. （2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分. （3）观察图象，写出该函数的两条性质： ①____________________________________________________________ ②____________________________________________________________ （4）进一步探究函数图象发现： ①方程的解是__________. ②方程的解是__________. ③关于的方程有两个不相等实数根，则的取值范围是__________. 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）①函数值y≥0函数值y≥0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①；②或；③. 【分析】（1）求出x=-2时的函数值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）结合图象写出两个性质即可； （4）分别求出方程的解即可解决问题； 【详解】解：（1）x=-2时，y=|x-1|=3，故m=3，故答案为3． （2）函数图象如图所示： （3）①函数值y≥0，②当x＞1时，y随x的增大而增大； 故答案为函数值y≥0；当x＞1时，y随x的增大而增大； （4）①方程|x-1|=0的解是x=1 ②方程|x-1|=1.5的解是x=2.5或-0.5 ③关于x的方程|x-1|=a有两个实数根，则a的取值范围是a＞0， 故答案为x=1，x=2.5或-0.5，a＞0． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练4 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 1．（22-23八年级下·福建厦门·期末）已知：直线与轴交于点，若是不等式的一个解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图象，根据图象求解． 【详解】解：由题意得：直线过，呈下降趋势，    ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线交坐标轴于两点，则不等式的解集为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式与一次函数的关系，将原不等式变形，利用数形结合的数学思想是解题关键． 【详解】解：不等式可变形为：， 即寻找直线在轴上方的图象， ∵直线的图象与轴交于点， 故不等式的解集为： 故选：A 3．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，与x轴交于点，那么不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的图象与不等式的关系．的解集即为一次函数的图象x轴上方部分的自变量取值范围，根据图象直接解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴的解集即为一次函数的图象x轴上方部分的自变量取值范围， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 结合函数图象，写出直线在轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象可知， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·河南周口·期中）已知一次函数的图象经过点． (1)k的值为______； (2)请在图中画出该函数的图象，并直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)图象如图， 【分析】本题考查了待定系数法，画一次函数图象，利用图象解不等式； （1）将代入解析式，即可求解； （2）画出图象，根据图象找出轴下方图象对应的取值范围，即可求解； 掌握图象画法及会用图象解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， ， 解得：， 故答案：； （2）解：如图 由图象得： 当时，． 6．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的不等式的解集是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当 ，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式； （1）利用直线与轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集． （2）利用直线与轴的交点为，然后利用函数图象可得到不等式的解集． （3）结合函数图象直接写出答案． 【详解】（1）直线与轴的交点是， 当时，，即不等式的解集是； 故答案是：； （2）直线与轴的交点是， 当时，，即不等式的解集是； 故答案是：； （3）根据图象可得，当时，． 故答案为：． 【变式训练5 根据两条直线的交点求不等式的解集】 1．（22-23八年级下·山东济南·期末）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出直线在直线上方时对应的x的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象得，不等式的解集为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定一条直线在另一条直线上（或下）方部分所有的点的横坐标的取值范围． 2．（22-23八年级下·陕西商洛·期末）如图，一次函数的图象经过点，与一次函数的图象交于点，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据图象法找到一个函数的图象在一次函数的图象上方或交点处时自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴由函数图象可知不等式的解集为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 3．（23-24九年级下·重庆·期中）已知直线与直线交于点，若点的横坐标为3，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用一次函数的图象解不等式，由一次函数的图象在的图象的上方可得答案． 【详解】解：∵直线与直线交于点，点的横坐标为3， 如图， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·阶段练习）如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为，则关于x的不等式的解集 ． 【答案】 【分析】根据直线与相交于点P，点P的横坐标为，利用数形结合思想解答即可，本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】解：∵直线与相交于点P，点P的横坐标为， 当时 则， 故答案为：． 5．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，灵活掌握所学知识是解题关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据题意，列出关于m的不等式，结合图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，， ∴把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式； （2）解：由（1）得：一次函数的解析式， 当时，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 把代入得：， ∴， 解得：． 当直线与平行时，，此时函数的值大于一次函数的值， ∴ 6．（23-24八年级下·山东滨州·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若，则的取值范围是________； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象性质以及与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先把把代入，得出，再代入，解出，然后当时求出； （2）运用数形结合思想， 时，则的取值范围是，即可作答． （3）运用数形结合思想，不等式的解集为，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得， 把代入， 得， 解得， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； （2）解：由（1）得出直线：且 结合图象，时，则的取值范围是； （3）解：由（1）得则， 即， 此时的不等式的解集为． 【变式训练6 两直线的交点与二元一次方程组的解】 1．（23-24七年级下·山东威海·期中）若一次函数与的图象没有交点，则方程的解的情况是（    ） A．有无数组解 B．有两组解 C．只有一组解 D．没有解 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两直线无交点，那么对应的二元一次方程组无解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数与的图象没有交点， ∴方程无解， 故选：D． 2．（2024·广西·一模）一次函数和的图象如图所示，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，根据两直线交点的横纵坐标即为两直线解析式组成的二元一次方程组的解进行求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数和的图象交于点， ∴方程组的解是， 故选：B． 3．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用一次函数图象交点解二元一次方程组，根据交点坐标为，求出的值，得出方程组的解即可，理解“函数图象交点的坐标是对应方程组的解”是解题的关键． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴直线上的点满足，直线上的点满足， ∴，即为方程组的解， 把代入得：， ∴方程组的解为， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）如图，一次函数与的图象相交于点P，则关于x的方程的解是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标．先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7， 把代入，得： ，解得：， ∴点P的坐标为， ∵一次函数与的图象相交于点， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数与． (1)求这两个函数图象的交点坐标； (2)直线与交于点A、与交于点B，求线段的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数交点坐标，一次函数与几何的综合． （1）根据两个函数相交于一点，得，解出，把代入或者，得到y的值，即可得到答案． （2）分别求出点A和点B的坐标，即可求出线段的长． 【详解】（1）解：由一次函数与得到， ， 解得：， 当时，， ∴这两个函数图象的交点坐标为． （2）当时，， 当时，， ∵直线与交于点A、与交于点B， ∴点A的坐标是，点B的坐标是 ∴, 即线段的长为2． 6．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）已知一次函数和的图像相交于点． (1)直接写出方程组的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一次函数的交点与方程组的解的关系，以及解二元一次方程组的问题． （1）一次函数和的的交点的横纵坐标就是方程组的解； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数和的图象相交于点， ∴是方程组的解， ∴方程组的解是． （2）解：将代入 得：， 解得：， ∴，． 【变式训练7 图象法解二元一次方程组】 1．（22-23八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，一次函数与图象的交点坐标是，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解”即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y＝x＋1与y＝2x−1图象的交点是（2，3）， ∴方程组的解为． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了图象法解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解与相应的两个函数图象的交点坐标之间的关系是解题的关键． 2．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末）如图直线与直线都经过点，则方程组，的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解即为直线与直线的交点坐标进行求解即可． 【详解】解：∵直线与直线都经过点 ∴方程组的解是：． 故选择：D． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，但是比较容易出错，正确理解“方程组的解即为直线与直线的交点坐标”是解题的关键． 3．（22-23八年级下·河南商丘·期末）如图，函数，的图象交于点P，若，则 ． 【答案】 【分析】数形结合思想，图象法求解． 【详解】如图，时，对应图象交点，所以； 故答案为： 【点睛】本题考查两个一次图象交点与方程组的联系，图象法求解，理解点坐标与方程（组）的联系是解题的关键． 4（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·全国·假期作业）利用函数图象解方程组． 【答案】． 【分析】直接利用两函数图象的交点横纵坐标即为x，y的值进而得出答案． 【详解】解：方程组对应的两个一次函数为：与， 画出这两条直线，如图所示： 由图像知两直线交点坐标为（-1，1）． 所以原方程组的解为． 【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，正确利用数形结合分析是解题关键． 6．（22-23八年级上·河南郑州·期末）已知二元一次方程，通过列举将方程的解写成下列表格的形式： -1 5 6 6 5 0 如果将二元一次方程的解所包含的未知数的值对应直角坐标系中一个点的横坐标，未知数的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应直角坐标系中的一个点，例如：方程的解的对应点是． （1）表格中的________，___________； （2）通过以上确定对应点坐标的方法，将表格中给出的五个解依次转化为对应点的坐标，并在所给的直角坐标系中画出这五个点；根据这些点猜想方程的解的对应点所组成的图形是_________，并写出它的两个特征①__________，②_____________； （3）若点恰好落在的解对应的点组成的图形上，求的值． 【答案】（1）0，-1；（2）见解析；（3）-6． 【分析】（1）根据题意，将m和n代入方程即可得解； （2）将每个对应点的坐标在直角坐标系中进行描点，即可得出图形，然后观察其特征即可； （3）将点P代入即可得出的值. 【详解】（1）根据表格，得， ∴m=0，n=-1； （2）如图所示，即为所求： 该图形是一条直线； ①经过第一、二、四象限；②与y轴交于点（0，5）（答案不唯一）； （3）把x=﹣2a，y= a-1代入方程x+y＝5中，得 -2a+（a-1）=5， 解之，得a=-6． 【点睛】此题主要考查二元一次方程和平面直角坐标系综合运用，熟练掌握，即可解题. 【变式训练8 求直线围成的图形面积】 1．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成图形的面积，求出交点坐标是解题的关键．根据方程或方程组得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，    在中，令，得， 解得，， ∴，， ∴的面积， 故选：B． 2．（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知直线与直线，且．若两直线与轴围成的三角形面积为9，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】联立两直线解析式可求得两直线交点的横坐标为，再求出两直线与轴的交点坐标，算出两交点间的距离为，以此可得，以此计算即可求解． 【详解】解：联立两直线解析式得：， 解得两直线交点的横坐标为， 直线与轴的交点坐标为， 直线与轴的交点坐标为， 两交点的距离为， 两直线与轴围成的三角形面积为9， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、直线与坐标轴围成图形的面积，联立两直线解析式得到两直线交点的横坐标为是解题关键． 3．（23-24八年级上·上海·期末）若直线与坐标轴围成的三角形面积为6，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴围成的图形面积问题，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标分别为，再根据围成的图形面积为6得到，据此求解即可． 【详解】解：在中，当时，，但时，， ∴一次函数与坐标轴的交点坐标分别为， ∵直线与坐标轴围成的三角形面积为6， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角系中，已知直线与坐标轴交于A、B （0，-5）两点，且直线与坐标轴围成的图形面积为 10，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意a取正负数都符合题意． 【详解】设点A坐标为（x，0）， 所以， 所以， 所以， 所以点A的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，知道点A有两解是解题的关键． 5．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是直线上的一个动点，连接． (1)求不等式的解； (2)若的面积是面积的，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、两直线围成的图形面积． （1）将代入，即可求出，再求不等式即可； （2）先求出，从而得出，设点，表示出，根据的面积是面积的，再求解即可． 【详解】（1）解：∵是直线上的一点， 把，代入，得， 解得：， 不等式即为 解得： 不等式的解为； （2）在中，令，解得， ∴， 由 ∴； ∴， 设点，则：， 解得：， ∴或． 6．（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)设函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积； (3)利用图象直接写出：当时，的取值范围． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是画一次函数的图象，利用一次函数的图象求解不等式的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）先列表，再描点并连线即可； （2）根据，，再结合三角形的面积公式计算即可； （3）利用函数图象确定时，的取值范围即可． 【详解】（1）解：列表如下： 描点并连线如下： ． （2）由（1）得：，， ∴； （3）由图象可得： 当时，． 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）若直线的图象经过点，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用自变量时对应的函数值为可确定方程的解，熟知一元一次方程与一次函数的关系是解题的关键． 【详解】∵直线的图象经过点， ∴当时，， ∴关于的方程的解是， 故选：． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：方程的解是， 经过点． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题． 3．（23-24八年级下·山西太原·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，首先利用图象可找到图象在轴上方，此时，进而得到关于的不等式的解集． 【详解】一次函数中，要使关于的不等式 即：时，图象在轴上方 由图可知：，则关于的不等式的解集是 故选：C． 4．（23-24八年级下·云南昆明·期中）已知一次函数与图象的交点坐标是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两直线的交点横纵坐标即为联立两直线解析式得到的方程组的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数与图象的交点坐标是， ∴方程组的解是， 故选：A． 5．（22-23八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，在同一直角坐标系中作出一次函数与的图象， 则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图象，直接根据两直线的交点坐标写出方程组的解，即可作答． 【详解】解：由题图可知：一次函数与的图象交于(1，2)， 所以方程组的解是：； 故选：D． 【点睛】函数与的交点坐标就是方程组的解，明确此知识点是解题的关键． 6．（2023·天津和平·二模）直线与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，令y=0，求x，即为直线与x轴的交点坐标． 【详解】解：当y=0时，，解得： ∴直线与轴交点坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键． 7．（22-23八年级上·四川达州·阶段练习）数形结合是解决数学问题常用的思想方法，一次函数y=kx+b的图象如图所示，根据图象可知，方程kx+b=0的解是 ． 【答案】x＝−3． 【分析】关于x的方程kx＋b＝0的解其实就是求当函数值为0时x的值，据此可以直接得到答案． 【详解】解：从图象上可知一次函数y=kx+b与x轴的交点坐标为（-3，0），则关于x的方程kx＋b＝0的解为的解是x＝−3． 故答案为：x＝−3． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，利用数形结合的思想，根据图象求方程的解是解题的关键． 8．（23-24八年级上·上海静安·期末）函数的图像，如图所示与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，若时，则y的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，根据函数图象找到当时，y的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 9．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用一次函数图象交点解二元一次方程组，由已知条件求得图象的交点坐标为，由图象交点坐标与对应方程组解的关系即可求解；理解“函数图象交点的坐标是对应方程组的解”是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ， 方程组的解为． 故答案：． 10．（22-23八年级上·重庆·期中）如图，直线与直线交于点，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】由图像可知交点的坐标就是方程组的解． 【详解】解：有图像可知的解为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用一次函数的交点解二元一次方程组．理解方程组的解与函数图像交点之间的关系是解决问题的关键． 11．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知：，，试用图像法比较与的大小． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【分析】在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并联立求出两直线的交点坐标，然后根据图象即可得出结论． 【详解】解：直线和的图象如图所示， 联立 解得： ∴两直线的交点坐标是． 由图象可知：当时，；当时，；当时，． 【点睛】此题考查的是画一次函数图象、求两直线的交点坐标和比较两函数值的大小，掌握一次函数图象的画法、联立一次函数解析式求交点坐标和根据图象比较函数值的大小是解决此题的关键． 12．（23-24八年级下·全国·课后作业）一次函数中，当为何值时满足下列条件？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解一元一次不等式，理解一次函数与一元一次不等式的图象关系，利用不等式的性质解相关的不等式，即可求出的取值范围． （1）当函数值大于时，求得相应的的取值范围； （2）当函数值小于时，求得相应的的取值范围； （3）当函数值大于时，求得相应的的取值范围． 【详解】（1）解：若，则， 解得， ∴当时，， （2）解：若，则， 解得， ∴当时，， （3）解：若，则， 解得， ∴当时，． 13．（22-23八年级下·广东云浮·期末）画出函数y＝2x+6的图象，利用图象： （1）求方程2x+6＝0的解； （2）求不等式2x+6＞0的解； （3）若﹣2≤y≤2，求x的取值范围． 【答案】（1）x＝﹣3；（2）x＞﹣3；（3）﹣4≤x≤﹣2． 【分析】（1）利用两点法作图即可作出函数的图象，图象与x轴的交点坐标的横坐标就是该方程的解； （2）2x＋6＞0就是函数的图象位于x轴的上方的部分对应的自变量的取值范围； （3）结合图象根据函数值的取值范围得到自变量的取值范围即可． 【详解】解：图象为： （1）观察图象知：该函数图象经过点（﹣3，0）， 故方程2x＋6＝0的解为x＝﹣3； （2）观察图象知：当x＞﹣3时，y＞0， 故不等式2x＋6＞0的解集为x＞﹣3； （3）当﹣2≤y≤2时，﹣4≤x≤﹣2． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程、一次不等式的关系，解答的关键在于准确的画出图形和掌握一次函数与一元一次方程、一次不等式的关系． 14．（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，直线：与轴交于点，直线分别与轴交于点，与轴交于点两条直线相交于点，连接．    (1)求直线的表达式； (2)求两直线交点的坐标； (3)根据图象直接写出时自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，求两条直线的交点坐标，观察图象判断自变量取值范围， （1）将点B，C的坐标代入关系式得到方程组，求出方程组的解即可； （2）先求出的关系式，再将两个关系式联立，求出解即可； （3）观察图象直线在直线上方的部分，即可得出自变量的取值范围. 【详解】（1）设的表达式为， 将、代入得， ， 解得， 所以的表达式为； （2）将代入得，， 所以直线的表达式为. 由方程组得， 解得， 故D点坐标为； （3）由图象可知，在点左侧时，，即时，． 15．（23-24八年级下·吉林松原·期中）函数与的图象如图所示． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数的交点问题及不等式，数形结合是解决此题的关键． （1）利用交点的横坐标即可求得，将代入求得纵坐标，将交点坐标代入即可求得的值； （2）先求点A的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）根据函数图象写出在上方部分的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵函数与的图象交点的横坐标为2， ∴将代入得：， ∴点P的坐标为， 把代入得：， 解得：； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∴； （3）解：与交点的坐标为，且当时，的图象在图象的上面， ∴时，x的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$